Р. Коллинз - Течения жидкостей через пористые материалы (1132348), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Применение точечных источников при решении задач о не- установившемся течении столь же полезно, как и в разобранном ранее случае установившегося течения. Например, решение (5.49) при д 0 является хорошим приближением для круглой скважины некоторого радиуса г, при условии, чтог> г, и — ( 0,25. Это устанавливается путем сравнения с точным аналитическим регпением для скважины конечного радиуса [П). Поскольку точечные источники представляют собой математические особенности, то оказывается возможным применить к ним принцип суперпозиции и таким путем получить решения уравнений движения, соответствующие совместному действию нескольких источников. Это связано с тем, что скорость истечения из данного источника не 6В зав. ззз !53 зависит от того, действуют ли наряду с иим другие источники или нет.
Воспользовавшись принципом суперпозиции, получаем, в частности, что в однородной изотропной пористой среде, насыщенной слабосжимаемой жидкостью, н условиях, когда в момент Г = т, начинает действовать линейный источник с производительностью д,(й на единицу длины и спустя некоторое время в момент 1 =.
т„ ) т„ начинает действовать параллельный ему другой источник с производительностью ()ь(й, распределение давления имеет вид Пас~а 4К () — а„) — — Е( 4К (( — аа) (5.51) Р Ро= ( [ 1) 2 тисга -)- — — ' — Е( — ', Г) г 4аКЙ 4К (2 — 22) д=О, 0(г "г, )54 Здесь га и гь — расстояния от соответствующих источников до точки, в которой вычисляется давление. ПОЛОЖИВ та = та И Да — ДМ ПОЛУЧаЕМ, ЧТО В ЭТОМ СЛУ" чае давление распределено симметрично относительно плоскости, перпендикулярной отрезку, соединяющему источники, и проходящей через его середину. Более того, производная от р по нормали к этой плоскости равна нулю.
То есть эта плоскость эквивалентна непроницаемой границе. Источник (Ь) является зеркальным отражением ксточника (а) в этой плоскости. Способом, во многом похожим на тот, который был использован в случае установившегося течения, можно путем построения многократных отражений решать задачи об источниках, действующих в областях, ограниченных и более сложными границами [141. Считая, что в рассмотренном примере источники находятся в одной точке, но начинают действовать не одновременно, получим решение для скважины, производительность которой представляет собой кусочно-постоянную функцию времени.
Совпадение источников в пространстве означает, что в уравнения (5.51) г, = гь. В таком случае мы имеем один источник, но при этом Ч= Ч„т,(~(т, Ч Ча+Чь тв(~(со' Помещая в данной точке любое число источников с подходящими производительностями (положительными или отрицательными), можно подобрать любое кусочно-постоянное изменение расхода. Последнее утверждение следует также и из формулы Дюамеля. Оно используется при обработке кривых восстановления давления в нефтяных скважинах.
5.40. Испытания по восстановлению давления в нефтяных скважинах Испытания по восстановлению давления в нефтяных скважинах преследуют ряд целей, Они проводятся для определения статического давления в районе скважины, для оценки проницаемости вскрытого скважиной пласта и— вместе с измерениями внутри скважины — для оценки степени некоторого снижения' проницаемости вблизи скважины. Известны также попытки использовать эти испытания для оценки других факторов, например пористостн пласта или для обнаружения поверхности сброса. В этом пункте излагается развитая в работах Корнера 181 элементарная теория таких испытаний. Кроме того, приводится несколько более сложных примеров, показывающих, что на процесс восстановления давления обычно влняют многие факторы, в силу которых в большинстве случаев нельзя однозначно истолковать результаты измерений.
