Р. Коллинз - Течения жидкостей через пористые материалы (1132348), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Уравнение неразрывности после этого принимает вид — Ч (Рт) + 6 = — — — '. (3.80) Ч( ' Ч1)=тф, (3.81) или, выражая ф через давление, найдем (3.82) Если влияние си.ты тяжести пренебрежимо мало, как это обычно бывает, то уравнение (3.82) принимает вид (Лр ) др (3.83) 98 Так как наибольший интерес представляет случай отсутствия источников и стоков в области течения, то величина 6 в последующем рассмотрении будет считаться равной нулю.
Пористость обычно можно считать постоянной и выносить за знак производной. Выражая при помощи закона Дарси велнчины и; через составляющие градиента потенциала, получаем, что для изотропной среды Для разных уравнений состояния жидкости отсюда можно получать разные уравнения движения. Для гкндкости, обладающей постоянной сжимаемо- стью, ! Ир с = — — = сопз( др (3,84) получается 1 с (3.85) тг(К(гр) = трс- —.
др (3.86) Если к тому же пористая среда однородна, то ее проница- емость К вЂ” постоянна и тогда получается уравнение трс др 'х Р= К дз (3.87) или в прямоугольных декартовых координатах дзр, д'р д'р трс др т — + — =— дхз дхз дхз з з (3.88) Это уравнение имеет в точности такой же вид, как уравнение теплопроводности Фурье. Для слабосжимаемых жидкостей иногда это уравнение упрощается. Если з з с ~ (др/дхг)з г=-1 то уравнение (3.88) можно приближенно записать в виде дз)г, д*р д'р тнс др дхз дхз дхз л з з (3.90) 99 Таким образом, для сжимаемой жидкости в изотропной несжимаемой пористой среде в предположении, что сжимаемость с жидкости постоянна и влиянием силы тяжести можно пренебречь, дифференциальное уравнение движения имеет вид К такому виду уравнения движения можно прийти, заметив, что уравнение состояния жидкости с постоянной сжимаемостью можно записать так; р = р е'(о — оп = 1 =- ро~1 (- с(Р— ро) — ' — 1 с'(р ро)о+" 1 (3 9!) Выполнив нужные дифференцирования и подставив результат в уравнение (3.88) с учетом только членов порядка до с', получим вышеприведенное уравнение.
В случае течения в пористой среде совершенного газа влияние силы тяжести пренебрежимо мало. Таким образом, из уравнения (3.86) с учетом уравнения состояния (3.62) находим ~( — Вур)= т (3.92) Если К и !о считать постоянными, то это уравнение приво- дится к довольно простому виду (3 93) Г =-- т5о р, (3. 94) !оо Хотя уравнение (3.93) и нелинейное, но оно очень похоже на приведенное выше уравнение движения сжимаемой жидкости. Уравнения движения реального газа или газа, текущего в адиабатических условиях, могут быть получены тем же путем, что и вышеприведенные уравнения. Можно также рассмотреть движение с учетом эффекта Клинкенберга, приводящего к зависимости К от давления. Совместное движение несмешива!ощ и х с я ж и д к о с т е й. В случае совместного движения несмешивающихся жидкостей нужно воспользоваться двумя независимыми законами сохранения.
Так как из сохранения массы в частном случае несжимаемой жидкости следует сохранение объема, то для каждой жидкости можно записать более общий закон сохранения массы. Обозначив смачивающую и несмачивающую жидкости соответственно индексами с. и нс. и приняв во внимание, что концентрация массы, например смачивающей жидкости, равна получим уравнение неразрывности смачивнющей жидко- сти в следующем виде. — Ч(рс «.)=-т а(б, 1,,) (3.95) Здесь предполагается, что пористость т постоянна и что источники и стоки отсутствуют. С учетом закона Дарси в форме (3.4!) отсюда находим Точно так же получается уравнение движения несмачивающей жидкости !"нс К этим двум уравнениям нужно добавить уравнения состояния для каждой из компонент, связывающие р,, р,, и о„, с р„, .
Давления р, и р„,. должны быть также связаны через зависимость капиллярного давления от насыщенности. Полученные уравнения янляются весьма общими. Изучение частных случаев приводит к многим интересным задачам. В случае совместного движения трех несмешивающихся жидкостей уравнения выводятся таким же путем. Дальнейшее исследование выведенных в этом пункте уравнений будет проведено в других главах. 3.70. Граничные условият Обычно уравнения движения жидкости в пористой среде оказываются дифференциальными уравнениями в частных производных второго порядка.
