Р. Коллинз - Течения жидкостей через пористые материалы (1132348), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Для рассматриваемого малого интервала величины а н 6— постоянные, которые должны определяться по данной кривой. Величина а находится очевидным образом. Постоянная Ь определяется по методу наименьших квадра- ' Нужно помнить, что внд кривой Яис 1Я) сильно зависит от отношения вязкостей так же, как и от формы кривых относительных пронипаемостей. 199 тов. Дифференцируя (6.50), для рассматриваемого участка получаем (6.5 1) Применяя теперь к этому участку кривой ф„, формулы (6,45) и (6.49), можно вычислить отношение проницаемостей и величину Ян,, (Е). Таким путем построена кривая, изображенная на рис.
6.6. Сдцд ! г,а ГД 'О дб Пнс Р и с. 6.6. Зависимость отношения относительных пронинаемостей от насыщенности иесмачинающей жидкостью, полученная из опыта по прямолиней- ному вытеснению, Недавно было получено обобщение метода Велджа, которое позволяет по данным о вытеснении находить не только отношение проницаемостей, но и сами проницаемости. Это было сделано Джонсоном и другими авторами 17)1 1 Многочисленные исследования движения несмешивающихся жидкостей в подобной постановке и обобщения на случай трехфазных систем были выполнены И.
А. Чарным пего учениками (см. Ч а рн ы й И. А. Подземная гидродинамика, ГТТИ, М., Гйбз). — Прим. ред. 200 6.30. Прямолинейное вытеснение с учетом влияния капиллярного давления Ч = 9нс, -Г 0с. получаем "рк I"онс 03нс. + др, дх с К,, Кн,1 пКган, Кнс. с. Кс. рс. Кнс. рнс. Рс. 1снс. К„Кн,. л51П и (6.52) 1"с. нс. Здесь использовалось соотношение дрн с1 и д3н дл гЬ~„, да (6.53) ' В действительности здесь дело не только в скорости, Если мы интересуемся структуров течении в области около скачка насыщенности, где градиенты насыщенности велики, то учет капилляр- ного давления необходим.
— Прим. рнд 201 Описание одномерного совместного движения несмешивающихся жидкостей при помощи уравнения Бакли— Леверетта хорошо соответствует действительности только при достаточно больших скоростях нагнетания. Если скорости нагнетания невелики, то соответствие нарушается и приходится учитывать действие капиллярных сил'.
Для двухфазного течения, происходящего в двух или трех измерениях, учет капиллярности приводит к системе двух дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка. В случае одномерного течения система упрощается и сводится к одному уравнению. Выведем это уравнение. Предположим, что пористая среда однородна, а жидкости однородны и несжимаемы. Тогда справедливы уравнения (6.!6) — (6.18).
Закон Дарси при этом записывается в виде (6.11) и (6.12). Кроме того, нужно учесть условие (6.13), определяющее капиллярное давление. Из двух последних уравнений и уравнения (6.18) т е предполагалось, что капиллярное давление р„вы« ражено через насыщенность среды несм ~чива1ощей жидкостью Ян, Отсюда и из закона Даров получаем Дс д1Рн д,5, д5нс Ч ~нс 1'с 1 -'- —- Х'с ннс (6 54) дс Инс 1 ~нс 1сс К, дР, '"с с15нс д5нс д5„, тА — д — ",' (б 55) Уравнение (6 55) нелинейно и поэтому не может быть проинтегрировано при помощи обычных аналитических приемов Его нужно интегрировать численно Однако прежде чем перейти к описанию численного интегрирования, приведем это уравнение к более удобному виду Введем новые переменные 1.
' А1.' (б 56) где Š— длина образца Введем также безразмерное капиллярное давление р„ — Рн (бнс ) (дР (д5н, ) (б 57) Здесь значком х отмечено, что берется некоторое характерное значение производной В новых переменных рассматриваемое дифференциальное уравнение принимает вид д~(н()д~) ~ ()дС д, д с д51 д5 д5 (6 58) при условии, что течение происходит в горизонтальной плоскости Так как общий расход д не зависит от х, то после подстановки выражения для д„в уравнение неразрывности для смачивающей жидкости получим уравнение в частных производных, которому должна удовлетворять насыщенность ~нс 1 где В=Вес (6 59) 5 — --— /с, йн, (днн 1д5) ~ с ( Гснс с С нс ) (6 60) н(н) - -„',( (6. 61) В эти соотношения введены относительные проницаемости и безразмерный постоянный параметр В, определяемый равенством 91лсвс АК (дпн Ф)н .
(В) == —,' ~ а(ц) (Ч, Зсн (6. 63) где Зон — а(Ч) (11 (6 64) 'Зсн Тогда для функции г(5) получим из (658) следующее уравнение: ,— '„, т Н» — „„=()» — „, дг, дг дг (6 65) 203 где К вЂ” проницаемость среды по отношению к однофазной жидкости. Уравнение (6.58) описывает распределение насыщенности несмачивающей жидкостью в безразмерных переменных ь и ). Это распределение зависит от безразмерного параметра В. Для численного интегрирования удобнее перейти от Я к другой неизвестной функции.
