Р. Коллинз - Течения жидкостей через пористые материалы (1132348), страница 27
Текст из файла (страница 27)
= (б'р) )Г д- 1' зекр ( х ~/ — да) . (5.133) Поэтому преобразование Лапласа расхода в сечении х' = 0 имеет вид и, = ~' (бф),)77 — ' —, (5А34) где А — площадь поперечного сечения, р, — значение р при х' = О. Из (5.134) следует Яа(1) = (Ьф)а ра А ~/ — ')'К, (5.135) 5.60. Течение совершенного газа. Численное интегрирование Все предыдущее изучение переходных явлений и методов решения соответствующих задач относилось к случаю сжимаемой жидкости. Однако при решении многих практически важных задач, возникающих в химической и газовой промышленностях, приходится рассматривать движение газа в пористой среде. Газ при этом можно считать термодинамически совершенным.
Задачи о таком движении газа сильно отличаются от задач о движении жидкости. Дифференциальное уравнение движения совершенного газа с учетом эффекта Клинкенберга можно получить тем же способом, который описан в гл, 3. Из закона Дарси, уравнения состояния совершенного газа и уравнения неразрывности находим следующее уравнение: = т--. др д) ' 15.
137) Здесь предполагается, что течение плоское. Это уравне- ние можно переписать в более удобном виде, использо- вав новые переменные, р+ д р„,+ь (5.138) х,=— 176 Следовательно, если с достаточно мало и, кроме того, разность р, — р, тоже мала, то мы получаем, что наклон водоносного пласта ие влияет на величину вытекающего из пласта полного объема воды. Проведенный анализ показывает, что распределение потенциала ф в наклонном пласте по существу такое же, как и в горизонтальном пласте, однако давления в этих двух случаях распределены по-разному.
где Р„ — постоянное по пласту начальное давление, 7. — некоторый характерный размер. В этих переменных уравнение (5.137) принимает вид д'Р' дзРз дР дхз дх2 д0" 1 2 (5.139) Это — нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка, и поэтому его, вооб1це говоря, не удается решить каким-либо обычным аналитическим приемом '. Однако можно получить приближенное решение, переписав уравнение (5.139) в виде д=з- + д-2 — 2Р дз .
(5.140) Заметим, что изменение Р мало относительного среднего значения этой величины, поэтому коэффициент при дРзуд0 в правой части уравнения (5.140) можно считать постоянным. Таким образом, если во всей области течения н для всех значений 0 величина Р мало отклоняется от своего начального значения, то д'Р' д'Р' 1 дрз — + дхз дхз 2 д0 (5.
141) или, переходя к первоначальным переменным, получаем — + — = — — — . (5. 142) дз(р+ Ь)' д'(р+ Ь)2 т д(р+ Ь)' дх21 дхз лез(Рз + Ь) д( Это уравнение того же вида, что н уравнение, описывающее движение сжимаемой жидкости. Точное уравнение в форме (5.137) или (5.140) можно решить численным интегрированием по методу конечных разностей. Такие решения были получены Дженкинсом и Ароновскнм [12[, а также Брюсом, Писмэном н Рэчфордом [31. Опишем этот метод для случая прямолинейного течения в пласте длины 7..
Предположим, что один конец пласта закрыт, так что жидкость через него не течет, а на ' Это уравнение было впервые установлено Л. С. Лейбензоном, и в советской титературе обычно называется уравнением Лейбензона. — Прая. Ред. 7 зав. 522 !77 другом — давление в некоторый момент скачком снижается и поддерживается постоянным. Таким образом, имеем сле- дующие граничные и начальные условия: Р(х, О) = —.— 1, — (1, О) = О, ах Р(0 О) — Н =— (5.143) ВЧ 87 ахз дз (5.144) состоит в замене х и 0 дискретными переменными где 7' и п — целые числа. При этом производные заменяются отношениями конечных разностей.
Таким образом, если Р' разложить в ряд Тейлора, то мы получим и подобно этому находим +-зТ ~ар) (Лх )-г (5. 146) 178 Здесь Р, — постоянное значение давления Р на открытом конце пласта. Большинство численных результатов, приведенных в вышеупомянутых статьях, относится к случаю 6 = О, т. е. к случаю, когда эффектом Клинкенберга можно пренебречь.
Однако математическая формулировка задачи и численные результаты не зависят от того, считается 0 = 0 или нет, потому что они выражены через введенные выше безразмерные величины 16!. Процесс решения уравнения где через Рь „обозначены величины Р(хпп Оп). Склады- вая эти два равенства, получаем Рх 1 Р2 зь! ° и 1 ~ и 1 " , 'О [(Л '2)' (5 147) ' дхп,лп (а;)и где О [(Лх)~[ означает величину порядка (Лх) . Аналогичное разложение Р; пэ ~ по Л0 дает (~ = — — г и ., О(Л0) (5.148) дР' Р— Р.
