Р. Коллинз - Течения жидкостей через пористые материалы (1132348), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Закон Дарси для каждой из фаз записывается тогда в виде Ксс чс. = — — Лс. — 7 тс. нс. (3.41) для плотности объемного потока смачивающей жидко- сти и Касс Ннс. (3,42) для плотности объемного потока несмачивающей жидко- сти. Здесь р, и рн,.— вязкости смачивающей и несма- 86 понятия проницаемости и использовав понятие капилляр- ного давления, введенное в п. 2.21. Считается, что в случае течения в пористой среде двух несмешивающихся жидкостей существуют эф4ектиьные пронийаеидстп и потенциалы течения для каждой жидкости в отдельности.
Каждая из этих эффективных проницаемостей, скажем, К, для смачивающей и Кн, для несмачивающей жидкости, должна быть меньше или равна проницаемости К среды в случае течения через нее однокомпонентной жидкости. Поэтому удобно ввести относительные проницаемости, положив чивающей жидкостей соответственно. Давления в жидкостЯх Р, и Рн, свЯзаны УРавнением Рк = Рнг. — Рг, (3АЗ) (3 44) (3.45) Рн — Рв = Рнв Рв Рг — Рвг где Рн, Р,, Рг — давлениЯ в соответствУющих жидкостЯх, Рн, — капиллЯРное давление междУ водой и нефтью, р,г — капиллярпое давление между водой и газом.
Капиллярное давление между нефтью и газом выражается через введенные капиллярные давления следующим образом. Рнг = Рнв + Рвг . (3 46) Используя эти определенна н закон Дарси, можно записать выражения для плотности объемного потока каждой из жидкостей. 3.32. Закон Дарси для анизотропных пористых сред Во всем предыдущем исследовании законов движения жидкости в пористой среде молчаливо предполагалось, что проницаемость, а также относительные проницаемости не 87 где Р„ — капиллярное давление. В соответствии с экспериментом [2) предполагается, что динамическая зависимость капиллярного давления от насыщенности совпадает со статической.
Для того чтобы можно было выбрать одну из кривых (пропитки или вытеснения) этой зависимости, необходимо также знать, которая из двух жидкостей вытесняется. Введенные понятия можно обобщить на случай совместного движения трех несмешивающихся жидкостей, например таких, как нефть, вода и газ Если обозначить эти три жидкости индексами н, в и г (нефть, вода и газ соответственно), то можно ввести относительные проницаемости Ан, А, и й„точно так же, как это было сделано для двух жидкостей Вместо двух потенциалов нужно ввести три: фв гг Из-за действия поверхностного натяжения давления во всех трех жидкостях не будут совпадать. Опи будут отличаться на соответству>ощие капиллярные давления, так что в данном случае нужно располагать двумя уравнениями для капиллярного давления зависят от направления, в котором течет жидкость.
Это, однако, верно не для всех пористых сред. Многие пористые материалы обвар)живают отчетливую анизотропи|о, в особенности слоистые материалы, такие, как древесина или некоторые осадочные горные породы. Таким образом, сопротивление движению жидкости в этих материалах для разных направлений разное. Для того чтобы учесть это свойство пористых сред, требуется дальнейшее обобщение законов течения.
Такое обобщение можно сделать, руководствуясь эвристическими соображениями, подобпымн тем, которые были использованы ранее, при обобщении основного закона течения, Правильность сделанного обобщения может быть установлена только путем экспериментальной проверки следствий, вытекающих из обобщенного закона. Для изотропных пористых сред закон Дарси заключается в простой пропорциональности компонент объемного потока жидкости соответствующим компонентам градиента потенциала течения о,= — — —, 1=1,2,3. Кр дф (3. 47) р. дх,' Наиболее общее линейное соотношение, которое можно выбрать в качестве связи между величинами о, и компонентами д~р/дхн имеет вид Конечно, сюда могла бы входить еще некоторая аддитивная постоянная, но это физически бессмысленно. Девять величин Ко 11 =- 1, 2, 3; 1' = 1, 2, 3) образуют элементы тензора.
Постулируемое здесь обобщение закона Дарси заключается в сохранении линейной зависимости составляющих и; от компонент градиента потенциала и является в данном случае эвристическим соображением. К тому же самому виду закона можно прийти, используя основные постулаты, относящиеся к течению жидкостей в анизотропных средах (91. Однако сделанное обобщение должно приводить к постулированию определенного вида закона и к рассмотрению вытекающих из него следствий. 88 Три уравнения (3.48) можно записать как одно матричное уравнение дф дх, дФ дх, д) — — К.
