Р. Коллинз - Течения жидкостей через пористые материалы (1132348), страница 29
Текст из файла (страница 29)
14) ддн, д5„, — "' = — глА - — "'-' дх дТ (6. 15) где насыщенности связаны соотношением ~с +~нс =1 (6.16) Складывая уравнения (6.14) и (6 15), получаем с учетом соотношения (6.16) уравнение †' (д, + д„, ) = 6, (6. 17) так что полный объемный расход Д =' Дс ~ с1нс (6.!8) остается неизменным вдоль трубки.
Воспользовавшись этим результатом, мы можем ввести относительный расход смачивающей жидкости нс (6.19) 190 Координата х отсчитывается вдоль трубки по восходящему направлению. 1!оперечное сечение трубки (его площадь обозначим через А) предположим достаточно малым для того, чтобы давление и насыщенность можно было считать постоянными по всему сечению. Из закона Дарси для смачивающей и несмачивающей фаз получаем соответственно )„, =- — =1 — ~, ннс (6.20) Уравнения неразрывности с учетом (6.19) н (6.20) принимают вид д(с (6.21) гйА дх дг д(нс дхнс (6. 22) гнА дх дГ Исключая из уравнений (6.11), (6.12) и (6.13) давления р, и рн,, получаем с1н, = — — .'-'.А~.— -' — ' -'-+ —" — ЛРдз1пи, (6.23) нс ~ ссс где б =р..— рн.
(6. 24) Чс =) .Ч, — — (6.27) 1 -,- (Кнс Адх„, д) 1(др„,дх) — ар Кмпн) -(К.. нсЛс Ннс) Если полный расход с1 очень велик и (или) поверхностное натяжение и разность плотностей очень малы, то можно записать приближенное равенство Гс. 1 + — —; — =- ~с. бс. —,—, (6.28) г.
е. величина 1, зависит голько от насыщенности 5, и параметра р, /р„, В этом приближении имеем далее д), д), д5, дх д5, дх (6 29) 101 и относительный расход несмачивающей жидкости Подставляя в это уравнение величины днс == (1 ссс ) г( получаем, что (6.25) (6.26) Уравнение неразрывности для смачивающей жидкости тогда принимает вид (6 30) дкс Здс ссх э~с й = дХ и д( (6 31) Если х = х(г) — закон движения плоскости, на которой насыщенность 5, (х, 1) сохраняет постоянное значение, то на этой плоскости с" ~с л,' =О (6 32) и, следовательно, скорость ее движения равна (6 ЗЗ) Исключив из уравнений (6 30) и (6 ЗЗ) производную д5, /д(, получим уравнение (6.34) Это уравнение называется уравнением Бакли — Леверетта (2) Интегрирование уравнения (6 34) по г дает ха (1) — хэ (О) — — ' — — — ' .
(6 36) д(0 — 0(О) 'Чс (~.) с с мл ~~с Здесь хэ, (1) и ха, (0) — координаты рассматриваемой плоскости (на которой насьпценность равна постоянной величине 5, ) в моменты ~ = г и 1 = 0 соответственно, 192 К такому же виду приводится и уравнение неразрывности несмачивающей жидкости. Полученное уравнение нелинейно относительно 5,, так как коэффициент при д5, удх зависит от 5,. Следовательно, это уравненне нельзя решить стандартными приемами.
Однако для нахождения распределения насыщенности можно применить следующий численный метод. Вычислим полную производную от 5, по времени. Имеем Я (1) и (~ (О) — полные объемы жидкости, поступившие в образец соответственно к моментам г =- 1 и Г = О. Коэффициент д~, уг)5,, можно вычислить для каждого значения насыщенности 5,, еслн известна зависимость отношения К„„,'К, от Яс Поэтому нз (6.35) следует, Р и с. б. 2.
Кривые относительных проницаемостей. что по известному распределению насыщенности в момент 1 = О можно вычислить распределение насыщенности во все последующие моменты времени б Правда, при таком вычислении встречается ряд трудностей. Это лучше всего показать на примере. Рассмотрим кривые относительных проницаемостей, изображенные на рве. 6.2', По этим кривым для (р, г')ь„, = 1) построена /г, К, т Заметим, ято используется только отношение — = - —, где )Гнс. ес. )гс. =" ОКссК) "н, =(Кяс/К), К вЂ” проницаемостьсредыпо отношению к однофазной жидкости. 193 зависимость т, от 5,, приведенная па рис.
