Р. Коллинз - Течения жидкостей через пористые материалы (1132348), страница 25
Текст из файла (страница 25)
При этом принималось, что мощность пласта равна Ь и его пористость равна т; сжимаемость жидкости равна с и ее вязкость равна рл отбнраемый сква- жиной расход д и начальное давление в пласте ро считались постоянными. Давление в скважине р, в этом случае выра- жается формулой Ор. (3Я» — 4114 1и Л вЂ” 11~ — 1 2чК6 ~ 4 Я' — 1)' ч~~ У~~(~3„Л)ехр( — й~К11лц с~~ )1 з„' [,1', (Р„л) — 1', (Р„)1 Здесь через )с обозначено отношение г„1г,, У,— функция Бесселя перво1о рода первого порядка, ()„— корни урав.
пения У, У„77) У, (б„) — У, (()„) У, У„г) =0, (б.бб) где У~ — функция Бесселя второго рода первого порядка, Из этого решения следует, что при очень болыпих зна. чениях времени давление на скважине (т. е. при г = г, ) уменьшается линейно со временем. На рис 5.3 приведены графики зависимости р, от времени для различных значений отношения г„'г, . Прн помощи этих кривых совершенно отчетливо прослежи- вается влияние границы. Промежуточный прямолинейный участок соответствует течению жидкости в бесконечном пласте.
Во всех случаях до некоторого момента времени 1 скважина ведет себя так, как если бы границ не было. Этот момент зависит от величины отношения ~„'г, Для построения кривой восстановления давления после того, как скважина закрывается, можно применить формулу Дюамеля. Положим в уравнении (5 28) д'о, 0 (1( 1. (б.бб) 0, Тогда при 1 ) 1, 1 1Р.
(1 — о) Р. (() =- — "-- — ~(т 'й1 о (б 67) 161 илн Р. (1) = Р. (1) — Р. (1 — 1а,). (5.68) Переходя к величинам Р,, найдем р,, = ре+ р,', (1) — р„'и (( — („), (6.И) где р, (1) соответствует расходу, который остается постоянным все время после начала процесса. Таким образом, гб тг 10 г0 1о 10 1П И Р н с. о, 3. Давление н скважине, накодянгейся н центре кругового пласта, для слугая течения сжимаемой жидкости (Херст н пап Экердннген, !949).
По аск абсцисс: КГГглр сгс '. По оск ординат. ав1ро — рс 1КЫяр. рб — мчалыгое даалекнв, рс — давление при г=гс, à — время, гс — радиус скважиаи, г, — радиус пласта, гл — пористость, К вЂ” проницаемость, р — ввь- кость жидкости, с — сжимаемость жидкости, а — мощность пласта. уравнение требуемой кривой восстановления давления получается простым наложением уже известных решений. Эта кривая изображена па рис. 6.2. 162 Из рисунка видно влияние границы на поведение этой кривой. Разумеется, предельное значение давления при (-э оо совпадает с тем, которое получается по формуле (8.68).
Отбор жидкости с переменной скор о с т ь ю. Если до момента закрытия скважины расход не был постоянным, то кривые восстановления давления можно построить при помощи решения, соответствующего постоянному расходу, применив формулу Дюамеля. Так, полагая, что р,, (~)соответствует постоянному отбору — д,', для давления р, (~), соответствующего переменному во времени оасходу по закону — д,,(т), из уравнения (5.28) получаем ч, (ч) кг, (' ~) рс. (~) = ) 0 чс.
ш (5.70) Если скважину закрывают в момент г = ~,, то с этого момента расход д, (1) становится равным нулю, откуда при г ) г, для изменения давления в течение периода закрытия получается ~з. рс. (() = ~ ', — „, ~(т ()(з, (571) Чс. Этой формулой можно пользоваться при любой геометрии скважины н пласта. Изменение давления после того, как скважина опять будет открыта в момент 1 ==- ~„можно найти при помощи очевидного распространения описанных выше приемов, рассматривая интервал времени 1 ) ~, > 1, и полагая, что при этом д,, (г) + О. Ограничения элементарной теории. Рассмотренные выше примеры теоретического вычисления кривых восстановления давления в нефтяных скважинах можно применять для практических целей лишь при определенных ограничениях. С целью выяснения существа дела мы при рассмотрении этих примеров пренебрегли многими важными факторами. Можно было бы этого не делать и дать более адекватное описание, но для этого понадобилась бы целая книга.
К числу таких важных факторов относятся влияние непостоянства мощности и проницаемости, влияние того, что скважину закрывают на дневной поверхности, 163 а не в пласте и т. п. Однако все эти вопросы не рассматри- ваются в этой книге. По некоторым из них имеется литера- тура 115, 16, 171. 5.50.
Поведение пластов при водонапорном режиме Выход нефти и газа из коллекторов во многих случаях происходит под действием напора пластовых вод. Этот напор создается естественными причинами или искусственно — путем нагнетания воды в нефтеносный пласт (см. гл. 7). Естественный водонапорный режим возникает из-за того, что большинство содержащих нефть пластов находится в контакте с обширными водоносными горизонтами. Во время эксплуатации давление в нефтяном пласте падает. Это приводит к расширению оставшейся нефти и расширению воды в водоносном горизонте.
