Р. Коллинз - Течения жидкостей через пористые материалы (1132348), страница 17
Текст из файла (страница 17)
2. В го геп Л. ~Ч., Трапе. А)МЕ, 192 (1951), 67. 3. СЬа(епееег А., Са1Ьопп Л. С., Лг., Тгапв. А1МЕ, 195 (1952), !49. 4. О а г с у Н., !.ев 1оп1а|пег рпЬ||йпев бе |а е!11е г(е Р()оп, Оа1- гпоп1, Рагип 1856. 5. и г и и и 3., О г и| и и А. А., 1па. Епй. Саепг., 41 (1949), 1179. б. Е в 1 ее Гс. К., Р и 11оп Р.
Г., Тгипв. А1МЕ, 207 (1956), 338. 7. Р а п с Ь е г О. Н., Ь е к ! в Л. А., |пг|, Епа. Сает., 25 (1933), 1|39. 8. Г а 11 1., Тгапв, А)МЕ, 207 (1956), 144. Ч. нег ге и бои Л„Сгеп!е С(а!1, 125 (1948), 24. 10. Р о г с Ь Ь е |го е г Р., 2. )гег. г(еиьи 1пй., 45 (1901), 1782. 11. О е11е и Т. М,, О гее п в Йг.
(Ч., Р аг|вЬ О, )с., Мог ее й. А., Тгапи А(МЕ, 192 (1951), 99. 12. О!а вв1опе 6. Тех1Ьоо)г о1 РЬугйса| СЬе|п(в(гу, О. Тгап (Човцапб Со., Хепг Ъ'огк, 1946. !04 13. Н и Ь Ь е г ! М. К., Тгапк 4!)г)Е, 207 (1956), 222. ! 4. Л о г й а и Л. К., Мс. С а г д е 1! 1Ч. М., И о с о ! 1 С. В, О!! Ваз Л., 55, )6 !9 (1957), 98. 15, К 1 ! и Ь е и Ь е г 6 1..
Л., Л)г!!!!пу Ргог!. Ргос,, 200 (1941). 16. РЬг119 Л, )!., )Ле Чг1ея )7. А., Тгапк Ат. БеорЬук Ч., 38 (! 957), 222. 17. В1сЬагбеои Л. О., Кегчег Л. К., На1!огй Л. А. О за Ь а Л. 8., Тгапг. Л)МЕ, 195 (1952), 187, 18. 6 с 5е(д е 6 8ег А. Е., бее)!к Рига, Арр!., 28, (1954), 75 19. (Чоо5 з(де ЛЧ., С 1111 е Л. В., Бог! БсЕ., 87 (!956), 75. ГЛАВА 4 Стационарное ламинарное течение однородной жадности 4.10. Установившийся режим Установившийся режим характеризуется неизменностью во времени всех физических переменных. Таким образом, в установившемся состоянии распределение давления и скорости в жидкости не зависит от времени.
Так как все производные по времени равны нулю, то уравнение неразрывности принимает вид хт (рч) = О. (4.)) В этой главе рассматриваются различные задачи об установившихся течениях. Методы решения задач об установившихся течениях однородной жидкости довольно хорошо разработаны, н в литературе можно найти много решенных задач такого рода.
Поэтому здесь не делается попытки дать полный обзор типов возникающих задач и методов их решения. Формулируются лишь основные задачи н описываются наиболее полезные приемы нх решения. Песколько примеров приводится в этой главе и еще несколько — в главе 7. 4.20. Прямолинейный поток н измерение проницаемости В случае прямолинейного горизонтального течения в пористой среде однородной несжимаемой жидкости из закона Дарси и уравнения неразрывности получается следующее дифференциальное уравнение: (4.2) Здесь опущена вязкость, которая считается постоянной. 106 К вЂ” = сопз(.
др дх (4.3) Умножая это соотношение на — Л7р., где Л вЂ” площадь по- перечного сечения образца, используя закон Дарси, полу- чаем — — — = д =- сопз(, КЛ др р. дх (4.4) где д — объемный расход жидкости. Из (4.4) следует 4~» 1 дх А К(х) (4.5) откуда после интегрирования получаем (4.6) Если длину образца обозначить через 7. и положить йр = р(9) — р(7.), (4.7) то полученный выше результат можно записать в виде К ар 7 =- — — Л вЂ”, 1 (4.8) где (4. 9) Величина К представляет собой среднегармоническое значение проницаемости. Отсюда видно, что обычно получаемая из опытов с прямолинейными течениями проницаемость равна среднегармоническому значеншо проницаемости.
Для однородного 107 Вообще говоря, проницаемость К может быть в разных точках пористой среды различной. Если образец пористой среды имеет форму длинного тонкого цилиндра, то в каждом поперечном сечении образца проницаемость можно считать постоянной. Тогда К и, следовательно, р буду.т функциями только от х. Первое интегрирование уравнения (4.2) по х дает В случае стационарного течения давление не зависит от времени, так что 0 (4.11) Используем теперь уравнение Клинкенберга, связываю- щее К и р, К=К (1+ —,'), (4.12) где К< нужно считать функцией от х.
