Р. Коллинз - Течения жидкостей через пористые материалы (1132348), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Заметим также, что уравнение (6 99) получается из уравнения (6.55) предыдущего пункта, если в последнем положить д = 6. Так, впрочем, и должно быть, потому что при выводе обоих уравнений использовалась одна и та же модель. 214 Полученные уравнения можно преобразовать при помощи уравнений неразрывности. При этом в силу равенства 5с +5„,.= 1 достаточно использовать только одно из этих уравнений. Таким образом, используя уравнение ддн, дд„ дн' -— — — тА д1, (6 98) Граничные условия можно получить, рассматривая физические явления на концах образца.
Через непроницаемый конец образца х =- С не течет ни одна из жидкостей. Это означет, что при т Е градиент давления в каждои из жидкостей равен нулю. На основании уравнений (6.92), (6.93) и (6.94) отсюда следует равенство нулю градиента капиллярного давления и градиента насыщенности. В результате при х = с получаем дВв, ( —,'-," — ), = О (6 100) На поверхности, через которую жидкость втекает, нужно потребовать непрерывности капиллярного давления. Так как капиллярное давление р, равно нулю в жидкости вне образца, а внутри образца оно обращется н нуль при 5„, =- = 5„,, то на рассматриваемой границе х = 0 должно выполняться равенство 5„(0, 1) =-5„, .
(6 101) Полученные граничные условия вместе с начальным условием 5„. --": 1 — 5„, н дифференциальным уравнением позволяют найти распределение насыщенности внутри образца в зависимости от координаты х и времени 1". Задачу о пропитке можно сформулировать и несколько иначе. Это сделал Блэр [1). Из закона Даров и уравнений неразрывности для каждой из жидкостей получаем урав- пения Х- ) —.- О, ( ",- (6 102) (М вЂ”.
) =- — 4лг —,' ' Если длина Л образца бесконечна, то решение рассматриваемой задачи сильно упрощается, так как оно становится автомодельным распределение насыщенности зависит только от комбинации гак ГБлагодаря этому обстоятельству его удается получить н аналитической форме, что дает возможность провести исчерпывающее исследование Это решение было получено в работе Р ыж и к В М, О механизме капиллярнон пропитки пористой среды, Изв АН СССР, ОТН, Механика и машиностроение, № 6, (19о9) Экспериментальное исследование, проведенное в работе К о ч е шк о в А А, Влияние давления на капиллярное вытеснение из пористой среды углеводородной жидкости водой, Иза Высших учебных заагдений, Нефть и гат, № 2 (!959), показало, что это решение очень хорошо описывает основную часть процесса пропитки Прим ред 215 00 20 )5 0 0 20 йд 60 00 )00 Р я с. 6.13. Кривые относительных пронияаемостен н капяллярного давления (Блэр, 1960). По оси абсцнсс: водоаасыи(сивость (тт).
По оси ординат отнасительнаи проницаемость (ь',) (слеаа); капаллярное давление ((адат/дойаР, ) фанта)дюйма 0,703 аг)сме) (справа). ~не 7И = — ' --' — ' т'нс, ) с. где ~не. ~с. Л) .= — ' — — ' и нс. )'с. )Б.) О4) Р 2 (Р"" + Р')' 1 1 1 2 т~ "' Рс') 2 Р"' 2!6 К системе 16.!02) присоединяются следующие граничные условия: Р <О, )) = и (О, )) = О, дя дх Эти уравнения проинтегрировал Блэр методом конечных разностей на цифровой электронно-счетной машине. Преимущество такой формулировки задачи состоит в том, что в результате решения находятся не только р, и Я„., )00 80 80 -10 20 -20 0 20 а)0 80 80 100 Р п с, 6.14. Распределение насыщенности н давлений в процессе прямолинейной пропитан (Блэр, 1960), По осн абсцисс: расстояние (в % от длины образца). По асн ординат.
нодонасюценность (и) (слева), давление (финна)дюйма) (снрава). 1 †давлен неФти, 2 †давлен воды. но также находятся давления в жидкостях р, и рнс, в зависимости от х и (. Блэр рассмотрел также задачу о пропитке круглого цилиндра. Типичные результаты расчетов Блэра показаны на рис, 6.14.
Кривые относительных проницаемостей и капил- 8В Зан. бай 217 лярного давления, соответствующие этим результатам, изображены на рис. 6.13. Другие, относящиеся к этим расчетам данные следующие: 1(н. = — о сп и, =1сл, Зон 9 2об тп 32 1оо Е = 30,48 сл(, А = 7,92 см' Время прохождения воды = б,б час, Количество вытесненной нефти = 36%, К = 200 мд.