6.3. Можно также вычислить зависимость ф,,Ы5,, от 5„. Эта зависимость изображена на том же рисунке. Предположим, что начальное распределение насыщенности охватывает все значения насыщенности в интервале и ~ "и д "он св Р и с. 6Л. Зависимость доли смачивающей жидкости в общем потоке жидкости от насыщенности среды смачивающей жидкостью. Здесь же изображена первая производная от втой функции и покааано, как определяется насыщен- ность на фронте вытеснения. 5с, (5, (1 и сосредоточено в момент й = — О в сечении х = О. Применив к этому распределению уравнение (6.35), получим, что в некоторый более поздний момент времени т') О распределение насыщенности будет иметь вид, изображенный на рис.
6А (при построении была использована кривая для сч', Я5, на рнс, 6.3). Из рис. 6.4 видно, что через определенное время после начала процесса в некоторых местах образца насыщенность будет неоднозначна, Такое положение физически невозможно. Для устранения неоднозначности учтем, что прн т =- О насыщенность смачивающей жидкостью 5,. всюду равнялась 194 Я„, и что при г' > О через все сечение х =- О поступает только смачивающая жидкость, т. е. г. = 1 при х = О. Поэтому уравнение объемного баланса для смачинающей жидкости имеет вид 1,(г) =- ) пт(5, — Яс,,) А с1х о (6.36) Здесь х, — точка разрыва, правее которой насыщенность равна Я„ . Таким образом, мы ввели разрывное ' дон. Хр х Р н с. 6.4. Распределение насыщенпостн в процессе прямолннейного вытеснення, получающееся нз уравнення Бакан — Леверетта. Показано полажение разрыва, получающееся нз уравнения материального баланса, распределение насыщенности с разрывом в точке х = хг. Исследование этого разрывного распределения проводится общими методами исследования разрывов в сплошной среде П2).
Выполняя интегрирование в формуле (6.36) по частям, получаем 5 Я =- пгАхр (5, —,ь„) — ~ гпАхЧ, с1.9 (637) зон. 195 где 5, — наибольшая насыщенность на разрыве. Так как Я(0) = 0 и хз, (0) = О, то из уравнения (635) следует в=- вгв; — в,.г, -с ) — „' св,, язв~ гг(с. 'с Звв Интегрируя это уравнение при условии, что 1, =- 1 при 5,, = 1 — 5„в, находим Я =/пА (5с — 5св )хр — Я [У. (5с) — 1~, (639) откуда 1. (5,') пгАх = —,— ' — ' г~.
с 'св (6.40) Снова используя уравнение (636) с указанными усло- виями для Я(0) и х(0), получаем лгАхр —— Я вЂ” ' (5, ) (6 41) и, следовательно, а~, (З,') 1, (5,') ~с — 5св (6.42) Из этого уравнения видно, что распределение насыщенности остается однозначным, если отбросить все значения насыщенности, меныпие 5, . Критическая величина 5,, или насыщенность на скачке, определяется как такое значение 5,, при котором касательная к кривой 1', (5, ) проходит через точку 5, =-5„, 1, = О. Абсцисса 5, этой точки и касательная показаны на рис 6 3. Разрывное распределение насыщенности изображено на рис 6 4 Дальнейший анализ показывает, что заштрихованные площади одинаковы. Разобранной схемой процесса вытеснения широко пользуются в нефтяной промышленности Эту схему можно многими способами обобщать и вносить в нее уточнения Например, тот же анализ применим для горизонтального осе!аз симметричного течения.
Вместо уравнения (635) в этом случае получается уравнение пй (гз (>) - — гз, (0)~ = Я(1) — -Я(0)! - —,' — — (6 43) а>,. (з. ) с Здесь гз (1) — радиус цилиндра, на поверхности которого насыщенность 5, все время сохраняет постоянное значение Максимальная насыщенность 5, на скачке по-прежнему определяется уравнением (6 42). Заметим, что насыщенность 5, = 1 — 5,„не распространяется по образцу.