Таким образом, для того чтобы решить конкретную задачу о течении жидкости в пористой среде, необходимо задать граничные условия, которым должны удовлетворять искомая функция или ее производные. Этой функцией может быть либо давление, либо ' Конечно, необходимые граничные н начальные условия должны определяться при помощи метода характеристик Во по крайней мере в простейших случаях, которые и будут сейчас рассмотрены, простое обращение к фнаическому смыслу приводит к правильным результатам. 1О! потенциал течения, хотя в некоторых случаях может вводиться н другая функция, В случае движения сжимаемой жидкости в уравнение движения входит производная по времени, вследствие чего должно быть задано также начальное распределение либо давления, либо плотности, либо другой зависимой переменной.
Прн изучении совместного движения несмешивающихся жидкостей речь идет уже об одновременном определении двух зависимых переменных. Следовательно, граничные условия, так же как и начальные условия, должны быть заданы для обеих этих величин. Рассмотрим вид граничных и начальных условий в различных случаях. Н е и р о н и ц а е м а я г р а н и ц а. Так как на непроницаемой границе составляющая скорости жидкости по нормали к границе равна нулю, то нз закона Дарси получаем о =чп= — — ~рфп= — — =0 Кр Кр д(, (3.98) р.
д1л или просто д,'~ — = О. д1л (3.99) р (х„х„х„1) = сопз1 (3.100) илн ф (х„х„х, 1) =- сопз1 (3. 101) 102 Здесь п — единичный вектор нормали к границе, 1„— расстояние, измеряемое вдоль направления, параллельного и. В случае аннзотропных сред это условие должно быть видо- изменено. Проницаемая граница. Через проницаемую границу жидкость может вытекать или втекать. Поэтому граничные условия на ней могут быть различными. Однородная жидкость может втекать в пористую среду из какого-нибудь резервуара или вытекать из пористой среды в резервуар.
Если считать, что давление в резервуаре поддерживается постоянным (или поддерживается постоянным потенциал ф), то в этом случае граничное условие записывается в виде в зависимости от того, какая величина поддерживается постоянной. Еще более общее условие состоит в задании давления или потенциала в виде некоторой функции времени и координат границы.
чаще всего на проницаемой границе задается выражение для нормальной компоненты скорости Кр дф пп и О1л Эта функция должна быть задана для всех точек границы и для всего рассматриваемого интервала времени. Разрывы в пористой среде. Оченьчасто встречаются задачи, в которых нужно учитывать существование в пористой среде разрывов проницаемости. Соответствующие граничные условия на этих разрывах можно вывести из физических соображений. Предположим, что область течения состоит из двух областей 1 и 2, в которых проницаемости К~ и Кя различны. Тогда в случае, например, однородной жидкости задача заключается в нахождении двух функции: р,(х,, х„х,, г), определенной в области 1, и ри (хн х„х„1), определенной в области 2.
Так как в каждой точке области течения давление может принимать только одно значение, то на границе должно быть (3.102) Рг = Рз. Так как, кроме того, количество жидкости, которое войдет в границу с одной стороны, должно выйти из нее с другой, то нормальные к границе компоненты скорости должны быть по обе ее стороны одинаковыми р — — = р — — ' (на границе). (3.103) К1 дт! К2 дФ2 н гид н д4 Здесь ф, и ф, — значения потенциалов течения в соответствующих областях, р — плотность жидкости при давлении, равном давлению на границе, 1„ — расстояние по нормали к границе. Совместное течение нес меши в ающихс я ж ид к о с т ей. Граничные условия в случае совместного течения несмешивающихся жидкостей будут рассматриваться позднее на конкретных примерах.
103 Задачи 1. Вертикальная колонна из песчаника, боковая поверхность которой изолирована непроницаемым покрытием, наполнена разбавленным раствором соли. К торцам колонны прижаты проницаемые электроды. Написать выражение для разности потенциалов между электродами, которая обеспечит невытекаиие раствора из колонны.
2, Показать, что и пористой среде на границе раздела между различными жидкостями потенциал вр или вр' всегда претерпевает разрыв, 3. Показать, что на границе раздела пористых сред, обладаю!них различными проницаемостями, направление потока, если оно не перпендикулярно к этой границе, изменяется скачком. 4. Показать, что сслн пористая среда сжимаема, то уравнение неразрывности для массы жидкости имеет вид где с = — и |е(тугЛр — сжимаемость пор, с — сжимаемость жидкости. ЛИТЕРАТУРА 1. Ваггсг к. М., ()1!(пв!оп !и ап<1 1!попяЬ 5о1)с(в, СагпЬг!бее, Епх!вил, ТЬе 1)п!Регч1у Ргевв, 1941.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
