Р. Коллинз - Течения жидкостей через пористые материалы (1132348), страница 21
Текст из файла (страница 21)
е. плотность объемного потока жидкости ч равна д = ф ганг(р = 4п —, УСА '9 (4. 111) или А ча (4.112) Таким образом, принимая, что граничное условие па бесконечности имеет вид 1!ш ф = "т' = соп51, (4. 113) г 0Р пол]чнм (4. 114) ~' = ~- Их,— а)з+(х,— Ь)з+ (х,— с)з] — ы'+р„. (4.115) Если бы действовал только второй источник (д'), то распределение потенциала выражалось бы аналогичной формулой, где вместо д, а, Ь и с фигурировали бы соответственно д', а', Ь' и с'.
Покажем теперь, что если оба источника действуют вместе, то распределение потенциала дается формулой = — ](х, — а)з + (х, — Ь)' + (х, — с)'] па -1- + ~~ ~ [(х,— а')'+(х,,— Ь')' — , '(хз — с')з] — па — ', ~: . (4.116) 133 Формула (4.114) описывает потенциал точечного источника. Заметим, что этой же формулой описывается потенциал сферического источника произвольного радиуса. Поэтому точечный источник можно рассматривать как предельный случай сферического источника.
Заметим также, что если в точке (а, Ь, с) помещен сток, то распределение потенциала будет описываться все той же формулой, только величину д нузкпо считать отрицательной. Применение точечных источников при решении задач об установившемся течении оказывается особенно полезным потому, что решения уравнений движения удовлетворяют принципу суперпозиции. Это видно из следующего. Рассмотрим два точечных источника с производительностью д и д', помещенных в точках (а, Ь, с) и (а', Ь', с') соответственно. Если бы действовал только первый источник (д), то распределение потенциала вокруг него было бы — !»; + БР— 2»',Б( соз у~ ы' + -)- — — '+ Б4 О д'и 5 (4.
117) где Б( — расстояние между источниками, а у — утол, показанный на рис. 4.11. Поток жидкости от источника (д') дается выражением К дф' ч СОБИ вЂ”,' 1) — — — — — — — + —, (4.118) 4ч !», — дБ — 2», дСОБ,~ 4О», Интегрируя выражение (4.118) по поверхности малой сферы радиуса», с центром в точке (а', д', с'), получаем общее количество жидкости, протекающее через эту сферу. Если ». <(А (4.1 19) то уравнение (4.118) можно приближенно записать в виде К др' О ( — 2СОБт) д' (4.
120) н д» 4" "' 4я»' Б Б Интегрирование выражения (4.120) по малой сфере радиуса», дает д' = ~- — — ( ~,) БУа, (4.12!) где с!а — элемент поверхности сферы. Для получения это~о результата не обязательно пользоваться приближенным выражением при малых»,. Мы это сделали только для упрощения вычислений. Таким образом, решение (4.116) дает как раз нужное выражение для производительности точечного источника (Б)'). Точно так же в этом можно убедиться для другого источника. 134 Подставляя выражение (4.
Пб) в уравнение (4.106), убеждаемся, что БР' удовлетворяет этому уравнению, Очевидно, что граничное условие на бесконечности (4.113) также удовлетворяется. Остается проверить, что выписанное решение соответствует действию двух источников. Для этого перепишем уравнение (4.116) в виде а уа', Ь; с') 9 (а,дсу Р и с. 4. 11. К задаче о двух точечных источниках.
Этот линейный источник можно получить суперпозицией точечных источников, Но можно этого не делать и получить распределение потенциала непосредственно следующим образом, Предположим, что жидкость нагнетается с постоянной скоростью, равной 41Ь на единицу длины вертикальной прямой, проходящей через точку (а, Ь) горизонтальной плоскости х„х,. Потенциал ф' должен удовлетворять в плоскости х„х, уравнению Лапласа (если среда изотропна). Фундаментальным решением уравнения Лапласа в плоскости х,,ха является функция зР' =- А !п ((х, — а)а + (х, — Ь)з) Ыв + С. (4.122) Это распределение потенциала будет давать нужную ско- рость истечения нз линни, если положить Чр А =- аидой (4. 123) Таким образом, выражение ч' = 4 -'-„1п((хз — а)з + (х, — Ь) з) + с (4.
124) Из изложенного видно, что вклады точечных источников в распределение потенциала суммируются. Следовательно, распределение потенциала, соответствующее любому числу точечных источников, можно записать просто как сумму распределений, соответствующих каждому нз этих источников в отдельности. Если течение — плоское, то потенциал зависит только от х, и х,. В этом случае точечный источник представляет собой в пространстве источник в виде прямой линии, перпендикулярной плоскости течения. представляет собой (если не обращать внимания на произвольную постоянную с) распределение потенциала вокруг единичного точечного источника в плоскости ль х,, Эта функция не ограничена на бесконечности, и позтому описываемое ею распределение потенциала во всем пространстве физически нереально.
Несмотря на зто, выражение (4,124) правильно описывает фактическое распределение скорости вблизи скважины. Заметим, что распределение потенциала как вокруг пространственного точечного источника, так и вокруг плоского точечного источника выражается функциями, имеющими особенность в точке, где расположен источник, т. е. потенциальные фу.нкции стремятся к бесконечности при приближении к источнику.
Это как раз то свойство, благодаря которому к источникам можно применять принцип суперпозиции, потому что характер течения вблизи данного источника не изменяется от присутствия других источников, В рассмотренном случае среда предполагалась изотроп. ной.
