Р. Коллинз - Течения жидкостей через пористые материалы (1132348), страница 33
Текст из файла (страница 33)
4. Показать, что из уравнений (6.102), (6.103) и (6.104) можно получить для процесса впитывания ту же зависимость Я„„от х и 1, что и из уравнений (6.98), (6.99), (6.100) и (6.101), т. е. что последние уравнения можно вывести из уравнений (6.102), (6.103) и (6.104). ЛИТЕРЛТУРЛ 1. В 1 з ! г Р.
М., Рзрег )лз 14750. Л!МВ Весоп4агу Кес. Яупгр Ну!сьпа Га)!з, Техаз, Мау 1960, 2. В и с )г ! с у Ь. Г., 1 е с е г е 1 1 М. С., Т гааз. А) МЕ, 14 В ! 1942), 107. 222 3. Роиц1аь Л., Лг., В!а(г Р, М., Вга5пег й. Л., Тгапь. А(МЕ, 215 (1958), 96. 4. Роид!аз Л., Лг., Реасегпап Р. Вг. ВасЬ1огй Н.
Н., Л г., Тгапь. А(МЕ, 216 (!959), 297. 5. Огайаги Л. %., В)сЬагг(зоп .1, О., (Рг!ча!е сопгпиипса- 1!оп), б Оиеггаго Е. Т., Кеппег(у Н. Т., Тгапь А!МЕ, 20! (1954), 124. 7. ЛоЬпзоп Е.Р., Оаьз!ег Р. Р., Иаигиапп ьг. О., Тгапк А!МЕ, 2!6 (1959), 370. 8. Логдап Л. К., МсСзгбе)! )!г. М., Носо11 С. (1., ОН баь Л., 55 (9957, 98. 9. К*У1е Л. В., В аР роро г1 1.. В., Тгапь. А!МЕ, 215 (1958), 423. 10. 1. ег п е г В.
Л, О г о е е С. Б., йи(. Еад. С)гепг., 43 (1951), 216. 1!. Я!сЬагйьоп Л. О., Кегчег Л. К., На(1огг( Л. А., О ь о Ь а Л., Тгапк А!МЕ, 195 (1952), 187. 12. ВЬе!г1оп Л. %., Хопбе(г В., Сагг(ьзе(1 %. Т., Лг., Тгаиь. А!МЕ, 216 (1959), 290. 13. Я(еогег1 С. й., Оьуепз %. Рьг., Тгапк А)МЕ, 215 (!958), 12! . !4. ь3ге! 5е Н., Тгиок А!МЕ, !95 (!952), 91, гллвл т Задачи с подвижными границами. Вытеснение.
Отложение твердых частиц (нольматаж) 7.10. Вытеснение одной жидкости другой Задачу о вытеснении из пористой среды одной жидкости другой часто удается сформулировать как задачу с подвижной границей. Предположим, что пористая среда в основном насыщена нефтью с вязкостью р„, и плотностью р, . Остальная неболыпая часть порового объема среды насыщена неподвижной связанной водой с вязкостью р, и плотностью р,, Обозначим насыщенность среды, связанной водой, через 5,» Тогда насыщенность нефтью будет равна 1 — 5„.. Пусть теперь в некоторый момент в пористую среду начинают нагнетать воду, чтобы вытеснить нефть. Предположим, что в процессе этого вытеснения область, в которой насыщенность заметно меняется, достаточно мала. Тогда всю область течения можно разделить на две области.
В одной из них содержится только нефть и связанная вода. В другой — только вода и неподвижная остаточная нефть. Первая область находится псред «фронтом», вторая — позади «фронта». Граница, отделяющая эти области, представляет собой математическую поверхность разрыва насьпценности — «фронт», Перед фронтом движется только нефть. Позади фронта движется только вода.
Такой фронт соответствует разрыву насыщенности, определяемому уравнением Бак,чи — Леверетта, которое было выведено в п. 6.20. Описанная схема движения осуществляется при определенных значениях отношения вязкостей или в случае особого поведения кривых относительных пропицаемостей. Прежде чем переходить к рассмотрению конкретных задач, нужно сформулировать условия, которые должны удовлетворяться на поверхности раздела. Рассмотрим маленький цилиндр длиной бз, площадью поперечного сечения бА и осью, перпендикулярной фронту 224 (рис. 7.1).
