Р. Коллинз - Течения жидкостей через пористые материалы (1132348), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Это и означает, что влиянием силы тяжести на движение газа можно пренебречь. Таким образом, при исследовании течения газа величину гх можно считать равной нулю. В то же время эффект Клинкенберга нужно учитывать. Это можно сделать, положив Вводя новые прямоугольные координаты (4.35) это уравнение можно переписать еще так: ди, ди —.г —.=0 дх~ дуз (4.36) р (х„х„х,) = р (х„х„О) — рдх,. (4.37) Следовательно, между распределениями давления в различных горизонтальных плоскостях существует простая линейная зависимость.
В рассматриваемом случае уравнение движения записывается следующим образом: КР аР ГГР дд дх~1 н дх~х (4.38) или в координатах х, у (4.35) в виде два дгр — - + — -=-О. дхз дуз (4.39) Однако р в этом уравнении зависит ие только от х и у, но и от х,. По этой причине целесообразно ввести функ- цию У' = —. — — (Р + РКхз) Р (4.40) которая, как это видно из ураввения (4.37), не зависит от х,. Таким образом, (4.41) Следовательно, в случае установившегося горизонтального течения как совершенного газа в изотермических ус- 112 так что У(х, у) удовлетворяет уравнению Лапласа.
В случае течения жидкости обычно можно пренебречь сжимаемостью жидкости, но влияние силы тяжести уже существенно и им пренебрегать нельзя. Таким образом, плотность Р считается постоянной, и уравнение (4.24) для несжимаемой жидкости дает 4.31. Функция тока и комплексный потенциал Для решения многих задач об установившемся горизонтальном течении удобно вводить новую функцию, удовлетворяющую уравнению Лапласа. Эта функция называется функцией тока. Функция тока тесно связана с потенциальными функциямн У нлн Г, рассмотренными в предыдущем пункте. Сущность атой связи и физический смысл функции тока заключаются в следующем. Раскрывая выражение для оператора Ч в системе х, р, д, . д Ч= хдх ' уду' (4.42) из уравнения установившегося горизонтального течения (см. п.
4. 30) находим Ч.Чи = О. (4.43) Здесь (/ — функция, определяемая уравнением (4.33) нлн уравнением (4АО), илндругнм соотношением, соответствую- щим иному уравнению состояния. В любом случае функция У должна быть определена так, чтобы величина — й — (у зи дл 5 зек. 592 113 ловнях, так и несжимаемой жидкости существует потенциальная функция, удовлетворяющая в системе координат х, у уравнснню Лапласа, Следует отметить, что если рассматриваемая среда нзотропна и однородна, то координаты х н у совпадают с метрическими координатами х~ и хз соответственно.
Формулировка законов горизонтального установившегося течения вышеописанным образом особенно полезна потому, что в случас двух измерений для решения урав. пения Лапласа существует большое количество методов. Эти математические методы очень важны. Некоторые наиболее полезные из них рассматриваются в следующих пунктах, Для болсе полного ознакомления с методами решения урав.
пения Лапласа читателю рекомендуется обратиться к руководствам по теплопроиодности илн теории потенциала. представляла собой поток массы в направлении оси х1 через вертикальную полоску, имеющую площадь Ых., а величина Ь дм,(х ду Ч(Ч и Ч)=0 (4.44) справедливым для любой векторной функции Ч. Тогда, имея в виду, что рассматривается случай двух измерений, из уравнения (4.43) получаем (4.45) Ч(/=ЧхЧ где Ч = 1,Г(х, у) Это дает систему уравнений (4.
4б) Ю ди дх ду' ди д (4.47) ду дх Уравнения (4.47) представляют собой известные из теории функций комплексного переменного условия Коши — Римана (11, Из этих уравнений следует не только то, чтофункция Ч существует, но и что функция 7(г) комплексного переменного (1= )à — 1), (4.48) определенная равенством 2 (г) = (7 (х, у) + Л'(х, у), (4. 49) является аналитической. Функция тока Г(х, р) наряду с потенциальной функцией (7 (х, у) удовлетворяет уравнению Лапласа. Для того чтобы убедиться в этом, нужно продифференцировать первое урав- 114 выражала поток массы в направлении оси х, через вертикальную полоску, имеющую площадь Ыхг Функции (l и (7', введенные в предыдущем пункте, удовлетворяют этому условию.
Теперь воспользуемся тождеством из векторного исчисления. пенне (4 47) по у, второе — по х и второй результат вычесть нз первого В результате получим (4 50) Отсюда н из того, что У удовлетворяет уравнению Лапласа, находим — -- + — .=- О, д2г В Л дхч ' ду' (4 51) Поток массы через горизонтальную полоску, имеющую площадь /Ыхо в напранленни х, равен й — г(х ди дх Рассмотрим бесконечно малый вектор смещения жидкой частицы г(1=1хг(х+1 г(у в плоскости х, р (рис 4 1) Так как при установившемся движении масса сохраняется, то ЛЫ! представляет собой количество массы, прошедшей через полоску, площадь которой равна и 'г' дх( + г(хр Эта полоска изображена на рисунке линейным эле- ментом г(1' =1,г(х, +1, 4х, Таким образом, установившееся плоское течение можно описать при помощи двух семейств взаимно-перпендикулярных кривых в плоскости х, у Кривые семейства Г (х, р) = = — сопз1 всюду параллельны направлению течения, а кривые семейства (7 (х, р) = сопя! всюду перпендикулярны направлению течения Следует иметь в виду, что в плоскоз" 115 т.
