Р. Коллинз - Течения жидкостей через пористые материалы (1132348), страница 23
Текст из файла (страница 23)
(5.15) Решим сначала задачу для случая, когда Р(1) = 1 и соответствующее преобразование Лапласа обозначим через У,. Тогда У,(х,, х„х„1) будет удовлетворять всем граничным условиям первоначальной задачи, за исключением условия на поверхности о. На этой поверхности У =- г" (з), (5.16) (5.17) Попробуем получить решение исходной задачи при помощи функции, преобразование Лапласа которой равно У(хь хм хз з) = зг'(з)У,(хм хм хз з) (5.!8) Эта функция удовлетворяет дифференциальному уравненшо, граничному условию на поверхности о и остальным граничным условиям. Следовательно, она является преобразованием Лапласа искомого решения. Можно показать, что обращение уравнения (5.18) приводит к формуле У(х,, х, х, 1) =.
~ Е(7 — т) — ' ' ' — ' — '' с(т. (5 19) о Это и есть формула Дюамеля 151. Из нее следует, что решение задачи, в которой на границе величина У изменяется во времени, может быть получено из решения соответствующей задачи, в которой величина У на границе остается все время после начала процесса постоянной и равной 147 д'р, дэр дэр трс др дхэ ' дх~э дАл К й (5.
20) Вводя новую переменную (5.21) = Р— Ро где р, — начальное давление, постоянное в области течения, получаем ч'2 Р трс др К д~ (5.22) Обозначим через Р, значение Р на части граничной поверхности а. Из уравнения (5.18) мы получаем в этом случае Р (х„, х„ х„ з) = зР, (з) Р, (х,, х,„ х„ з). (5.23) Здесь через Р, обозначено преобразование Лапласа решения, соответствующего Р, =- 1. Вычисляя производные от обеих частей уравнения (5.23) по нормали к поверхности о, умножая это ураннение на — К 1р и интегрируя по поверхности о, получаем 9,(з) = зР,(з) — — ~ ду — '~ г(о . (5.24) л Здесь д,. (1) — расход через поверхность о, соответствующий изменению величины Р на поверхности а по закону Р = Р,(1).
Точно такое же уравнение получится для расхода д,(1), соответствующего изменению Р на поверхности а по закону Р = Р,(1). Множитель в квадратных скобках в обоих случаях будет одним и тем же. Поэтому зд. (а) Ч, (э) Р,Я Р,йб (5.25) или зР„(з) д,(з) = зР,(з) д. (з). (5.26) единице. Это обстоятельство особенно полезно при решении некоторых задач, связанных с нефтедобычей. В частности, если рассматривается течение слабосжимаемой жидкости в однородной изотропной среде, то согласно гл. 3 Обращение уравнения (5.26) дает д,(т) '( ) $(т =- ( д.(т) '($ ) $!т.
(5.27) ~д,т т=-(д.т т. 5. Если давление Р на поверхности о, соответствукнцее данному расходу д,(~), есть известная функция времени Р,(4), то при помощи уравнения (5.27) можно вычислить закон изменения во времени Р,(г) давления Р, которое на поверхности о соответствует расходу п,(1) через эту поверхность. Если расход д,(г) постоянен, то это уравнение принимает вид с Р. (() = —, ~ и, (т) — ' „с(т. (5,28) 'о Уравнение (5.28) применяется при обработке кривых восстановления давления в нефтяных скважинах. Этот вопрос рассматривается в п. 5.40.
Из формулы Дюамеля можно получить еще одно полезное следствие. Разделим обе части уравнения (5.26) на $ и запишем его в виде 4,( ) — 4,($) $ $ (5.29) Обращение этого уравнения дает Р (Š— т)- ' -$(т= ~ Р (Š— т) '(т)$(т (530) сй2, 1$) г но' о о Здесь Я,(4) =-- ) д,(г) с(т о (5.31) и аналогично определяется Я',. Таким образом, Я', представляет собой полный объем жидкости, протекающий через поверхность о за время 1 и соответствующий изменению давления на поверхности а по закону Р = Р, (~). 149 Если после начала процесса давление Р.(1) все время равно постоянной величине Р„то уравнение (5 30) принимает вид с1м, (х) 1;1,(1) = —, ~ Р,(г' — т) ' ЛЫ».
