Р. Коллинз - Течения жидкостей через пористые материалы (1132348), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Более полные сведения о конформных отображениях читатель может найти в книгах [1, 2). 4 40. Поперечная прон ицаемость цилиндрического керна Рассматриваемая здесь задача является одной из важных задач для нефтяной промышленности.
Мы разберем ее для того, чтобы показать, как полезно применять конформныепрсобразования и,в частности, преобразование Кристоффеля — Шварца для прямоугольника. Керны, или образцы пористых горных пород, получают из нефтяных скважин в процессе бурения. Керны имеют вид прямых круговых цилиндров, оси которых обычно бывают перпендикулярны плоскостям напластования пород. Обычно проницаемость осадочной породы бывает различной вдоль и поперек напластования. Так как нефть притекает к скважине преимущественно вдоль напластования, то наибольший интерес представляет определение проницаемости именно в этом направлении.
Для определения проницаемости вдоль напластования можно вырезать из керна перпендикулярно его оси цилиндрик и измерить его проницаемость, использовав прямолинейное течение жидкости вдоль оси этого цилиндрика. Можно также попытаться измерить проницаемость поперек керна, использовав длинный кусок керна и создав в нем течение, перпендикулярное оси этого куска. В нефтяной промышленности обычно применяется первый способ, но часто пользуются также и вторым. Например, если порода представляет собой жеоднстый известняк, то свойства маленького образца, вырезанного из керна в поперечном иа- 126 ьтлс:касп ь я Р и с.
4. 6. Пркбор для измерения поперечной проницаемости керна (вид в плане). Р и с. 4. 6. Граничные условия к задаче об определении поперечйой проницаемости керна. идущих параллельно оси образца вдоль всей его длины. В плане это показано на рис. 4.5. На образец с прижатыми к нему пружинами плотно надевается резиновый рукав. Внутрь этого рукава вставляют толстые резиновые диски н прижимают их к торцам образца, Все это помещают внутрь болыпого металлического цилиндра и вдоль оси стягивают винтами дтя того, чтобы прижать резиновые диски к торцам керна. Таким образом, торцы керна оказываются закупоренными. В центре каждой группы спиральных пружин проходит связанная с рукавом жесткая трубка, которая через уплотнение выходит из металлического цилиндра наружу. Используемая в эксперименте жидкость (газ) поступает в керн через одну нз этих трубок и выходит через другую.
Колытевое пространство между резиновым рукавом и металлическим цилиндром наполняют сжатым воздухом, давление которого намного превосходит давление в керне. 127 правлении, не будут характеризовать свойства керна в целом. Создание поперечного потока в прямом круговом цилиндре, имеющем плоские основания, обеспечивается при помощи следующего устройства, С двух противоположных сторон к боковой понерхности образца прижимают два ряда плотно прижатых друг к другу тонких спиральных пружин, Делается это для того, чтобы предотвратить обтекание керна используемой в эксперименте жидкостью. Таким образом, поперечное течение газа в керне можно осуществить при помощи описанного устройства.
Это течение, согласно и. 4.30, описывается уравнением (4.94) с граничными условиями, показанными ва рис. 4.6. Вследствие симметрии течения на этом рисунке показана только половина цилиндра; диаметр, соедингпощий средние точки входного и выходного участков, является линией тока.
Симметрия течения использована при постановке граничных условий. Так как поперек линии тока жидкость не течет, то эта линия эквивалентна непронипаемой границе. Следовательно, производная от У по нормам к этой линии (границе) равна нулю. Для того чтобы решить рассматриваемую граничную задачу, применим сначала конформное преобразование г гп -=- — 11п— и (4.95) где Р— радиус керна.
В результате область течения отобразится на полуполосу плоскости гп, как показано на рис, 4.7. Затем применим конформное преобразование зеа В Ю' = —, 7. (4.96) которое отображает область течения па верхнюю полу- плоскость плоскости ш', Это показано на рис. 4.8. В фор- муле (4.96) х = — 51п ~ и — а) = соз а.