Но зто предположение можно не делать. Те же рассуждения можно провести и для случая анизотропной среды. Так, например, распределение потенциала вокрут плоского точечного источника в анизотроцной среде дается фор мулой — 1и ~(х, — а)з+ — '(х, — 6)-'~ + с. (4.125) ыл г'К к, Кг Здесь за координатные оси приняты главные оси проницаемости.
Заметим еще, что для построения потенциала точечного источника не обязательно считать жидкость несжимаемой. Например, в случае установившегося плоского течения идеального газа можно построить распределение потенциала У вокрут точечного источника, использовав уравнение (4.33). Точечные источники могут быть также опреде. лены для неустановившегося течения однородной сжимаемой жидкости. 4.51.
Система скважин вблизи места скачкообразного изменения характеристики пористой среды; метод изображений Используя принцип суперпознции для точечных источников, можно решать задачи об источниках, помещенных в неоднородную среду, Например, можно решить задачу 135 о системе нефтяных скважин в горизонтальном пласте, который разделен вертикальной плоской границей на две части, обладающие различными проиицаемостями. Для решения задачи такого типа применяется метод изображений. Формулировка метода изображений дается здесь для плоских точечных источников.
В действительности же это весьма общий метод, и он так же хорошо формулируется для пространственных точечных источников. Рассмотрим горизонтальный изотропный пласт постоянной мощности и бесконечной протяженности. Допустим, что этот пласт состоит из двух частей (а) и (д), отделенных одна от другой вертикальной плоскостью и имеющих проницаемости К, и Кь. Предположим, что пласт заполнен несжимаемой жидкостью плотности р и вязкости 1г. Пусть в части (а) пласта на расстоянии д от границы раздела расположена скважина, которую будем считать в дальнейшем точечным источником.
Выберем начало координат где-нибудь на границе раздела и ось х1 направим вдоль втой границы. Тогда математическая задача формулируется следующим образом: д'ф дг Ь вЂ” '+ — '=О, х,(0, д~ дх ! 2 — „+ — =О, ~,)0, д'ф~ д-'6~ дх1 дкз~ х, == О, фа — ть1 дз (4.126) Здесь ф, (х„х,) — потенциальная функция в среде (а) с проницаемостью К„ ф» (х„ х,) — потенциальная функция в среде (Ь) с проницаемостью Кю В дополнение к сформулированным выше требованиям, которые являются весьма общими, нужно указать положение и производительность источника, Примем, что он расположен в точке (х, = О, х, =. — и) и имеет производительность д.
Рассматривая функцию 'ф„= 4 ~ а 1и (х~ + (хз + п)2~), (4.127) 137 мы видим, что она удовлетворяет требованиям, предъявляемым к источнику, но не удовлетворяет условиям на границе раздела. Для того чтобы исправить это, поместим другой источник производительности А д в точку (х, = О, х, = й) среды (6). Этот источник называется «изображением» точечного источника, расположенного в точке (х, = О, ха =- — 4. Здесь А — подлежащая определению постоянная. Примем теперь, что ф, = — ~' — (1и ~х ~ + (х.
+ сМ)т) + А 1п (х( + (х, — сХ)') ), ""'ь="4яК й "~ ~+( ° + )~ (4. 128) Здесь  — другая постоянная, также подлежащая лению. Используя условия на границе раздела получаем 1+А=В, опредех, = О, (4. 129) (4. 130) 1 — А = — "В. Кд Следовательно, (4. 131) (4. 132) ф, =- ч -„(1и (х, +(х, + Ы)'~+ + а' " 1п ~х~ +(х,— Л) 1) (4 133) при х,(0, К ~ †! фь = „— — ' —,(1+ — ~) 1п (х1+(»з+ д)з~ (4.134) прн х,)0 1ЗВ Поэтому потенциал точечного источника с мощностью д, расположенного на расстоянии — й от границы раздела, выражается формулами В частности, из этих формул можно получить различные предельные случаи, изменяя Ка.
Например, если положить проницаемость Ка равной нулю, то это будет соответствовать случаю непроницаемой границы. В этом случае фа не имеет физического смысла, Если акс проницаемость Ка становится бесконечно большой, то потенциал фа во второй среде всюду обращается в нуль, а граница раздела превращается в линию равных потенциалов. Р н с, 4. 12, Система иаображений ала точечного источника а бесконе ~ион полосе. Очевидно, что если скважин много, то задача также может быть решена путем применения принципа суперпозиции. При этом с каждой скважиной нужно поступить так же, как с отдельной скважиной в рассмотренном вьнпе примере. Если область составлена более чем из двух частей с различными проницаемостями или ограничена несколькими непроницаемыми границами, тозадачу можно решить, соответствующим образом обобщив изложенный выше метод. Рассмотрим скважину, расположенную в бесконечной полосе ширины Е на расстоянии Ы от одной нз границ полосы.
Очень легко сообразить, как применить метод изображений в этом случае. Нужно шаг за шагом бесконечное число раз пристраивать к исходной полосе такие же полосы (рис. 4. 12) . Скважины-изображения нужно располагать так, как показано па этом рисунке. Из рисунка видно, что расположение изображений как раз такое, которое получилось бы 139 в результате отражения в зеркалах, совпадающих с общими границами двух соседних полос, Отсюда и название. «скважины-изображсния». После того как скважины-изображения построены, непроницаемые границы можно удалить, так как в силу симметрии через линии, по которым эти границы проходили, жидкость все равно не потечет. Именно бесконечная цепочка скважин равной производительности, расположенных так, как показано на рисунке, обеспечивает распределение потенциала, при котором течение через линии бывших границ отсутствует.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