К К: (3 49) дхз При повороте системы координатвходящая в (3.49) К-матрица будет изменяться. Исследование показывает, что для симметричной К-матрицы существует такое положение системы координат, в котором К-матрица становится диагональной. Таким образом, если 1 = 1, 2, 3; ) = 1, 2, 3, (3 50) Км -— — К„; то для некоторого выбранного расположения осей х,(1 = = 1, 2, 3) прямоугольных координат рассматриваемая К-матрица перейдет в К'-матрицу следующего вида: К, О О (К'-матрица) = 0 К, 0 .
(3 51) О О К, Выбранные таким образом координатные оси называются главными осями пористой среды. Заметим, что зтн оси взаимно-перпендикулярны. Верно также и обратное утверждение: если пористая среда обладает взанмно-перпендикулярными главными осями, то К-матрица симметрична в системе координат с любой ориентацией и диагональна в системе координат, отнесенной к главным осям. В системе координат, отнесенной к главным осям пористой среды, у которой эти оси взаимно перпендикулярны, постулированный обобщенный закон Даров принимает следующий вид: дф д 'н дх, Е = 1, 2, 3, (3 52) т, е.
каждая составляющая о, пропорциональна соответствующей компоненте градиента потенциала, но коэффициенты пропорциональности различны, так как не все К, равны. 4В, Зах. 699 89 Следует иметь в виду, что в результате поворота системы координат к главным осям изменяется также и потенциал ср.
Так как в общем случае вертикаль (направленне действия силы тяжести) не является главной осью, то потенциал ~р нужно записать в виде з (3.53) К!с. Кзс. Кзс, йс. Кс Дс Кз (3.54) ~сс. ~з . Кз (3.55) .ис. = Кс ос Кс В соответствии с принятым предположением мы будем считать, что онн являются функциями только насыщенности. Здесь через К;,, и Кп„. (1 = 1, 2, 3) обозначены проницаемости соответствующих жидкостей при их совместном течении в направлении 1-й оси; через К; — главные значения проницаемости для однокомпонентной жидкости. 90 где а,; 1=1, 2, 3 углы между осью х,, которая предполагается направленной по вертикали, и соответствующими главными осями х,; г==.1, 2, 3 Возможность описания проницаемости при помощи матрицы, как это было сделано выше, подтвержена экспериментально для ряда пористых сред 117).
Исследования показали также, что некоторые пористые среды обладают взаимно-перпендикулярными главными осями. Однако, повидимому, нет основания ожидать для всех пористых сред существования ортогональных главных осей. Для обобщения закона Дарси на случай совместного движения в анизотропной пористой среде несмешивающихся жидкостей мы вообще не располагаем никакими экспериментальными данными. Наиболее простое и разумное предположение, которое в этом случае можно сделать, заключается в том, что в апнзотропной пористой среде относительные проницаемости по всем направленням одинаковы.
Таким образом, приняв это предположение, можно воспользоваться системой координат, отнесенной к главным осям. В этой системе К-матрицы всегда диагональны. Поэтому относительные проницаемости определяются соот- ношениями 3.40. Уравнения состояния жндкостейт — '=О, йр (3.56) откуда р = сонат. (3.57) В следующем, тоже очень простом случае, сжимаемость жидкости постоянна. Так как сжимаемость жидкости с при постоянной температуре определяется выражением 1 Л'м. 1Ж оР (3.58) где через У„, обозначен объем данной массы жидкости, то отсюда следует, что с= — — '.
ПР (3.59) При постоянном с интегрирование (3.59) дает р = ран'< -'1 (3.60) где р, — значение р при давлении р = р,. Уравнение состояния (3.60) довольно хорошо описывает поведение большинства ткидкостей, хотя бывают и отклонения от него, вызванные присутствием в жидкости большого количества растворенных газов, Если жидкость представляет собой совершенный газ, то уравнением состояния будет закон Бойля — Мариотта, РУ = — ~Т, М (3.61) т Многокомпонентные акядкостн нфааовое равновесне рассматрнваются в гл.
1О. 4В* 91 В выражение (3.34) для потенциала течения аР входит плотность жидкости р, зависящая от давления р. Для того чтобы применять закон течения для решения конкретных задач, нужно знать зависимость р от р. В наиболее интересных случаях эта зависимость может быть записана в довольно простом аналитическом виде.
Самый простой — это, конечно, тривиальный случай несжимаемой жидкости. В этом случае уравнение состояния сводится просто к равенству где à — объем, занятый массой газа е; )И вЂ” молекулярный вес газа; Й вЂ” универсальная газовая постоянная, Т вЂ” абсолютная температура. Так как плотность газа равна тФ, то из (3.61) находим М РТ (3.
62) При течении в изотермических условиях отсюда получается связь плотности с давлением. Заметим, что в этом случае (3.63) г4 я' так что сжимаемость совершенного газа обратно пропорциональна абсолютному давлению газа р. Отклонения реальных газов от идеальности учитываются путем введения поправочного множителя 2, зависящего от р. Этот множитель вводится соотношением М р КТ х (р) (3.64) и определяетсяобычноэкспериментально.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