Одиночная скважина в бесконечном п л а с т е. Рассмотрим сначала однородный изотропный пласт мощности й с пористостью ьи и проницаемостью К, содержащий слабосжимаемую жидкость с вязкостью р и сжвмаемостью с. Предположим, что скважина, полностью вскрывшая пласт, начинает в момент г = 0 отбирать жидкость с постоянным расходом Ч. Нижнюю и верхнюю границы пласта будем считать непроницаемыми, а протяженность пласта — бесконечной. а Или увеличении — Приап ред. 6Ва Рассматриваемую скважину представим как линейный сток с производительностью — Оу/г на единицу длины.
Тогда дц Г / тис»ат 1 р (», 1) = и — — — ' — ~ — Е ( — — ' — ц . (5 о2) 4--ка ~ ' ( 4ка Ц' Здесь р(», 1) — давление, по — начальное давление впласте, » — расстояние от данной точки до оси скважины. Распределение давления (5 52) изображено на рис. 5.1. На 0 07 02 ОЛ 04 05 00 Р и с Б 1 Распределение давления вокруг цилиндри- ческои скважины в бесконечном плоском пласте, По аск абсцисс тр ссч4КГ По осв ординат 4 Кмрв — рисе стенке скважины при» = », из (о 52) получаем приближенно д г 4Кт рс =Ро —.:" 1и-- — я — у (5.
5 3) 4»Ка ~ т с»Я при условии, что 4Кт тес», (5.54) Здесь использовано асимптотическое разложение интегральной экспоненты вблизи нуля. Из (5.53) видно, что давление в скважине падает с течением времени по логарифмическому закону. 156 Если в некоторый момент ~ = 1, скважину закрыть, то давление в пласте начнет перераспределяться н в конце концов станет постоянным по всему пласту. Закрытие скважины можно рассматривать как результат наложения на действовавший источник другого источника, расположенного в той же точке и начавшего действовать в момент закрытия 1, с производительностью дгЬ на единицу длины. В течение всего периода закрытия давление в пласте как функция г н 1 будет решением, соответствующим работе этих двух источников.
Таким образом, на стенке скважины в течение всего периода закрытия (1)1,) давление изменяется по закону Воспользовавшись для обеих интегральных экспонент асимптотическим разложением вблизи нуля, из (5.55) получим (5.56) Или, обозначая продолжительность закрытия скважины через ~з. (5.57) найдем р, == р — — - 1п — '' —. чй гз 1 г г с' 0 4 да м (в.о8) Формула (5.58) справедлива только для достаточно больших значений й. Из этой формулы следует, что если построить завнси~з тм мость р,.
от 1п '— ', то при достаточно больших значениях бг' график должен быть прямолинейным с наклоном — др/4л КЬ, Если величины д, р и Ь известны, то, измеряя зависимость р, от 1 в течение периода закрытия, можно вычислить проницаемость К, определив наклон указанной прямой линии. Однако при практическом применении этого метода нужно соблюдать ряд предосторожностей. Это связано с тем, что пласт по предположению должен быть постоянной мощности н бесконечной протяженности. Жидкость должна быть однородной и слабосжимаемой; производительность скважины все время вплоть до момента закры- 157 тия должна оставаться постоянной. Кроме того, скважина должна быть перекрыта в пласте, а не на дневной поверхности, которая может находиться на несколько тысяч метров выше пласта.
Очевидно, что невозможно удовлетворить всем этим требованиям, в особенности требованию, чтобы протяженность пласта была бесконечной. Тем не менее для небольших значений 1э влиянием границ можно пренебречь '. Скважина вблизи плоской непроницаемой границы. Для того чтобы проиллюстрировать, каким образом различные факторы могут влиять на описанный выше простой процесс изменения давления, рассмотрим однородный пористый пласт, ограниченный непроницаемой поверхностью (сбросом), которая расположена вблизи скважины, скажем, на расстоянии 1 от нее.
Применим метод изображений. Согласно этому методу, скважину-изображение нужно поместить так, чтобы она и данная скважина были равно удалены от гранины и расположены на общем перпендикуляре к границе. При этом производительность скважины-изображения должна изменяться во времени по тому же закону, что и производительность данной скважины.