(5 32) Формула (5 32) находит важное применение при изучении водонапорного режима пластов Этот вопрос подробно раз- бирается в п, 5 50, 5.30. Источники и стоки. Метод изображений Х ехр ш 1с ~(х~ — х1) 4 (хо — хо)" —; (хо — ло) ) (5 ЗЗ) удовлетворяет дифференциальному уравнению (5 1) При 1-ь т эта функция стремится к р, всюду, за исключением точки (х1, х,, х,) Приращение массы жидкости в среде равно бМ = ) ~ 1 1п (р — ро) ~(хо с(хо, с(хо (5 34) Подставляя в это уравнение функцию (5 ЗЗ) для р, по- лучаем зги ЬМ =..ЗтВ ( — ) (5 35) 150 Введенное в гл 4 понятие о точечных источниках и стоках как математических особенностях можно распространить на задачи о движении сжимаемой жидкости.
Рассмотрим однородную изотропную пористую среду бесконечной протяженности, заполненную сжимаемой жидкостью Пусть в момент с = т в точке х, =- х, (о = 1, 2, 3) к жидкости добавляется элемент массы 6 М. Плотность жидкости р должна удовлетворять уравнению (5 1) В момент времени 1= т плотность р = р, всюду, за исключением точки (х,, хо, хо) Функция Таким образом, решение описывает изменение плотности, вызванное добавлением массы жидкости бМ в точке (х,, хг, хз) в момент 1 = т.
Если в рассматриваемой точке жидкость добавляется непрерывно, то бМ = М (т) с(т, (5.37) где М вЂ” скорость, с которой добавляется масса. В этом случае изменение плотности выражается формулой О где У( =- (х1 — х~) + (хг — хг) + (хз — хз) . (5.39) В частности, когда скорость М постоянна, получаем' Это решение соответствует точечному источнику с производительностью М, расположенному в точке (х1, хг, хз). Рассмотрим случай, когда жидкость закачивается вдоль линии х1 = х~, х, = хг с постоянной скоростью М' на единицу длины этой линии. Тогда, суммируя решения вида (5.40), получаем Г ЛГнс з / та с 11' р — р = ) - — ег1с у -' — с(хз. ,) 4.~~ У фдад (5. 41) ' Здесь ег1с означает дополнительную функцию ошибок, определиемую формулой 2 Г ет1с л =- =) — '*оз., 151 Можно показать, что это равенство сводится к следую- щему: Р Ро = 4 у[ ~ Ел( 4уд )1' (5.42) где г =-(хл — хл) + (хо — хг), (5.43) а функция ,.
— л Ге — Ел'( — х) =- 1 — е(лл — „1 (5.44) представляет собой интегральную экспоненту. Для малых значений аргумента эта функция приближенно равна — Ел'( — х) = — у — )пх, (5.45) (5.46) р = ро Е' <о — е л, то для малых с и малых значений разности р — р, по- лучим Р Ро — про (Р Ро).
(5.47) Точно так же скорость добавления массы можно линейно выразить через объемную скорость. Например, для линейного источника, обозначая объемную скорость, приходящуюся на единицу длины, через фл и начальное давление — через р,, получаем (5.48) В результате решение для давления в случае линейного источника примет вид р — р, =- — ~— ' ~ — Ел'( — )1. (5.49) Эта формула описывает распределение давления вокруг линейного источника, который перпендикулярен плоскому однородному пласту постоянной мощности /л, 152 где у =- 0,5772 ...
— постоянная Эйлера. Если жидкость слабосжимаема, то точечные источники можно ввести в виде решений для р. В самом деле, так как ограниченному сверху и снизу непроницаемыми поверхностями. Объем жидкости, поступающий в пласт из этого источника в единицу времени, равен о. Если д заменить на — д, то получится приближенное решение для нефтяной скважины, отбирающей постоянный расход нефти из однородного пласта. ~Кидкость притекает к скважине вследствие собственного упругого расширения. Рассмотренные выше решения, соответствующие точечным источникам, были получены для изотропных сред. Однако подобным же путем можно рассмотреть точечные источники в однородных анизотропных средах. 1-1апример, в случае плоского течения в анизотропной среде решение, соответствующее точечному источнику, имеет вид Х вЂ” Е1 — — '~'- ' '— + — . (5,пО) Здесь жидкость считается слабосжимаемой, а система координат отнесена к главным осям проницаемости.
Проницаемости вдоль осей хц хз соответственно равны Кг и Км Как для установившегося, так и для неустановившегося течения, решения, соответствующие точечным источникам, имеют особенности в точке расположения источников. Так, например, из уравнения (5.49) получаем, что (р — р,) -~ со при приближении к точке расположения источника.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
