Р. Коллинз - Течения жидкостей через пористые материалы (1132348), страница 15
Текст из файла (страница 15)
В данном случае зависимость р от р может быть довольно сложной. Можно было бы рассмотреть также и другие случаи, например совершенный газ в адиабатических условиях. Однако случаи, рассмотренные выше, наиболее важны и только они будут использоваться в дальнейшем. 3.50. Уравнения неразрывности При исследовании течений, будь то течение жидкости, электричества или тепла, одним из самых полезных математических средств являются законы сохранения. Законы сохранения всегда сводятся к тому, что некоторая физнчсская величина сохраняется, т.
е. не создается и не уничтожается. Для того чтобы в общем виде сформулировать закон сохранения некоторой физической величины, рассмотрим в области течения элемент объема в форме прямоугольного параллелепипеда со сторонами Лхь Лхз и Лхз. Пусть концентрация рассматриваемой величины, выраженная в единицах измерения этой величины на единицу объема, равна 1', а плотность потока этой величины, т. е. ее количество, 92 переносимое в единицу времени через единицу площади, равна 5а.
Так как 5а — вектор, то он имеет три составляющие 5йь 5йл 5йв, каждая изкоторых равнаплотности потока рассматриваемой величины вдоль соответствующей координатной оси. Предположим, кроме того, что выделение рассматриваемой величины в потоке происходит со скоростью 6 единиц этой величины в единице объема в единицу времени.
Величины Г, 5й и 6-- все переменные. Лхт,ха) 52т Гх Р и с. 3. 4. Элемеат объема в области течения. Теперь, исходя из данных вьппе определений, можно сформулировать закон сохранения рассматриваемой физической величины. Среднюю плотность потока этой величины через каждую грань элементарного параллелепипеда будем обозначать чертой, как показано на рис.
3.4. Напрнмср, 5й1 (хт, хв, хв,Г) представляет собой среднее значение величины 5л по грани х =-хт со сторонами Лх„ Лха. Точно так же 5тт(хт -'- Лхь хя, хв, г) — среднее значение вит по грани х = хт + Лхь Аналогичные величины получаются и для других граней. Полное количество величины Г, поступающее в рассматриваемый объем за промежуток времени от г до г+ -~-ЛА равно 93 , (х,, хм х„1) Лх, Лх, + Г), (х,, х„хз г) Лх! Лха т + 6а(хо х2, хз, 1) Лх1Лх2) Лт Полное количество величины Г, покидающее этот объем за тот же промежуток времени, равно [(),(х, + Лх„хм х, ~) Лх, Лх, +й,(хь х,-~- Лх,, х, ~) ~ Х Лх, Лх, + йа(х„х„х, + Лхм ~) Лх, Лх,~ ЛЛ где через Г обозначено среднее значение величины Г по данному элементу объема в данный момент времени. Так как рассматриваемая физическая величина должна сохраняться, то можно записать следующее уравнение: (количество втекающее) — (количество вытекающее) + + (количество выделяющееся) =- (увеличению содержания).
Подставляя сюда найденные выше выражения, деля все уравнение на Лх, Лх, Лх, Л~ и переходя к предечу при Лх,, Лх,„Лх„ЛД стремящихся к нулю, получаем уравнение ~ дй~ до, дй~ Х дГ ( 1+ - + э)+6= ( дх~ дх, дхз ) д1 ' (3.65) Это уравнение неразрывности, содержащее член 6, который выражает создание величины Г в единице объема за единицу времени, Уравнение (3.65) можно записать ко- роче, использовав оператор Гамильтона ~~, — уй+ 6 == —,. дГ (3.6б) Приведенный выше вывод уравнения неразрывности поясняет физический смысл этого уравнения, но в то же 94 Наконец, количество вещества, выделяющееся за это же время в самом объеме, равно 6 (х1 хз хз ~) Лх~ Лха Лхд ЛЛ Здесь через 6 обозначено среднее значение величины 6 по рассматриваемому объему в данный момент времени Л Если предположить, что в данный элемент объема втекает и выделяется в нем большее количество величины Г, чем вытекает, то приращение этой величины в элементе объема за время Л1 равно ~Г (хо х, х, (+ Л() — Г (хо х, х, ~)~ Лх Лх Лх„ время он довольно громоздок.
Более короткий и строгий вывод состоит в следующем. Поскольку рассматриваемая физическая величина сохраняется, то для произвольно~о объема должно выполняться равенство — ф Я~(А -(- ~03х, с(х,дх, =- — ~ГНх,г(х,г(х,, (3.67) где первый поверхностный интеграл берется по замкнутой поверхности, ограничивающей данный объем У, а остальные — объемные интегралы — берутся по этому объему )г. Так как данный объем )г считается фиксированным, то производную по времени можно внести под интеграл как частную производную, примененную к Г. Используя далее теорему о преобразовании поверхностного интеграла в объемный и производя перегруппировку членов, получим — -- ) ° ° '=- ~ — ~й + 6 — — ) Йх, г(х, дха = — О. (3.68) дг ' Это равенство долэкно выполняться для произвольного объема. Отсюда следует, что подинтегральное выражение всюду должно обращаться в нуль, что и приводит к уравнению (3.66) .