В результате вода начинает перемещаться в области пласта, которые раньше были преимущественно заполнены нефтью. В этом и состоит упрощенное описание водонапорного режима. Важной инженерной задачей, которая возникает в нефтяной промышленности, является оценка протяженности водоносного горизонта и будущего снижения среднего давления в пласте при данной прогоамме добычи нефти. Это действительно важная задача, потому что уменьшение давления приводит к росту выделения газа из нефти, что в свою очередь вызывает снижение производительности нефтяных скважин.
Даже если вода сжата очень слабо, то она все равно заметно внедряется в пласт вследствие ее большого объема в водоносном горизонте (миллиарды литров). Таким образом, внедрение воды является основным фактором, поддерживающим давление в пласте. Существует много методов для решения задач о внедрении воды в нефтеносный пласт. Все они основаны на одних и тех же физических и математических предположениях. Л именно предполагается, что водоносный горизонт— это пористый пласт, насыщенный слабосжимаемой жидкостью.
Для того чтобы проиллюстрировать общий подход к таким задачам, примем следующую схематическую модель. Рассмотрим пласт, содержащий нефть, воду и газ (некоторая часть газа растворена в нефти). Свободный газ мо- 164 жет быть частично или полностью отделен от жидкостей. Область, занимаемая газом, называется газовой шапкой.
Пусть поверхность а отделяет пласт от очень большой области водоносного горизонта. Геометрическая форма и свойства этой заполненной водой области неизвестны. Распределение давления в водоносном горизонте описывается дифференциальным уравнением В [Р (хп хз, хз, 1)1 = дц др (5.72) где Р— некоторый дифференциальный оператор. Видэтого оператора зависит от свойств водоносного горизонта.
В любом случае, если только можно пренебречь влиянием силы тяжести, уравнение (5.72) будет линейным и однородным относительно р. Но отс1ода следует, что можно воспользоваться формулой Дюамеля. 11редположим, что давление р„(1) в нефтяном пласте вс|оду саино и то же, так что давление на поверхности о все время равно р„(1). Уравнение, описывающее течение воды в водоносном горизонте, в принципе можно решить для случая, когда на поверхности а задано либо постоянное давление, либо постоянный расход.
Предположим, что оно решено для постоянного давления на поверхности о и для начального давления, всюду равного р,. Если оно решено для (5.73) О р 1 Если известны размеры нефтяного пласта, его начальная емкость и физические свойства насыщающих его жидкостей, то можно записать уравнение объемного баланса Я„+ Я„+ Я„, = 1'(р„) + Я, (1). (5.75) 165 то тогда при помощи этого решения мы можем вычислить полный объем воды ф(1), протекающей через поверхность о к моменту времени 1.
Применяя затем теорему Дюамеля в форме (5.32), найдем, что полное количество Я.(1) воды, поступившей из водоносного горизонта в нефтяной пласт при данном изменении давления на поверхности о р. ==- р„(1), равно Я.(1) =- ~ (р,— р„(~ — т)) -'--,' —" (т. (5.74) о Здесь Я„, Я, и ߄— соответственно полные объемы нефти, воды и газа, извлеченные нз пласта к моменту времени 1. Функция ((р„) описывает расширение находящейся в нефтяном пласте жидкости вследствие понижения пластового давления.
Используя данные измерений за несколько лет, можно найти величины Я,, 1,1,, 1;1„и р„в зависимости от времени. Таким образом, в промежутке времени от начала (г =- 0) и до текущего момента г, эти величины представляют собой известные функции времени Г. Из уравнений (5.74) и (5.75) получаем, что при 0 (1( г, (),ь+ ().. + а,.— ~(р..) = ~ (р.— р.. (à —.))-"-',—.(о) й.. о (5,76) После того как уравнение (5.76) выписано, остается только найти функцию Яф), которая удовлетворяет ему.в интервале 0 (1 ( 1, . Когда такая функция будет найдена, ее можно будет экстраполировать для г ) г', и, воспользовавшись уравнением (5.76), предсказать изменение р,(1) по заданным величинам извлекаемых из пласта объемов жидкостей и газа.
Заметим, что функция Я,(0 определяется только свойствами водоносного горизонта. Другой способ решения задачи о водоносном горизонте заключается в рассмотрении решения дифференциального уравнения (5.72) для случая, когда на поверхности и задан постоянный расход. В частности, если решение для известно, то, обозначая перепад давления на а через Р(г), получаем Р(1) = (Ро — Ро(()) о,- . (5. 77) Эта функция называется функцией влияния водоносного горизонта. Отсюда при помощи теоремы Дюамеля в форме (5.28) находим Ро Рн.
(Г) =- ) Чо (т) 1 йт (5.78) о 166 Дифференцируя уравнение объемного баланса (5.75) по времени, найдем также, что 4 (р„) с)„. + цв + с)г -= — — -'-' — -'; с1, (1). (5.79) 5.51. Бесконечный прямолинейный водоносный горизонт Простейшим случаем, который может быть рассмотрен в связи с задачей о водоносном горизонте, является прямолинейное течение в полубесконечной однородной среде. Математическая формулировка задачи в данном случае следующая: дз р тес др дх' К дс (5.80) причем р(х, 0) =- р„ — — = д, =- сопз1, КЛ др(0, с) дх (5 81) 1нп р (х, 1) = р,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