Пусть в момент времени г' основание цилиндра лежит на фронте. К более позднему моменту Г + бг фронт пройдет расстояние по нормали, равное йз =- оф й1. (7.1) Здесь оф — скорость продвижения фронта по нормали к фронту. За время М в цилиндр войдет объем воды, равный ты а ЬАМ, где о, „— проекция вектора плотности объемного потока воды на нормаль к фронту. Этот объем воды должен рав- Р н с. 7.!. Фронт вытесанная н трубка тока. няться объему воды, заполняющему в момент 1+ б7 рассматриваемый цилиндр длины йз, за вычетом связанной воды, т, е.
о„, йАН =- ЬАдз(1 — 5„, ) и,— йАйз5„т. (7.2) Здесь 5сн — остаточная нефтенасыщенность позади фронта, т — пористость среды. Из уравнений (7.1) и (7.2) получаем (7.3) Подобным же образом, подсчитывая количество нефти, вытекающее с другой стороны цилиндра, находим оф =. (1 ' са ~св ) (7. 4) 225 где и„ „ — проекция вектора плотности объемного потока нефти на нормаль к фронту. Таким образом, на движущейся границе имеем он.л =" ов, и (7 6) В области позади фронта (в водонасыщенной области) течет только вода.
В этой области из закона Дарси и уравнения неразрывности получаем дифференциальное уравнение в частных производных для потенциала течения воды ф„, Впереди фронта, в нефтенасыщенной области, из таких же уравнений получаем дифференциальное уравнение в частных производных для потенциала течения нефти ф„. Если пренебречь капиллярными силами, то нужно потребовать, чтобы при переходе через подвижную границу давление менялось непрерывно. Заметим, что последнее требование, вообще говоря, не означает равенства потенциалов. Требование равенства давлений на границе необходимо для того, чтобы давление всюду было однозначно определено.
Если еще пренебречь влиянием силы тяжести, то задачу можно сформулировать так, чтобы в нее входили только давления. При этом уравнения для давлений в разделяемых фронтом областях, вообще говоря, будут разными. Они будут одинаковыми только в одном случае (см. п. 7.20). Перейдем теперь к формулировке задачи вытеснения, происходящего по описанной схеме, т. е. вытеснения, при котором переходная зона может быть представлена как математическая поверхность. Эта поверхность в пространстве х„х„хз передвигается и изменяется с течением времени. Запишем ее уравнение в виде г" (х„х,, х,.
Г) =- и = сопя(. (7. 6) При фиксированном 1 уравнение(7.6) определяет однопараметрическое семейство поверхностей. Это значит, что какая-нибудь одна поверхность выделяется из этого семейства заданием некоторого фиксированного значения одного параметра а. Изменяя г и сохраняя а постоянным, мы будем получать, вообще говоря, разные поверхности. Эти поверхности можно рассматривать как первоначальную поверхность, которая за истекший промежуток времени передвинулась и изменила форму.
226 Таким образом, х„х„х, в уравнении (7.6) — это координаты некоторой точки фронта в момент 1. В момент 1 + -( бг координаты этой точки фронта будут равны х, + бх„ х, + бх,, х, + бх». Так как рассматриваемая точка все время передвигается вместе с фронтом, то г (х, + бх„хв + бх„х + бх„с + Й) = а. (7.7) Разлагая левую часть (7.7) в ряд Тейлора и сохраняя только члены первого порядка малости относительно приращений бх„И, находим, с учетом (7.6), следующее уравнение: Точка фронта — это жидкая частица, которая передвигается со скоростью Чв ч (7.
9) м (~ 'тон ~св ) Поэтому р,,и бх = «и (1 ион дсв ) (7. 10 ) и тогда дд , дд ди Пв,! —, ов» +Он» + в. дк«,— в дк в дкз + (1 З,„— Я„) д,' =0. (7.11) Разумеется, в этом уравнении можно и, заменить на вн.. Решение уравнения (7.11) описывает изменение границы с течением времени. Но прежде чем решать это уравнение относительно г", нужно знать зависимость составляющих скорости пв «от координат и времени. Таким образом, распределение потенциалов либо должно быть известно заранее, либо должно определяться одновременно с г".
Вообще говоря, при передвижении границы распределение потенциалов изменяется. Оно остается неизменным только в том случае, когда «вода» и «нефть» динамически неотличимы, иными словами, когда вязкость, плотность и проницаемость для обеих жидкостей одинаковы. Так, например, можно рассматривать вытеснение «красной» воды <голубой» водой.