Обозначим, как и прежде, через Я„ минимальное значение насыщенности породы смачивающей жидкостью (насыщенность связанной водой) и через В,н, — минимальную насьпценность несмачивающей жидкостью, которая остаегся после вытеснения (остаточная нефтенасыщенность). Определим где а («) = — д„ ! д 1 !+ 'сс ~нс (6 66) (6 67) Прежде чем приступить к решению задачи, нужно еще задать начальные и граничные условия. Возьмем эти условия в следующем виде. Пусть в начальный момент г = О насыщенность всюду равна 1 — 5,„,, т.
е. 5 (х, О) = 1 — 5„, или, переходя к «(ь, Х), получаем «(,", 0) = О. (б 69) (6.72) Используя эти уравнения, а также (6 6) и закон Дарси, находим, что при х=-0 имеют место равенства (6 73) дс", дь д5 д~ А/с, Переходя от 5 к «, получаем оиончательно /с и 1 — 1 Здесь для функции, стоящей между двумя знаками равенства, введено обозначение о. Осталось рассмотреть граничное условие на выходе из пласта (х = — Ц. До тех пор пока насыщенность смачивающей жидкостью в выходном сечении пласта не поднимется до своего максимального значения 1 — 5„,, смачивающая 204 Далее, на входе в пласт (х = 0) с момента Е = 0 подается постоянный расход только смачивающей жидкости, т.
е. д„с (О, т) =- О. (6.70) Поэтому при х =- 0 имеем (6 71) дх с?, (Е, 1) = — 0 для всех 1(сс, (6.75) 5(?., !) = 5,н для всех 1)(н. (6.76) Можно показать, что, переходя в этих условиях от 5 к г, находим дг(1, 1) 1 1 лнс !сс ~1 ~с !снс — — !+ — — '! = — у(г(1,Х))приХ(?с,(6.77) г(1, Х) =- 1 при ?с)?, . (6.'?8) Здесь для функции, стоящей между двумя знаками равенства, введено обозначение у. В этих равенствах ?" = !?!с??Алг. Теперь задача сформулирована полностью. Приведенная формулировка в основном принадлежит Дугласу, Блэру и Вагнеру (3). Численный метод интегрирования, который сейчас будет описан, также принадлежит этим исследователям.
Положим ль = 1?Ж, ?х? ) О. Введем $, = (1 — 1),г,~ и Х, = па?,. Здесь 1 и и — целые числа, причем =- 1, 2, ..., Л! + 2. Обозначим через %', „решение в точке $л ?'„разностного уравнения, соответствующего данному дифференциальному уравнению для г. Введем первое и второе разностные отношения ссс!,л с — с,л !Гс — Гсг ил= ' 2гг (гг =' ' ' ' (6.80) Ю' + !сс — 2%' (~)' Определим приближенное значение второй производной дсг?дР следу!ощим образом: днг 1 Г 2 2 — — [~~с К, л !+ ~! К, „! (6 81) 206 жидкость вытекать не будет. Она начнет вытекать только тогда, когда насьпценность достигает этого значения, которое в дальнейшем уже изменяться небудет. Таким образом, если 1=- (л — момент времени, в который насыщенность 5,, впервые достигает в выходном сечении х = Е своего максимального значения 1 — 5,„, то при х = ?. будем иметь и подобным же образом дс ! -дь.--' 2 1~';)лс,, Ь! с ЛО)лс, л).
(6.82) Кроме того, положим приближенно дл !ссс, л-!.! !Гсс,л дь (6.83) Вьппеприведенные приближенные выражения для производных относятся к моменту безразмерного времени Х = п + 1!2. Для вычисления коэффициентов дифференциального уравнения в этот момент примем, что (р' =г и что для Б' в момент Х = и+ 172 можно приближенно записать соотношение Это соотношение получается очевидным образом из соответствующего разностного уравнения.
Теперь нужно перейти к конечным разностям в начальных и граничных условиях. Для начальных условий, очевидно, имеем ~ ьО (6.85) Граничные условия нужно вычислить для момента безразмерного времени Х =- и -(- 1 Имеем с''.(г ,л+! = о ()с'!,л~ !) Й! 1л'л ! !, л! ! = у((О'лс Ь!,лд.!), ) л лл, (6 87) Б7лс ь! л+! =- 1, ).>).'. Это выражение получается таким же образом, как и выражение для К, л !се С учетом (6 86) граничные условия принимают вид Эти условия вместе с приближающим дифференциальное уравнение разностным соотношением —,, [г., й7, .+, г„, !р', .~ + ! ! + "гз!г' +!12) — 2 1 с 'зс !Рз, -Ь! + сьг згз . л! = л = р (!р с, л+! 12) и выРажениЯми ДлЯ йт, „ч 1, и йс, „!, обРазУют системУ алгебраических уравнений относительно величин 0,0 1О О 02 00 00 40 0 р и с 6 7. !кривые отаосительных проницаемо стев и капиллярного давления, использованные для расчета прямолияейнога вытеснения с учетом кзпиллярного скачка (дуглас и др, !95З! По оси абслисс водоаасыщенность По осн ординат относительная проницаемость (слеза! с лрк '! безРазмеРное налиллЯРное давление Рк ! к ) !спРава! Нз 1х ! — график Фн 2 — график калиллярно~о давления, а — график а, — — — связанная вода в Эту систему можно решать гауссовым методом исключения [3) Для проведения вычислений нужна, конечно, быстродействующая электронно-счетная машина.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