Уравнение движения после этого примет вид — „" ~К р(1+ — ')„— "~=О, (4.13) где вязкость (х снова считается постоянной и поэтому опущена. Это уравнение легко интегрируется и в результате получается соотношение К р(1+ — ) — =- а = сопз1, д~др р ) дх (4.14) из которого следует равенство ар я )дх К (х)' (4.15) Наконец, еще одно интегрирование дает соотношение -з- (р (0) — р'(1)1+ Ь (р(0) — р(й)) = — а~ —, (4.16) о или — — ( дакар К,р(1+ — ) — = а, р)г.— (4.17) 108 образца среднее значение проницаемости К совпадает с постоянной проницаемостью К этого образца. Если для измерения проницаемости используется газ, то нужно учитывать и сжимасмость газа и явление скольжения. Уравнение, описывающее прямолинейное те. чение совершенного газа, имеет вид — ( — р — )=/и —.
д гК дрт др дх(, а дх) д1 (4.10) где р = 9 1р(0) +р(~4, (4.18) (4.19) (4 20) Используя закон Дарси, находим а= —, чнР Л (4.2 1) 4,30. Плоское горизонтальное течение в однородных средах. Математическая формулировка задачи Рассмотрим горизонтальный пласт однородной пористой среды.
Предположим, что верхняя и нижняя границы пласта непроницаемы. Предположим также, что на других границах обеспечивается отсутствие течения по вертикали. 109 где д — объемный расход, отнесенный к среднему давлению р, А — площадь поперечного сечения. Таким образом, снова получаем среднегармоническое значение, но на этот раз величины К~. Недостатком проведенного рассмотрения является то, что величина Ь считалась не зависящей от х. Строго говоря, в большинстве естественных пористых материалов в разных точках различна не только проницаемость К, но также и величина Ь. Рассмотренные выше два случая прямолинейного течения играют важную роль при обработке экспериментов по измерению проницаемости. В естественных пористых материалах проницаемость представляет собой случайную функцию пространственных координат, вследствие чего очень короткий образец статистически ненадежен.
С другой стороны, длинный образец трудно изготовить и с ним трудно обращаться. Поэтому лучше всего вычислять среднюю проницаемость по результатам измерения среднегармонической проницаемости большого числа коротких образцов. Если к тому же предположить, что вертикаль представляет собой одну из главных осей тензора проницаемости, то условие отсутствия потока по вертикали запишется при помощи закона Дарси в виде К,з дФ о = — — — =О, 3 И дх~ (4.22) где в соответствии с определением, приведенным в п, 3.31, ф== ~ ЕИх. (4.23) При указанных условиях из закона Дарси для горизонтальных составляющих скорости получаем К, дф К, др и = — — Р— = — —— и дх1 и дх, (4.
25) К„ дф К~ др дх, . дх, (4.26) Отсюда и из уравнения неразрывности находим — — р — + — р — 1 0. д, К~ др~ д /К~ др' (4.27) дх, ~ И дх~) дхз( З дх2/ Можно рассмотреть два основных случая: течение жидкости и течение газа. Если имеется в виду течение газа, то нужно учесть эффект Клинкенберга, а действием силы тяжести можно пренебречь. Для совершенного газа, находящегося в изотермических условиях, уравнение (4.24) принимает вид др Мя — — — р дх РР (4.28) где М вЂ” молекулярный вес газа. Следовательно, Р (х„х„х,) = Р (хн х., 0) е — гмх1лг> ' (4.29) 110 Ро Таким образом, потенциал ф является функцией только координат х, и х, Однако как р, так и р будут зависеть от вертикальной координаты.Из уравнения (4.23) получаем —,'" = — РК (4.
24) дх, и, так как Мц1КТ вЂ” величина малая, то для не очень больших значений х, отсюда следует приближенное ра- венство (4 30) К2 — "= К~со(1+ — ), К, ==- К2со(1 + — 1, (4 31) где Ь вЂ” постоянная. Строго говоря, постоянная Ь имеет разные значения вдоль обеих главных осей. Однако ошибка, возникающая из-за того, что эти значения счгпаются одинаковыми, лежит далеко за пределами ошибок, вносимых математическим упрощением задачи. Учитывая сделанные предположения и выражая плотность через давление, получаем К1, — — — (р+ Ь)— д ГМ др1 дх, ~ ТсТ~ дх, ) д ГМ, др1 Кзсо ~-, (р, Ь) — = О.
дхо ~1сТр. ' дхо~ (4 32) Это уравнение можно записать в более простом виде, вводя фуикпию (2' (р) следующим равенством: (У (Р) =,„КТ ') (Р + Ь) "Р =- К2 о М )/К1со Косо (р -1- 2Ь) А (4.33) 21сйТ Уравнение (4.32) тогда запишется в виде дЧ/ К2, дЧ/ дх1 К|со дх2 (4.34) Здесь вязкость )х считается постоянной. 111 р (Хн Ха, Хс),о (Хо Х2, 0).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
