Р. Коллинз - Течения жидкостей через пористые материалы (1132348), страница 26
Текст из файла (страница 26)
х- со Задача упрощается, если перейти к безразмерным переменным Тогда она сводится к решению уравнения д~Р дГ АР дТ 167 Здесь д„,, д„, с), — расходы (дебиты) нефти, воды и газа соответственно. Фу.нкции с1„, с1,, с(„и р„известны в интервале О ( Г( 1,, и, следовательно, д,(1) есть известная функция времени в этом интервале. Задача заключается в нахождении фушсции р(1), удовлетворяющей уравнению (5.78) при 0 (1 ( 1, .
Эту функцию затем можно экстраполировать для 1) г, и, используя уравнения (5.78) и (5.79), предсказать поведение пласта. Для оценки Я, и Р есть много разнообразных методов [7, 101. Для приобретения некоторого опыта в вопросе о возможном поведении функций (;)„и Е полезно разобрать приводимые ниже простые примеры. при следующих граничных и начальных условиях: Р (с, 0) = О, дР д~ -(О, Л) =1, (5.84) Здесь частная производная по ь заменена полной, потому что Х рассматривается как параметр, и, следовательно, Р является функцией только ь.
Линейно независимыми ре- шениями этого уравнения являются е'и' и е — "' '. На основании последнего из условий (5.84) нужно выбрать убывающую экспоненту. Таким образом, Р(ь, з) = Ве — '"' (5.86) где  — постоянная. Применяя преобразование Лапласа к граничным условиям при ь =- О, получаем дР— (О, з) = з-'. дй (5.87) Подставляя это выражение в (5.86), получаем В з — 2!2 (5.88) Тогда 3/2 Е (5.89) есть преобразование Лапласа от искомого решения.
Из таблиц преобразований Лапласа находим — а"'' ( = =е — и*/41> (5.90) 168 Применяя к уравнению (5.83) преобразование Лапласа по переменной Х, получаем „„, (ь, з) = зР(ь, з). (5.85) и, кроме того, для любой функции Н(Л) (5.91) где Š— ' (Ь(а)) =- Н (Л). (5.92) Таким образом, искомое решение имеет вид Р (~, Л) = — — — е — 1счто г(т, о (5.93) Интегрирование по частям даетт Р (~, Л) =- 2 1гтг — е — 1'-'НИ вЂ” ) е — Я' с(т). (5.96) суят х При к = О, т.
е. на поверхности о, получаем Р(0, Л) =-2~Г (5.97) или 2о р (5.98) собой дополннтельнуш функпнто ' Интеграл представляет ошибок е Я 0я =1 — ег1т. 2 ег1ст = —-- 169 Это решение можно представить в более удобной форме, сделав в приведенном выше интеграле залтену переменных. Положим т1а = ~яу4т, или т1 =- 1/2)l с, (5.94) тогда Р(1, Л) =- — "= (5.95) суя т'Г или (5.99) 2оо / Ро Ро о'4й~ она Уравнение (5.98) при д, = 1 представляет собой для данного водоносного горизонта функцию влияния. Если расход ц, = д,(т) изменяется во времени, то на основании теоремы Дюамеля в форме (5.78) получаем Р. = Ро — — „)/ '", ~ д, (т) --.. (5.100) о Этим уравнением можно воспользоваться и в случае постоянного р,.
В самом деле, применив к обеим частям уравнения (5.100) преобразование Лапласа по 1 и предположив, что р,= сопз(, получим Ро — Р, 2Ч/ И вЂ” уо о А Г ото '~/ Отсюда о( = —, 17 — (р — Р ) —, (5. 109) г' „„. о Применив обращение преобразования Лапласа, находим 7. (7) = ф ~/ — '"(Р,— Р,) —,', (5.108) Из этого уравнения следует, что в начальный момент 1 = 0 расход из водоносного горизонта должен быть бесконечным, если при 1 = 0 к поверхности о, через которую происходит истечение, приложен постоянный перепад давления. Интегрирование уравнения (5.103) по 1 дает следующее выражение для полного объема жидкости, поступившей в пласт из водоносного горизонта к моменту времени т при постоянном перепадедавления Р,— р., 1~,(1) = А)/ — о" (р,— р,) у'1.
(5104) Положив Р,— Р, = 1, получим для данного типа водоносного горизонта величину, обозначенную в предыдущем пункте через Я,(1). Если давление р, переменно, то для пол- !70 ного объема жидкости, поступившей в пласт к данному моменту из бесконечного прямолинейного водоносного горизонта, получим при помощи (5.74) следующее выражение: р(1) 2 12 ~ (рр Рр.
(г — «)),= . (5.105) а 5.52. Бесконечный водоносный горизонт; радиальное течение Решение уравнения движения для радиального плоского потока в кольцевом пласте постоянной мощности л, имеющем радиусы внутренней и внешней границ г,, и г„, дается при г = «„ формулой (5.64). Это решение описывает изменение давления на внутренней граничной поверхности о(г = г,) однородного водоносного горизонта при постоянном расходе воды 27 из этого горизонта. Если ограничиться рассмотрением только сектора с углом раствора а (а измеряется в радианах), то множитель л в уравнении (5.64) всюду нужно будет заменить на Ы2. Решение (5.64) для радиального потока в водоносном горизонте трудно применить из-за своей сложности. Однако если устремить г„к бесконечности, то можно получить приближенное выражение для р, (2).
