Р. Коллинз - Течения жидкостей через пористые материалы (1132348), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Дальнейшие приложения решений для точечных источников и метода изображений рассматриваются в гл. 7. 4.60. Гравитационный дренаж; свободные поверхности В гидротехнических задачах часто приходится иметь дело с течением, которое получило название гравитационного дренажа. Например, это может быть просачивание Р н с. 4. 13. Фильтрация воды через земляную дамбу с образованием свободной понеркности и промежутка высачнвання. воды через земляную плотину под действием силы тяжести. Если капиллярные эффекты пренебрежимо малы, то при подобном течении образуется так называемая свободная поверхность, которая образована линиями тока и вместе с тем является поверхностью постоянного давления.
Для иллюстрации приведем пример. Рассмотрим водохранилище (рис. 4.13). Предположим, что дно водохранилища и основание плотины непроницаемы. Под действием силы тяжести вода будет просачиваться через плотину. Внутри плотины должна существовать поверхность, отделяющая область пористой среды, заполненную водой, от области, занятой воздухом (и водяным 140 да д'- — (Р + РД'хз) + (Р + Рдха) = О. (4.135) 1 2 (Пористая среда считается однородной и изотропной а жидкость несжимаемой.) При заданных граничных условиях это уравнение можно решить или уже рассмотренными методами, или какими-нибудь другими подходящими методами. Если же свободная поверхностьсуществует, то ее можно выразить следующим образом: Р Ра' д — „, ( +рйх) =-0 (4.136) здесь р„— постоянное давление в области, занятой газом; д!д), — производная по нормали к свободной поверхности.
В этом случае нужно уже одновременно находить и распределение давления в течении и форму свободной поверхности. 141 паром). Так как воздух находится при постоянном давлении, то всюду на этой поверхности давление должно быть одним и тем же. С другой стороны, из-за того, что течение стационарно, эта поверхность неподвижна, т. е.
нормальная к этой поверхности составляющая скорости жидкости равна нулю. Скорость жидкости везде направлена по касательной к этой поверхности, которая поэтому образована линиями тока, т. е, это свободная поверхность. В общем случае свободная поверхность пересекает наружную по отношению к водохранилищу поверхность плотины в некоторой точке, расположенной над уровнем вытекшей из плотины воды. Участок между этой точкой и уровнем вытекшей воды называют промежутком высачивания. Этот промежуток представляет собой поверхность, находящуюся при постоянном давлении, но через эту поверхность жидкость протекает.
Если свободная поверхность и промежуток нысачивания отсутствуют, то решение задачи о течении жидкости под действием силы тяжести получается сразу. Например, в случае двух измерений, когда ось х, направлена по горизонтали, а ось х, — по вертикали, уравнение движения имеет вид Методы решения задач такого типа не очень хорошо развиты. Один из методов заключается в конформном отображении области течения на плоскость годографа, т. е.
на плоскость комплексной скорости. Приложения этого метода к задачам гидротехники рассматривается в книге !4] '. Однако из-за сложности большинства задач такого типа на практике их решают на моделях, либо физических, либо аналоговых. Теория таких моделей рассматривается в гл. 9. Задачи 1. Используя конформное преобразование го =- г+ г — ', решить задачу об обтекании непроницаемого цилиндра единичного радиуса установившимся горизонтальным потоком в однородном пласте постоянной мопцгости. Поток на больших расстояниях от цилиндра считать прямолинейным. х.
Используя преобразование го = г †' н метод источников, показать, что распределение потенциала вокруг точечного стока, расположенного в точке (х„ уе) области, ограниченной круговой непроницаемой границей радиуса )с с центром в точке (Р, 0), имеет вид =- — — Х ЧР- ляКЬ Ха+У «2 Ру2 ' Ха+Уз .2 ~ у2 ус 1п 2 ха+у" Я '' „2 у2 ~ ' ~ха+ у~ х2 р у2 о" о~ о о) 3.
Показать, что для одиночной скважины, расположенной в однородном плоском анизотропном пласте, линии равного потенциала представляют собой софокусные эллипсы с отношением большой оси к гнилой, равным Кг~К„ где К,— проницаемость вдоль большой оси, К,— проницаемость вдоль малой оси. т Весьма подробное изложение этих методов и полу1аемых на нх основе результатов нмеется в книге: П о л у б а р и н о в а- К о я и н а П.
Я., Теория движения грунтовых вод, ГИТТЛ, М. — Л., 1%2. 14х ЛИТЕРАТУРА 1. С Ь и г с Ь 1 11 к. Ъ'., 1п!годпсНоп !о согпр!ех таг1аЬ1ез апд ар. р11са!!опз, Мсйгаге-Н!11 Воо1г Со., Кеяг Уог1г, 1948. [На русском языке см., например, Л а в р е н т ь е в М. А., Ш аб а т Б. В., Методы теории функций комплексного перемен ного, М.— Л., 1951. — Прим, перев.1 2. Сг!Ь Ь з 'йг. Ю., Соп1оппа! !гапМоггоа!1опз !п е!есЬНса1 епй1- пеег!пй, СЬарпзап апд На!1, 1лпбоп, !958 !сьг. также Коппенфельс Ф., Штальман В., Практика конформных отображений, ИЛ, М., 1963.