В результате для распределения давления на скважине в период закрытия получим для умеренных значений бг следующее соотношение: ои ьг Х р,,— р,+ — — „1п,—, „+ .„Х ' На самом деле сильное ограничение представляет собой условие закрытия скважины на дневной поверхности, а не на забое, так что после закрытия в течение некоторого времени продолжается интенсивный приток нефти в скважину, сильно влияющик на кривую носстановления давления на наиболее показательном начальном участке, где давление изменяется быстро На далекую част~ кривой восстановления давления, предстапляющую основной интерес с точки арения метода Хорнера, оказывают существенное влияние и работа соседних скважин, и неоднородность пласта, и его ограниченность, н многие другие факторы Доказано, что, используя данные одновременных измерений давления на забое и притока нефти в скважину, можно дать методы точного определения параметров пласта по данным обработки именно начального участка кривых Подробный обзор этих методов люлсно найти в кинге: Ч е р н о в Б С, Б а з л о в А И, лх у к о в А И Гндродинамнческие меэоды исследования скважнв и пластов, Гостовтехиадат, М., 1960.— Прям.
дед. 158 Величина 1а предполагается здесь настолько большой, что для рассматриваемых значений й еще нельзя воспользоваться логарифмической аппроксимацией интегральных экспонент. Интегральные экспоненты в формуле (5.59) для 'сп "а И Р и с. 5. 2. Вид типичной кривой восстановления давления. à †бесконечн пласт, т — плоскаа граница, а †кругов плас~ сги та+ М р,, =р, +2 — — 1п — „— йкКй М 15.
60) т. е. в полулогарифмическом масштабе график представляет собой прямую, наклон которой в два раза болыпе, чем у прямой, соответствующей умеренным значениям Й (рис 5 2) 1о9 рассматриваемых значений бс изменяются относительно медленно и остаются почти постоянными. Поэтому для рассматриваемых значений М график зависимости давления р,, гз от 1и — '' снова оказывается прямолинейным с наклойт иом — с)1с,г4тс Кп. Однако при больших значениях й логарифмической аппроксимапией уже можно воспользоваться, и тогда получим Такое изменение наклона характерно в данном случае и может быть использовано для обнаружения плоских границ сброса Более подробный анализ показывает, что значение бг', при котором происходит изменение наклона, зависит от е' — расстояния от скважины до границы Это позволяет указать способ оценки величины е' по данным о восстановлении давления ' О г р а н и ч е н н ы й пласт В обоих рассмотренных выше случаях предельное значение р, при й- оо совпадало с начальным давлением в пласте р, Так получалось потому, что в обоих случаях протяженность пласта считалась бесконечной Очевидно, что поведение ограниченного пласта должно быть совсем иным Если в пласте, ограниченном непроницаемыми стенками, имеется единственная скважина, отбирающая постоянный расход жидкости е1, то в течение промежутка времени 1, эта скважина отберет объем жидкости, равный Я =- Фз (5 б1) Этот объем получается за счет расширения жидкости в пласте Поэтому Фз =С(Рв Рк)1'в, (5 62) Ч'з Рг =Рв (5 БЗ) Аналитические решения задач о скважинах в ограниченном пласте были найдены для ряда случаев Херст и Ван Эвердинген П!1 получили решение для круговой скважины радиуса г,, расположенной в центре кругового ' На самом деле оказывается более удобным использовать в этой и друтой подобных задачах метод связанный с использованием пре образованна Лапласа См цитированную выше книгу Б С Чер нова Л И Базлова и Л И Жукова — Лрим ред 160 где Р, — конечное (постоянное по пласту) давление, )г„— объем пор в пласте Таким образом, хотя кривая восстановления давления н может идти согласно рассмотренной простой теории вплоть до относительно болыпих значений бе, однако при дальнейшем увеличении М это согласие нарушится и выхода на прямолинейный участок в соответствующих координатах уже не будет При 61-ь оо давление стремится к пределу РБ равному пласта радиуса г„,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