При таком вытеснении положение границы раздела 227 не будет влиять на распределение потенциалов. Тогда задача о распределении потенциалов может быть решена независимо. После этого из уравнения (7.11) можно определить, как будст продвигаться граница. В действительности имеется мало задач, которые можно решить таким образом. Методы решения некоторых из них разработаны Маскетом 18). Другие задачи, имеющие большую область применимости, рассматриваются в п.
7.30, вслед за приводимыми ниже простьгми примерами'. 7.11. Аналитическое решение задачи о прямолинейном вытеснении д' р„ — — = О, 0(х(хф, (7. 12) да Ра —" ,="О, дха хе (х(Е, (7. 13) (7.1 4) дра х = хе (1) дх Рп ---Р., Кв о. дра Кас (7.15) на дх х =- О, (7.15) Р..
=- Рг р„=- р„х --. В. (7.1 7) Здесь К,, — проницаемость для воды в присутствии остаточной нефти, Ка„— проницаемость для нефти в присутствии связанной воды. Уравнения (7.15) получаются из граничного условия (7.5) предыдущего пункта. Интегрирование уравнений (7.12) и (7.13) дает р, =Ах+В, р„, =- А'х —, В'. ' Многочисленные результаты решения задач вытеснения в подобной постановке прггнадлегкат В Л Данилову для ознакомления с его результатами могкно рекомендовать написанный им раздел в цитированной выше книге И.
й. Чарного(стр. 200). — Прим. рад 228 В этом пункте мы рассмотрим прямолинейное вытеснение нефти водой из однородной пористой средыс образованием фронта. Обозначим длину образца через Е и пренебрежем влиянием капиллярпых сил и силы тяжести. Из закона Дарси и уравнений неразрывности для распределения давления получаем следующие уравнения: Используя граничные условия, получаем В=рн 'Р 'В+(1 Ч)нф, (7. 20) с-а оХ:,11 —;)х,, с (1 — о)хф .
р тг-О (1--т) ф +1' Входящая сюда величина Дв.о 1 н. Днов. 1св. (?.21) называется козффщ(понтом подоижн1сти, величина Лр равна приложенной разности давлений (7. 22) ггр=р — р ° Из приведенных уравнений и равенства ссв.о. дрв. нв. о. ов =— нв дх н, (7.23) нв. нс(1 дсв, 'чан ) тг'+ 11 т)нф (7.24) Интегрируя это уравнение при условии хф = О при 1 == О, получаем для времени 1 продвижения фронта от х = О до х = хф следующее выражение: 1св. НС(1 асв.
~ан.) 1, 1 — т Н 1 ' рЕхф + — - - хф 1. (7.25) К~о, аР Из уравнения (7.25) видно, что при ас ) 1 фронт уско- ряется, а при ~р ( 1 — замедляется. В исключительном случае, когда ~р = 1, фронт перемещается с постоянной 22У получаем следующее уравнение для координаты поверх- ности раздела: скоростью, и в этом же случае распределение давления не зависит от координаты фронта хе Это видно из уравнения (7 20).
Графически полученные результаты изображены на рис. 7.2. Из этого рисунка видно, какую важную роль играет в процессе вытеснения коэффициент подвижности. ди п Рис. 7. 2. Влияние отножения подинжностей па аакон движения фронта н пропессе прямолинейного вытеснения (Маскет, 1937), по оси абсцисс Кв а Прорв вам зои зов ) ь* По оси ординат ко /Ь 7.20. Двумерное вытеснение. Вытеснение водой при коэффициенте подвижности, равном единице Задачи о двумерном вытеснении представляют особый интерес для нефтяной промышленности в связи со вторичными методами добычи, связанными с законтурным заводнением. Рассмотрим плоское течение в горизонтальном нефтеносном пласте с постоянными мощностью, проницаемостью и пористостью Предположим, что ранее этот пласт эксплуатировался, причем извлечение нефти происходило, в основном, в условиях естественного водонапорного режима.
В результате в пласте оказались нефть, вода и газ. Соответствующие насыщенности обозначим через Би, Яв 230 и 5„. Обычно эти насыщенности непостоянны по пласту. Например, действие одной только силы тяжести приводит к разделению фаз. Правда, влияние силы тяжести до некоторой степени компенсируется действием капиллярных сил.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