Применение уравнения неразрывности к задачам о течении жидкости в пористых средах рассматривается в следующем пункте. 3.60. Дифференциальные уравнения течения жидкости в пористых средах Из математического закона движения жидкости в пористой среде и уравнения неразрывности можно вывести дифференциальные уравнения движения. Хотя получаемые таким образом уравнения можно было бы записать в весьма общем виде, удобнее выводить их для разныхтипов течений каждый раз заново. К тому же эти дифференциальные уравнения записываются по-разному даже в зависимости от рассматриваемой задачи.
Многие из уравнений, которые будут выведены в этом пункте, подробно рассматриваются в следующих главах. Течение однокомпонентной несжим а е м о й , 'ж и д к о с т и. Объем элемента несжимаемой 95 К'=--д — +-д--+-д — = 6(хь хг хз 1). (З.б9) др, дгг д22 Х1 Х2 Х2 Обычно в области течения нет ни источников, ни стоков жидкости. Поэтому 6 =- О и тогда из (3.69) следует, что 12т = О. В этом уравнении компоненты плотности объемного потока жидкости о1, ог, ог должны быть выражены через составляющие градиента потенциала в соответствии с законом Дарси. Таким образом, в зависимости от характера пористой среды уравнения получаются различными.
В случае изотропной пористой среды компоненты о, выражаются по формуле (3.35), что приводит к дифференциальному уравнению вида Вязкость жидкости 12 обычно считается постоянной, но проницаемость К может, вообще говоря, зависеть от х,. Если среда однородна, то проницаемость К постоянна, и если постоянна вязкость 12, то дифференциальное уравнение (3.70) сводится к уравненьпо Лапласа: дг ф' дг г2', д2 ф' Ч'ф'=- — + — + —,-=О, дхг дхг дхг 1 г 'з (3.71) где потенциал течения гр' равен (3.
72) 2Р' =- Р + Рггхг. Так как и р, и д постоянны, то уравнение (3.71) можно записать в виде дгр дгр дгр — + — + =О. дхг дхг дхг (3. 73) 96 жидкости не изменяется при изменении давления. Следовательно, жидкий объем сохраняется, и поэтому в уравнение неразрывности вместо 11 нужно подставить плотность объемного потока ч, а вместо концентрации à — концентрацию жидкости, которая равна пористости т. Таким образом, считая пористость лг постоянной, можно записать уравнение неразрывности в прямоугольных декартовых координатах в виде Следовательно, единственной причиной различия между распределениями т(т' и р могут быть только граничные условия. К обсуждению этого вопроса мы еще вернемся. В случае анизотропной пористой среды компоненты плотности обьемного потока жидкости о, (! = 1, 2, 3) удовлетворяют уравнениям (3.52) при условии, что система координат отнесена к главным осям пористой среды.
В этом случае К,, К, и Кз — различные константы; дифференциальное уравнение течения принимает вид При выводе было предположено, что вязкость постоянна, и, следовательно, ее можно было исключить, умножив все уравнение на р. В данном случае потенциал течения тр' дается формулой з тр'=р -'; рд~~', х,сова„ где а,(! = 1, 2, 3) — углы' между вертикалью и соответствующими осями координат. Преобразование системы координат позволяет получить важное упрощение. Введем новые координаты т1,(т=-1, 2, 3) по формуле !'=1, 2, 3. (3.75) Тогда дифференциальное уравнение течения примет вид †' ~-- + ' , + ' , = О, (3.75) дч! дзз дтз где функция ф' считается выраженной через координаты т1, следующим образом: з тР' =- р (т),, т1,, т1з, 1) + рд' ~~ т1, $/ --' соз а,.
(3,77) !=-! Таким образом, как тр', так и р в системе координат т1! удовлетворяют уравнению Лапласа. Все вышеприведенные дифференциальные уравнения записаны для случая пространственного течения. Конечно, если из-за геометрии и граничных условий возникает чт одномерный или двумерный поток, то уравнения упрощаются, так как некоторые производные в них обращаются в нуль. Течение однокомпонентной сжимаем о й ж и д к о с т и.
При течении в пористой среде сжимаемой жидкости объем элемента жидкости может изменяться в результате изменения давления. Поэтому жидкий объем не сохраняется. Однако масса элемента жидкости при всех изменениях его объема остается неизменной и, следовательно, сохраняется. Теперь роль й в уравнении неразрывности играет плотность потока массы, и в качестве концентрации нужно брать концентрацию массы. Таким образом, Я = рт, Г=тр, (3.79) где через т, как всегда, обозначена пористость и через р — плотность жидкости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