— Прим. перев ! 3. Я н к е Е., Э м д е Ф., Таблицы функцвй с формулами н кривыми, Физматгяз, М., 1959. 4. М а с к е т М., Течения однородных жалкостей в пористой среде, ГТТИ, М.— Л., 1949. ГЛЛВЛ 5 Неустановившееся ламинарное течение однородной жидкости 5.10. Неустановившееся течение сжимаемой жидкости д2р д2р д2 р трс др дха ' дх2 ' дх2 К д1 1 2 Э (5.1) Если среда однородна, но не изотропна, то соответствующее дифференциальное уравнение принимает вид д2р д22, д2р др К, — + К,— '+К, —.
= трс— дх2 дх2 2 дхз д1 ! 2 2 нли д2 р, д2р, д2р тир др (5.3) где использованы координаты 21, = х, 1/ — -', (1 = 1, 2, 3). (5,4) 1 Уравнения (5.2) и (5.3) отнесены к системе координат, связанной с глан~ыми осями проницаемости. Заметим также, что, согласно п. 3,70, для слабосжимаемой жидкости в этих уравнениях можно заменить плотность р на давление р. Существует ряд общих приемов решения подобных уравнений.
Некоторые из них описаны и проиллюстри- 144 Большое число важных для нефтедобычи задач может быть приближенно изучено на основе предположения, что жидкость однородна и сжимаема и что можно пренебречь влиянием силы тяжести. Согласно п. 3.70, этот тип движения для жидкости с постоянной сжимаемостью, текущей в однородной изотропной пористой среде, описывается уравнением рованы примерами в следующих пунктах.
За более подроб. ными сведениями читатель отсылается к соответствующим учебникам или к книге по теплопроводности !4!. 5.20. Преобразование Лапласа и теорема Дюамеля Теорема Дюамеля настолько важна при изучении не- установившихся движений, что обычно она выводится под.
робно и в разных видах. Преобразование Лапласа также очень полезно при исследовании переходных процессов. Кроме того, оно дает удобный способ получения различных видов формулы Дюамеля. Поэтому приведем сначала определение и основные свойства преобразования Лап ласа.
Преобразование Лапласа от функции ~(1) определяется формулой й(~(1)) = ~е-м)(1) Ж = п(з) о (5.5) при условии, что интеграл существует. Величина з обычно называется параметром преобразования. Обращение преобразования (5.5) производится при помощи контурного интегрирования в комплексной плос- кости 1 с +1г Е- ' ( и (з)) =- 2 †„ 1 пи ) е" д (з) г(з =- 1" (1). (5. 6) з ~~ г-и Вещественное число с здесь выбирается так, чтобы все особенности функции д(з) были расположены левее прямой з=с. При практическом применении преобразования Лапласа редко приходится пользоваться формулой обраще. ния (5.6). Дело в том, что имеются обширные таблицы преобразований Лапласа !13! и если функция гг(з) задана, то соответствующую ей функцию )(1) обычно можно найти в этих таблицах. Применение преобразования Лапласа в задачах о не.
установившемся движении однородной жидкости оказывается весьма полезным; это видно из следующего свойства преобразования Лапласа, з зак. 592 145 Если в формуле (5.5) выполнить интегрирование по частям, то получится, что д(з) = + — "а —" ~~-- о(о. (5.?) о ' о 1 о) о Интеграл в (5.?) представляет собой преобразование Лап- ласа от ф/Ж, т. е. получаем Ь ~ †„ ) = ад (з) — ? (О). Щ~ (5.8) Подобные соотношения получаются и для производных более высокого порядка. Рассмотрим теперь линейное дифференциальное уравнение в частных производных по независимым переменным х„хм хо и й Пусть это уравнение содержит только первую производную от неизвестной функции р по 1, Р (хп хо, хо, О) = Ро = сппз1 (5.1 1) и тогда ь (Ро) = Ро/З (5.12) 146 Здесь Р— дифференциальный оператор по пространственным переменным, например оператор, стоящий в левой части уравнения (5.2).
Применяя к обеим частям уравнения (5.9) преобразование Лапласа, получаем Р [р (х„х„х„з)1 =- зр (х„х„х„з) — р (х„х„х„0), (5.10) где р(х„х„х, а) — преобразование Лапласа функции р(х„х,, х„1) по й Здесь предположено еще, что дифференцирование по пространственным переменным и интегрирование по 1 можно менять местами. Поскольку первоначальное уравнение было уравнением в частных производных по четырем переменным х„ хо, хо и (, то преобразованное уравнение представляет собой уравнение в частных производных всего лишь по трем переменным х„х, и х,.
Величина з рассматривается как фиксированный параметр. Если начальная плотность р всюду одинакова, то В этом случае зависимую переменную удобно брать в виде (5.13) Тогда уравнение (5.10) примет вид ь [У (хп х„х„з)~ = зУ (х„х,, х,, з), (5.14) где У вЂ” преобразование Лапласа по 1 от У. Предположим, что на части поверхности, ограничивающей область течения, величина У равна нулю, другая часть поверхности непроницаема, а на оставшейся части поверхности величина У есть заданная функция 1 У = г (1) на поверхности а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