(4. 97) Теперь можно воспользоваться преобразованием Кристоффеля — Шварца. В предыдущем пункте было показано, что прямоугольник, ширина и высота которого равны соответственно 2К(х) и К(х*), отображается на верхню|о полуплоскость комплексной плоскости, причем вершины прямоугольника переходят в точки — х-', — 1, +1 +х 128 Таким образом, преооразование, обратное следующему: ДГ (4. 98) (! — С~) г (1 — хгС~) ~ о отображает область течения в плоскости пг' — верхнюю полуплоскость этой плсскости — на прямоугольник в плоскости нг", как показано на рис.
4.9. На этом рисунке К' обозначает К(х*). Теперь можно выразить скорость течения через геометрические характеристики задачи и разность потенциалов течения. Обозначив через Е длину керна, через лг — поток массы и заметив, что только половина потока проходит через рассматриваемую область, получаем К' т = — 2Е К ((,г, -- У,). (4.99) М Ог = тргг(г (4. 100) где Р, — давление на входе, г)г — обьемный расход газа, соответствующий этому давлению. Таким образом, К /К'( Ргдг =- — Т ( К-) (рг(Р, + 26) — Р,(Р,+ 2(г)) (4.101) нли К ..
Р ~ ь ~ ')' (4'102) 2рЕ (1 а- — ) Ьр где — 1 2 (' г (4. 103) ЛР =. Рг Рз. (4. 104) На рис. 4.10 приведен график зависимости геометриче- ского множителя 6 =- КгК' от угла а, построенный прн 129 Так как рассматривается течение совершенного газа, то нужно учесть эффект Клиггкенберга, т. е. для определения У воспользоваться уравнением (4.33). Нужно учесть также, что керн считается изотропным в плане, т. е. Кг =- Кг = К, и что поток массы лг можно записать в виде Р и с. 4. 7.
Первое конформное отображение в задаче об определении поперечной проницаемости керна; плоскость ьа. ду, 2 дп Р и с. 4. 8. Второе канформнос отображение в задаче об определении поперечной проницаемости керна; плоскость м'. Р и с. 4. 9. Последнее конфармное отображение в задаче об определении поперечной проницаемости керна; плоскость ы". 130 помощи таблиц эллиптических интегралов, Из графика видно, что, когда угол раскрытия входа и выхода равен и/2, этот множитель равен единице.
Р и с. 4. 1О. Зависимость геометрического множителя от половины угла раскрытия для задачи об определенен поперечной проницае- мости керна По оси абсцисс полонина угла раскрытии, По оси ординат геометричес. киа множитель, 6 0 ?О 40 60 00 Таким образом, методом конформных отображений мы получили формулу для вычисления проницаемости поперек керна при помощи измеряемых величин. 4.50. Источники н стоки Довольно часто приходится рассматривать задачи о стационарном течении, в котором жидкость вводится в пористую среду или удаляется из нее через очень маленькую область.
Например, при таких применяемых в нефтяной промышлеяности вторичных методах добычи нефти, как законтурпос и впутрикоптурпос заводпспис, чсрсз один скважины в пласт нагнетают воду, а из других извлекают нефть с водой. В теории горизонтального стационарного течения предполагается, что нагпетательные скважины представляют собой круглые источники малого радиуса, а эксплуатационные скважины — круглые стоки малого радиуса. Во многих задачах об установившемся течении такис исто1ннки и стоки можно рассматривать как точечные.
131 (4.105) где ф удовлетворяет уравнению Лапласа. (4.106) Предположим, далее, что в точке с координатами а, (), с жидкость нагнетается в пласт с объемной скоростью г). Так как вокруг этой точки течение сферически симметрично, то удобно перейти к сферическим координатам г, = [(х, — а)а + (х, — 6)а + (х, — с)а) ыз, 0 =- агс сов ' г, х,— а а = агссоз'— .— Га з1П о (4.107) Благодаря сферической симметрии ар' зависит только от г„ вследствие чего уравнение Лапласа принимает вид (4.
108) откуда ф ='+в. Соответствующая этому решению плотность объемного потока жидкости равна ч =|а з КА (4.110) иг где 1, — единичный радиус-вектор. Так как количество жидкости, которая протекает в единицу времени через любую сферическую поверхность, окружающую источник, равно д, то отсюда следует, что ' ' Здесь Лй означает элемент телесного Згла. 132 Распределение потенциала, которое вызывается присутствием точечного источника, выводится следующим образом. Сначала рассмотрим пространственное установившееся течение несжимаемой жидкости и допустим, что существует потенциал ар', т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