Следовательно, всюду в образце 5, ( 1 — 5чк . Это нужно было ожидать, потому что проницаемость К„„обращается в нуль, когда насьнценпость 5„, достигает критической величины 5„, (остаточная нефтенасышенность) . Хотя для всех практических целей можно считать, что кривые относительных проницаемостей пе зависят от природы жидкостей, это не распространяется па остаточную насыщеность Остаточная насыщенность зависит не только от своиств пористой среды.
В ряде экспериментов было показано, что снижение поверхностного натяжения между жидкостями может приводить к уменьшению остаточной насыщенности несмачивающей жидкостью !6 ! 6.21. Интегрирование уравнений Бакли — Леверетта методом Велджа. Вычисление относительных проницаемостей по данным о вытеснении Если можно пренебречь влиянием силы тяжести и поверхностным натяжением, то одномерное вытеснение описывается уравнением Бакли — Леверетта, при условии, конечно, что жидкости песмешиваемы, несжимаемы и пористая среда однородна.
Рассмотрим прямолинейное течение, в котором 5„ =5, (х, 0), но предположим теперь, что образец имеет конечную протяженность Ь. Прн 1) 0 в сечении х =. 0 в образец поступает смачивающая жидкость, которая вытесняет оттуда несмачиваюшую жидкость. Расход смачивающей жидкости обозначим через д(1). Таким образом, через сечение х = 0 поступает только смачивающая жидкость, а через сечение х = Е вытекают обе жидкости. Полный объем несмачивающей жидкости, вытекшей к данному 197 моменту из образца, обозначим через Я„,, а полный объем смачивающей жидкости, поступившей к этому моменту в образец — через Яс .
Заметим, что объем Я в данном слу. чае равен полному вытекшему объему обеих жидкостей а. + ас.. По определению величины !н,, на выходе нз образца имеем нс. с. откуда Днс. Енс. с' сЦ1нс, 1 саснс. (6.46) тА ~ 5н, с(х=- тАЛ(1 — 5„) — Ян, (6.46) о Проинтегрировав по частям левую часть уравнения, получим Знс. с~1 тАЫ„, (Ц вЂ” тА 1 Инс = ~он.
= тА!. (1 — 5„) — Я„. (6.47) что г(5, = — г(5„ и используя соотно- Замечая шение Сс с (~с ) тАхз, =- (! — '„— ' 'чс (6.48) находим 5н,. = — ~- ~ЛАВ(1 — 5сн.) — Янс. + Я вЂ” и -'~. (6 48) Здесь было использовано уравнение (6.44). 198 Следовательно, если в опыте с прямолинейным вытеснением измерять 1;)„, и Я, то, вычислив г(Ян, ЯЯ, можно будет найти К„, /К, . Однако соответствующая этому отношению насыщенность на выходе из пласта изменяется во времени н не может быть измерена непосредственно. Эту трудность можно преодолеть, применив метод Велджа И4).
Уравнение материального баланса для смачивающей жидкости имеет вид Заметим, что все величины в правой части уравнения (6.49) можно измерить. Для того чтобы показать, как пользоваться полученным результатом, рассмотрим данные типичного эксперимента по вытеснению, приведенные на рис. 6.5. Эти данные относятся к прямолинейному вытеснению нефти (рис =- 6) водой 1р, == 1). Начальная насыщенность образца нефтгио равна Я,м = 0,80'. е„ Р и с. б.б. Экспериментальвая зависимость общего объема вытесненной ° есмачивающей жидкости от общего объема закачанной смачивающей жидкости; течение прямолинеиное.
Характерно, что,начиная от Я вЂ” — 0 и до Я = Я„,, зависимость Яи„. от (~ линейна. Это происходит потому, что при таких значениях (,') вытекает только нефть. Точка Я = == 1~„, называется точкой прорыва воды. К моменту прорыва воды скачок насыщенности, за которым находится обводненная область, достигает выходного конца пласта. При Я ) 1',1,. зависимость Я„от Ц может быть представлена в виде (6 50) Г)и, =а+61ПО.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