е комплексный потенциал удовлетворяет уравнению Лапласа. Физический смысл функции тока (г(х, р) можно установить при помощи уравнений (4 47) и свойств потенциала течения 1/(х, у) Поток массы через вертикальную полоску, площадь которой равна /Ыхм в направлении — хг равен дУ 6 — г1у ду сти х„ха взаимная перпендикулярность кривых этих двух семейств нарушается. Она сохраняется лишь в случае изотропной среды. Из изложенного также следует, что любая аналитическая функция комплексного переменного г = х + 1у представляет собой решение задачи о некотором плоском установившемся течении.
Как этим пользоваться, мы пронллюстрируем на нескольких примерах в следующем пункте. При Рис. 4. ц К объисиеиию физического смысла функции тока, использовании полученных результатов в приложениях нужно не забывать о различии между плоскостью х, у и плоскостью х„х, в случае, когда среда аннзотропна. В плоскости х, у линии тока и линии равного потенциала всегда взаимно-перпендикулярны, а в плоскости х,, ха это бывает лишь в случае изотропности среды. Кроме того, при переходе от одной плоскости к другой изменяется форма границы области течения.
Например, окружность в одной плоскости в общем случас переходит в эллипс в другой. Соответствующие изменения претерпевают и границы другой формы. Удобнее всего ставить и решать задачу в плоскости х, у, а затем полученные результаты преобразовывать к плоскости х„ х . Нужно всегда помнить, что всякое решение задачи о течении в изотропной среде является одновременно решением задачи о течении в анизотропной среде, но в области, ограниченной другим контуром. 116 4.32. Радиальный поток между соосными круговыми цилиндрами 1 д !' а!т! 1 дви г дг ! аг ! г' сЮ'"' (4л32) где г = 'К' х'+ у-', 0 =- агс(д —. х ' Сразу видно, что из-за симметрии рассматриваемой задачи потенциал У не должен зависеть от угла О, н, следователь- но, уравнение имеет вид — — (г — ) — О.
!а аи (4.53) Вместо уравнения Лапласа в полярных координатах для О! можно также записать это уравнение для К 1 д!' д$"~ 1 д~Ь' ~+ = О. г дг!»дг) г~ ды (4.54) Замечая, что линии тока (линии постоянных значений )г) должны быть пучком прямых, выходящих нз начала коор- динат, приходим к выводу, что функция тока г' не должна зависеть от г. Следовательно, для и' получим уравнение а' р — = О.
ДОИ (4,55) !17 На примере этой задачи мы покажсм, как пользоваться математическими формулировками, приведенными в п. 4,30 и 4.31. Обычно считают, что стационарное движение нефти к скважине из окружающей пористой породы представляет собой плоское радиальное течение между двумя соосными цилиндрами. При этом среду предполагают изотроьной. За внутренний цилиндр принимается боковая поверхность полости в среде (скважнны), за внешний цилиндр — поверхность равного потенциала, называемая контуром питания.
Задачу о течении описанного типа можно формулировать по-разному. Так, например, для определения потенциала и можно записать уравнениеЛапласа в полярных координатах Вместо того чтобы решать любое из этих уравнений, можно перейти к полярным координатам на плоскости комплексного переменного г = х + 1р, т.
е. записать а=ге" (4.56) и рассматривать комплексный потенциал Я (ге") = Е/ (г, О) + ()г (г, О). (4.57) Поскольку поток радиальный, то линии равного потенциала (/ должны быть окружностями с центром в начале, координат, а линии постоянных значений )» — выходящими из начала координат лучами. Следовательно, Я (ге'о) =- (/ (г) -1- Д~ (0), (4.58) Простейшая функция, удовлетворявшая этому условию разделения, имеет вид Л .= А !п г + В = А 1и (»е") + В. (4.59) Таким образом, возможные выражения для 1/ и )/ следу юшке: (/= А1пг+ Ь, (4.60) )г =- АО+Ь', (4. 61) где Ь + (Ь' .= В.
(4.62) Граничные условия, которым должен удовлетворять потенциал, имеют внд 1/(», ) = (/,, (4.63) (/ (г, ) = [/„ . Здесь г, — радиус скважины, г„— радиус контура пита- ния. Из этих условий определяются А и Ь, В резуль- тате находим и, — и, (/=- ' — '- -1п — -, '(/„,. (4.64) 1а (»„ /», ) г, Граничное условие для )»(0) заключается в том, что вся втекаюшая в скважину масса жидкости должна пройти через дугу, расположенную между 0 = 0 и 0 = 2п. 11В Отсюда для У(6) имеем У(0) == О, К(2п) = — -'-" — ' (4.65) 1'с к. — р, д, =2пй 1и (г /г, ) (4.67) Найденные решения для (/ и Г можно было бы получить и по отдельности, действуя так, как было описано в начале, Уравнение (4.67) можно было бы получить также из уравнения (4.64), воспользовавшись законом Дарси. Это дает 2 Рс.4с.=п) гс,( з ) „цб.
о (4. 68) Заметим, что для установившегося радиального течения поток массы через любой из соосных круговых цилиндров один и тот же. 4.33. Конформное отображение Одним из наиболее полезных математических приемов, применяемых при решении задач об установившемся плоском течении, является метод конформного отображения в комплексной плоскости. Для уяснения сущности этого метода решения задач рассмотрим свойства комплексного потенциала 2(г). Комплексный потенциал 2(г) = Ь(х, у)+(У(х, у) (4. 69) порождает два семейства кривых (У(х, у) = сопз1 и Г(х, у) = =- сопз1. Кривые этих семейств взаимно ортогональны. 119 Здесь р,, и д, — плотность и объемный расход вблизи скважины, й — мощность пласта. Заметим, что если поток направлен в скважину, то расход отрицателен.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
