Р. Коллинз - Течения жидкостей через пористые материалы (1132348), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Вычисляя Л и Ь' при помощи (4.65), получаем (4.66) Далее, воспользуемся тем, что вычисляемые двумя способами значения постоянной Л должны совпадать. Это дает выражение для расхода конформно. Например, преобразование ю=1пг (4.71) конформно. Следовательно, и+ /о =-!и(/е") =1п/ + КО или (4.72) и =-1п(х'+ ул)'/г, (4,73) о = агс1д(у/х) является конформным отображением. Другим важным свойством конформных преобразований является то, что при этих преобразованиях уравнение Лап- ласа переходит само в себя. Таким образом, предполагая, что (/(х, р) есть решение уравнения д2// дЧ/ (4.
74) н осуществляя конформное преобразование г= 7'(а/) х= х(и, о), у = у(и, о), (4.75) можно показать, что функция (/(х, у), выраженная через и н о, т. е. (/(х(и, о), у(и, о)), удовлетворяет уравнению Лапласа в координатах и, о дЧ/ дЧ/ — + — — — -- О. дич до' Это можно сформулировать в виде теоремы [2[. 120 Поэтому в бесконечно малой окрестности любой точки комплексной плоскости можно построить малый прямоугольник, две стороны которого образованы кривыми (/ —.— сопз[, а другие две стороны — кривыми [/ = сопя(.
Перейдем от координат х, р к координатам и, о и посмотрим, какую форму будет иметь этот прямоугольник в плоскости комплексного переменного ю = и [- (о. Если бесконечно малый прямоугольник в плоскости г переходит опять в прямоугольник в плоскости и/, то о таком преобразовании говорят, что оно конформное. Относительно таких преобразований доказана следующая теорема [21.
Т е о р е м а. В каждой точке, где функция /"('г) аналитична и д[///г=[=-0, преобразование а/ — — / (г) (4. 70) Т е о р е м а, Любая гармоническая функция от х, у переходшп в гармоническую зче функцию от и, о при осуи1ествлении преобрааовшшя х + 1у = $(и + го), где аналитическая функция, Гармонической называется функция, удовлетворяющая уравнению Лапласа. уа-г;а и, У с. Ллссксста а Плоскссюь ю Р и с. 4. 2.
Конфориное преобразование радиального течении в прямолинейное. Применение указанных свойств конформных преобразований (или отображений) к решению задач о плоском установившемся течении рассматривается па ряде примеров в следующем пункте. Сейчас мы рассмотрим пример применения конформных преобразований. Рассмотрим задачу о плоском радиальном течении из предыдущего пункта.
При решении этой задачи можно исходить из уравнения дзУ дЧI д з '~ д з -- — -О, гз (ха у' г (4.77) с граничными услониями .а ~ 2 (4.7В) х'+ уа =-г„. У =- (7, на кривой У =- й'н на кривой В плоскости комплексного переменного и = х +(у область течения ограничена концентрическими окруигностями с центром в начале координат. Посмотрим, каково конформное отображение этой области, осуществляемое преобразованием (4.71) или (4.73). Результат показан на рис.
4.2. 5В, Зак. 592 121 Область течения в плоскости ш представляет собой прямоугольник, а соответствующее уравнение в этой плоскости — это уравнение (4.76), т. е. опять уравнение Лапласа. решение задачи в плоскости ги находится сразу, так как, очевидно, течение будет прямолинейным. Таким образом, У=А+Ви, (4. 79) где А и  — постоянные.
Воспользовавшись граничными условиями У = (7, на прямой и = 1пг;, У = (у„на прямой и = 1пг,, получим (4. 81) Отсюда с учетом (4.73) найдем (/=(7г + "' ' 1п ~, (4.82) !п(г„гг„, ) г, т. е. решение задачи в плоскости х, у„ Прием, которым мы только что воспользовались, весьма общий. Он заключается в следующем.
Сначала находят конформное отображение ш =- 7(а) области течения на какую- нибудь геометрически простую область, решение задачи для которой известно, и затем выражают это решение через исходные переменные. Построить подходящее конформное отображение нередко бывает трудно, и в таких случаях необходим большой опыт практического применения конформных отображений. Заметим еще, что в рассмотренной выше задаче вследствие применения конформного преобразования геометрическая форма в целом сильно изменилась, а в малом — сохранилась. Так, в первоначальной области кривые Г = =- сопя( были концентрическими окружностями, перпендикулярными лучам, выходящим из начала координат, а в преобразованной области эти же самые линии У = сопз1 стали прямыми, перпендикулярнымн параллельным прямым Г = сопз1.