дд)Ь и- где Л'Лх =-: 1 (5. 151) и граничные условия Ро,п = К (5. 152) Р2 Р2 Ьх (5.153) Последнее условие записывается для воображаемой точки х == (У + 1) Лх с той целью, чтобы не было потока жидкости через закрытый конец. Значение Р' в этой точке никогда не используется, так как уравнение (5.153) как раз и применяется для того, чтобы исключить Р'х+, и из разностного уравнения (5.149) при 1' = Ю. Интегрирование начинается с того, что из уравнения (5.149) вычисляется Р;, по начальным и граничным условиям. Важным обстоятельством в этом способе решения 7* 179 Пренебрегая членами порядка ЛО и (Лх)~, из (5.144) находим Рлпп~ ="Рьп ~ = ~ [1!'пп — Ру ~ п — 2Ргп~ (5 149) (йх)' Это конечно-разностное уравнение приближенно заменяет соответствующее дифференциальное уравнение.
Запись (5.!49) называется предсказательной формой разностного уравнения, потому что в этой записи величина Рь „дд выражается через величины, относящиеся к моменту 0=Оп. К уравнению (5.149) нужно добавить начальное условие Рь и = — 1 0(1(Л', (5. 150) являются ошибки. Так, например, некоторая ошибка вносится в результате подстановки в уравнение только первых членов разложения искомой функции в ряд Тейлора. Ошибки появляются также за счет округления при вычислениях. Эти ошибки могут либо накапливаться, либо взаимно уничтожаться при выполнении интегрирования таким способом. Можно показать, что накопления ошибок не происходит, если )~ 4Р„.
ло (5. 154) 2 2. Р; „ь,— —;Лг ... Р'=- Рлч+- —,Л,,л Р', (5.155) 2 (ах)з ' ' ' 2 (Ьх) где Л14 „Р'= Р;е~ „+ Р, ~,— 2Рг,. (5.156) Это уравнение соответствует неявной схеме счета, потому что Р; „+ ~ уже не выражается явно через величины, вычисляемые на предыдущем шаге по времени. В результате в данном случае нужен особый метод решения. Однако получающееся условие устойчивости (ак) — > 2(Є— Р -д (5.157) 180 Здесь Р„означает среднее значение Р, „на и-м шаге по времени. Очевидно, что ошибки, получающиеся за счет отбрасывания старших членов разложения в ряд Тейлора, можно уменьшить путем уменьшения Лб и Лх, во здесь появляется еще одно требование.
Оно заключается в том, что должно удовлетворяться условие вычислительной устойчивости (5.154), а это накладывает дополнительное ограничение на выбор возможного шага по времени. Ограничения, накладываемые на рассматриваемый численный метод, можно ослабить, если перейти к другим формам разностного уравнения, приближающего данное дифференциальное уравнение. Так, например, Брюс н др.
131 использовали в качестве такого приближенного уравнения следующее: является теперь гораздо менее ограничительным. Подробности получения и применения уравнения (5.155) можно найти в цитированной выше литературе. Результаты численного интегрирования, полученные н азванными выше авторами, представлены на рис. 5.4 и 5.5. На рис. 5.4 приведены результаты, полученные Дроновским И) для прямолинейного пласта, причем в расчетах учтен эффект Клинкенберга.
Здесь длина пласта обозначена через т', начальное давление — через рн; открытый конец, 05 О йй О Об Дб ЬП и Ьй гб 1,8 Р и с. 5. 4. Графики зависимости ат времени давления на закрытом конце пористого образца, соответствующие случаю прямолинейного течения совершенного газа, когда давление на другом конце образна в начальный момент мгновенно понизились (Ароновский, 1954).
По осн абсцисс. безразмерное вренн, В. По оси ординат отношение давления РО Рн. РО +Ь РΠ†Давлен ири л=. О, Рн — начальное Даааеиис, Н- ош-рь на котором с момента 1 = О поддерживается постоянное давление рм расположен при х =- О. Заметим, что, когда параметр Н = (ро + Ь)/(рв + Ь) приближается к единице, решение стремится к решению для слабосжимаемой жидкости. На рис. 5.5 приведены результаты для случая радиального притока к скважине, расположенной в центре замкну- 18! того кругового пласта. Здесь предположено, что массовый расход отбираемого газа постоянен.
Заметим, что если перейти к переменной р' -- ро, то решение будет очень похоже на то, которое изображено на рис. Б.З для жидкости '. () ,г 4 И )П ! И )П~ И~ )Р Р и с 5 5 Графики зависимости от времени давленая в скважине, расположенной в центре кругового пласта и работающей, начиная с начального момента с постоянным отбором, для случая радиалы ого течения совершенного газа (Дтьенкинс н Ароиовский, 1953) По оси абсцисс Крн т(т~ По Оси Ординат Кмр* — р 1/сири рс — даввевне в скважине, ри — начальное давление, Š— расход при давлении Р Ри, Р— вЯзкость жиДкостн, и†пРоакЦаеиость.
си в порнстость, 1 в вренн, т„ — РаДнУс скважины сп — РаДиУс пласта Задачи 1. Используя метод наложения точечных стоков, показать для случая плоского течения, что закрытие одной скважины н пуск другой дает возможность по замерам дав- ' В советской литературе подробно изучены так называемые автомодельные точные решения уравнения (5 144) и других аналогичных уравнений (См работы П о л у б а р и н о в а К о ч ина П Я, ЛЛНСССР, 63, № 6 (1945), Баренблатт Г И, Приял мптем и лсех., 16, вып ! и 5 и др ). — Прим ред 152 ления находить характеристики пласта (это так называемый метод интерференции скважин) 2 Используя тот же метод, найти кривую восстановления давления в случае, когда во время закрытия был небольшой перерыв, в течение которого скважина работала.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