При очень малых значениях 1 давление р, (1) должно быть приближенно таким же, как и в случае прямолинейного водоносного горизонта, т. е. при малых 7 должно быть применимо уравнение (5.99). Для очень больших значений г давление р; (г) должно приближаться к тому давлению, которое получается из решения для точечного стока (прямая линия на рис. 5.3, или формула (5.53)). Функция, удовлетворяющая этим требованиям и численно хорошо согласующаяся с точным аналитическим решением, имеет внд р, р,—, э (2(2 — ° р( — =;à — ',)(-р "™Гр, I График этой функции изображен на рис.
5.3. Он соответствует случаю г„,!гр - о. Полагая 27 = 1, можно 17! при помощи формулы (5.106) найти выражение для функ- ции влияния г(г), соответствующей радиальному притоку через круговую границу из бесконечного водоносного го- ризонта, Р()= ' (и[~ — р( — ' у — ',)~ф + 1п 1+ — . (5.107) 5.53. Наклонный водоносный пласт Предыдущее рассмотрение относилось к горизонтальным водоносным пластам или, что то же, к случаю, когда влияние силы тяжести несущественно. Точная постановка задачи для двумерного течения (ось х, направлена по горизонтали, х, — по вертикали) заключается в использовании закона Дарси, уравнения состояния и уравнения неразрывности. В результате получаем уравнение для ф д' д д" Здесь среда предполагается однородной и изотропной, а функция ф равна Ф= ~ +ах~.
йг г(г) (5.109) Ро Если водоносный пласт считать тонким, то можно пренебречь изменением давления и плотности поперек пласта. Отсчитывая координату х вдоль пласта,а координату у— поперек него, получаем х, = х сова — уз|па, (5. 110) х, = х з1п а + у соз а, где и — угол наклона пласта к горизонту.
В новых переменных х и у уравнение (5.108) принимает вид 172 Из этого выражения можно найти 1~,(Г), как уже было сде- лано в предыдущем пункте. Однако вычисления в данном случае получаются более сложными. где Р ф = д! — +д (х з(п а+у сова). д Р(Р! Ро Далее имеем дд ! др — = — — — ' дз(па дх р дх (5.112) (5. 113) — =усова, дф ду (5. 114) д ! др з .
1 андр -~р — ) рзоыпа1= — — ' дх ~ дх ь ~ К д! ' (5.115) Здесь в соответствии со сделанным предположением положено (5.116) Кроме того, для выбранной модели имеем также др ! др р дх х дх ' (5.117) Поэтому дх~дх ) К д!' -1 —. ри .1 1!= — —, д ~др 2 ' ~ трсдр (5.118) д ~др ~ .
) тихдр дх' (дх' ) К д! ' — — — х!с ! )— (5.! 19) Важным обстоятельством является то, что это уравнение нелинейно относительно неизвестной функции р. Поэтому его нельзя решать обычными аналитическими приемами. Говард и Рэчфорд решили это уравнение численно н показали, что имеется несколько приближенных аналитических решений, довольно хорошо согласующихся с найденным ими численным решением. !73 причем здесь положительные значения х отсчитываются вверх по восстанию пласта. Если сделать замену х' = — х, так что положительные значения х' будут отсчитываться вниз по падению (как это принято в статье Говарда и Рэчфорда 19)), то мы получим Покажем, как можно найти приближенное решение уравнения (5.119).
Учитывая, что лр = ~ — — — ях' з! и а, Г дР д гМ) (5. 120) находим (5.123) Отсюда (5.124) Но из уравнения (5.120) и уравнения состояния следует, что дх' ~дх' —, = ср' 1 —, -1- д з1п а), дг л ('д4 (5.125) и поэтому — - 1-2ср —,( —, + дз(па) = — —. (5,126) длй дл !дй . Л алис дй дх д ' дх'(дх' ' ) К д(' Из уравнения (5,126) видно, что если сжимаемость жидкости мала и градиент потенциала не очень велик, то лр с высокой степенью точности удовлетворяет урав- нению дяа трс дф дх 2 к' д( (5. 127) В начальный момент 1 = 0 имеет место гидростатическое равновесие, откуда при 1 = 0 и для всех х' находим (5.128) 174 где х' считается положительным вниз по падению, а у=О, получаем —,, ~~,— ~~ = — К. (5.ЛЫ) Замечая, что (5.
122) т. е. потенциал ф есть величина постоянная. Обозначим эту величину через ф„ тогда ~р (х, 0) =- И1, = сопз(. Вводя новую переменную (5.129) бф='ФΠ— 'Ф(х ~), (5.130) получаем дмф тра ззф дх'з К дс (5. 131) и условие, что Ьр = 0 при 1 = О. Теперь задачу можно решить тем же приемом, который был использован в случае прямолинейного горизонтального водоносного пласта.
Задание постоянного перепада давления при х' = 0 эквивалентно в данном случае заданию постоянной величины бф, скажем (бф), при х' = — О. Преобразование Лапласа решения, соответствующего этому граничному условию при х' = О, выражается в виде бф = (Ьф),ехр( — х')/ ~~ ).
(5.132) т. е. получаем точно такую же зависимость от времени, как и для полного объема, вытекающего из горизонтального пласта (нужно только р,(Ь~), заменить на р,— Р.). Для очень малой сжимаемости с получаем при- ближенно (5.136) 175 Р. (5Ф). = Ра — Р.. Отсюда находим, что преобразование Лапласа градиента Ьр равно з = з '..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