4.34. Преобразование Кристоффеля — Шварца. Конформное отображение прямоугольника В предыдущем пункте было показано, что при решении задач об установившемся плоском течении полезно применять конформное отобра>кение. Однако найти функцию, осуществляющую нужное конформное отображение, бывает не всегда просто. К счастью, существует способ построения отображающей функции, которая отображает внутренность многоугольника, находящегося на плоскости г, на верхнюю полуплоскость плоскости ш; граница многоугольника переходит при этом в действительную ось плоскости и>.
Такое преобразование называется преобразованием Кристоффеля — Шварца, Итак, предположим, что область течения на плоскости з ограничена прямыми линиями, часть из которых — линии равного потенциала, а остальные — линии тока. Применяя преобразование Кристоффеля — 111варца, эту область можно отобразить на верхнюю палуплоскость плоскости и>. Наряду с этим можно, воспользовавшись другим преобразованием Кристоффеля — Шварца, отобразить прямоугольник, скажем, плоскости В тоже на верхнюю полуплоскость плоскости и>. Преобразование, обратное этому последнему, отображает область течения в плоскости и> на внутренность прямоугольника, расположенного в плоскости >1. Причем обычно можно добиться того, чтобы какие-нибудь две параллельные стороны прямоугольника были линиями тока, а две другие — линиями равного потенциала.
Тогда течение в плоскости >1 будет прямолинейным и решение выписывается сразу. Теперь, не углубляясь в математические подробности, покажем, как строится преобразование Кристоффеля— Шварца. Рассмотрим многоугольник АВСЕ> на плоскости г. Его внешние углы обозначим через а, р, у, 6, как показано на рис. 4.3. Очевидно, гг -1- ~ + у + 6 = 2П. Внутренность рассматриваемого многоугольника нужно отобразить на верхнюю полуплоскость плоскости н> при помощи аналитической функции (4. 84) 5В* 123 Граница многоугольника при таком отображении переходнт вдействительную ось и плоскости ш.
Вершины А, В, С, 0 переходят в точки ш =- а, 6, с, г(, как показано на рис. 4.3. Искомое преобразование должно удовлетворять уравнению „г = А(го — а) — "У'(го — Ь) — ате(го — с) — тl (го — е() — У". (4.85) Постоянная А, которая может быть комплексной, занисит от размера и расположения рассматриваемого многоуголь- ника на плоскости г. ь с Плосносгоь ю Плослосшь г Р н с.
4. 3. Отображевве многоугольника на верхнюю полуплоскость. В общем случае уравнение (4.85) содержит в правой части столько множителей (кроме постоянной А), сколько у отображаемого многоугольника вершин. Исключения бывают, когда одна из вершин переходит в точку ш = == 4- о, Множитель, соответствующий такой вершине, следует опустить.
В большинстве интересных случаев уравнение (4.85) принодит кдовольно сложным интегралам. Так как отображение прямоугольника наиболее важно, то на этом случае остановимся подробнее. Конформнос отображение прямоугольника начнем строить с плоскости го. Пусть изображениями вершин В, С будут точки го .= — 1 и го = 1, а изображениями оставшихся вершин — точки го = — 1/х и го = — 1/х. Все внешние углы прямоугольника равны п(2. Поэтому уравнение (4.85) принимает вид ог Ав ого (! ма)ыа (! тз ма)ыа (4.86) !24 Если начало координат плоскости г переходит в точку го=О, то г =.
А ---, (4.87) (/ /ве)~/е ([ та ма)// о где черезА обозначено произведение Ах. Величина А влияет только на масштаб в плоскости г. Поэтому можно положить А = 1. Тогда получим г = (, и — — — —; —,. (4.88) ,,!/2(/ ее а)//е о Вычисление этого интеграла прн те/ = ~ 1 дает соответ- ственно г(ш = 1) = К(х), г (и/ = — 1) = — К (х), (4.89) (4.90) где К (х) — полный эллиптический интеграл первого рода с модулем х.
Имеются таблицы этого интеграла [31. /л') Таким образом, ширина прямоугольника в плоскости г равна 2К(х). Лналогично можно показать, что при и/ — — ~ 1/х Р и с. 4. 4. К отображеиию прямоутольиика по формуле Кристоффеля — Шварца. г(н/ — 1/х) =- К (х) + /К (х*), г (и/= — 1)х) =- — К (х) + /К (х'), (4.91) (4. 92) 125 где (4. 93) — дополнительный модуль. Таким образом, высота прямоугольника в плоскости г равна К(х') (рис. 4.4).
При помощи имеющихся таблиц полного эллиптического интеграла можно, используя полученные выражения, легко вычислить ширину и высоту прямоугольника. Однако во внутренних точках прямоугольника выра>кение (4.88) представляет собой эллиптическую функцию, пользоваться которой довольно трудно. И все же, как будет показано в следующем пункте, это преобразование крайне полезно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