Расчеты велись для случая вытеснения нефти водой. Влияние вязкости нефти на процесс пропитки водой показано на рис. 6.16, (ас (с Р и с. 6. 16. Зависимость отбора нефти от ее вязкости прп прямолинейной пропиткс (Блэр, !960). По оси абсннсс: время аинтыааии» (часы). По оси ординат; обьем вытесненной нефти (Ко — — — максимальный отбор нефти. Результаты Блэра хорошо согласуются с экспериментальными данными.
Однако в его статье нет сведений о влиянии длины образца на количество вытесненной нефти. Экспериментально такое влияние изучалось. Соответствующие результаты для естественного песчаника представлены 218 4,0 дй Ю и л 6 6 Рис. 6, 16. Заниснмость отбора нефти от нременн а процессе прямолинейной пролитии для образцов различной длины (Грэм и Ричардсон, 1960), По оси абснисс: время ) часы). По оси ордннат: объем отобранваа нефти ("м'). 0 — )2,5 сас, са — )0,08 см, ° — У,55 см, йа — 5,02 см, ° — 2,48 см. 8Ва 6.50. Многомерное двухфазное течение. Численные решения В предыдущих пунктах рассматривались различные методы изучения прямолинейного двухфазного течения 11о только один из них допускает распространение на случай нескольких измерений.
Для трехмерного течения двух несмешивающихся несжимаемых жидкостей закон Дарси записывается в виде днс нс (6 ! 05) Кс тс =- — 7фс ~с Здесь Фнс =- Рнс + Рнс Яхз фс =- Р. + Рс кхз, (6. 106) где, как обычно, (6 107) Рнс — Рс == Рк Через р„,. и р, обозначены плотности соответственно несмачивающей и смачивающей жидкостей. Положительные значения координаты х, отсчитываются по вертикали вверх. Уравнения неразрывности в данном случае имеют вид ддн, дс (6 108) дй, ~7т = — т-— дз (6 109) 220 на рис. 6.16. Эти результаты принадлежат Грэму и Ричардсону 151, Для приобретения навыка в оценке влияния различных параметров очень полезно записывать все уравнения и результаты в безразмерных величинах. Связанные с этим вопросы рассматриваются в главе о моделировании.
Подобно тому, как это было сделано Блэром для пропитки, удобно перейти к переменным ! Р =- —,, И'. + ф') (6 110) ~~ вс Л4 = — — -т Ивс, (с (6. П1) ~~вс ~с %= — — —, в вс Нс. которые были введены Дугласом, Писмэном и Рэчфордом [4]. В этих переменных система дифференциальных уравнений зада~и принимает вид р (МпР) + 0 (Л~'р$') == О, ЧРЧР) -! р(МЧ)с) = — 4 во д)с 6.112 Эту систему (или другую, эквивалентнуюей),дополненную соответствующими граничными и начальными условиями, нужно решать численно.
Такие решения были получены для ряда задач Дугласом, Писмэпом и Рэчфордом, Значение этих решений заключается в том, что с их помощью можно выяснить детальное распределение насыщенности, чего нельзя сделать экспериментально. 6.60. Турбулентное течение несмешивающихся жидкостей До сих пор в этой главе рассматривался только ламинарный режим течения. Такой режим обычно имеет место в нефтяных пластах. Однако в химической промышленности возникают важные задачи о турбулентном движении несмешивающихся жидкостей в пористой среде. В особенности это относится к противотокам в вертикальных колоннах. Теория турбулентного движения несмешивающихся жидкостей гораздо менее разработана, чем теория ламинарного движения Относящиеся к этому вопросу теоретические и экспериментальные результаты, полученные вплоть до 1951г., имеются в обзоре Лернера и Грова 1!О]. Сведения о более 22! поздних исследованиях, в которых определялись относительные проницаемости при турбулентном течении, опубликованы Стгоартом и Оуэнсом 1131.
Задач и 1. Проверить, что уравнение (6.43) действительно представляет собой уравнение Бакли — Леверетта для радиального течения. 2. Решив задачу о прямолинейном вытеснении неслиачивающей жидкости смачивакщей жидкостью, можно построить график зависимости 1,)аг от О. Здесь 1;га,, — общее количество жидкости,вытесненной к данному моменту из образца; 1~ — обгцее количество жидкости, закачанной к этому моменту в образец. Показать, что после прорыва смачивающей жидкости наклон а кривой 1;)„„, = 1;га, (Я) обладает следующими свойствами; для очень больших значений отношения вязкостей рз,. /)г,.
величина а = 1, а для очень малых значений этого отношения величина а = О. 3. При описании вытеснения по схеме Бакли — Леверетта скачок насыщенности 5,, на фронте вытеснения вычисляется из уравнения (6.42). Этой же величине в случае прямолинейного вытеснения равна насыщенность смачивающей жидкостью на выходе из образца в момент прорыва. Показать, что уравнение (6.42) можно записать в виде 1 д 1, !'с. Ис. и вывести зависимость 5,, от отношения вязкостей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
