М.Э. Эглит - Неустановившиеся движения в руслах и на склонах (1132337), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Это оззачает, что характерный масштаб н области волны повышения уровНя становятся все меньше, уравнения крупномасштабного приближения становятся непригодньшм. Иак уте говорилось, в этом случае в возннвающей зоне с небольшим характерным размером надо использовать полные уравнения гидравлики с учетом членов, содержащих производ.ме. Ислн же продолжать интересоваться только крупномасштабнмзи пленивши, то зоны резвого изменения параметров представляется с точки зрения этих больших масштабов как разрывы.
Итак, в теории ккнематнчсских волн также возникает необходимость вводить решения с разрывами. Сбратимся еще к двум примерам. Первый касается теории движения транспорта по шоссе, он подробно рассмотрен в книге Дг.уизема 'Ь~нейные и нелинейные волны". Поток транспорта можно в первом крхбжлении представлять как поток сплошной среды.
Ьсли обознаЩггь через ~Р количество машин, прнходящиХся на единиЦУ длины лсрогн, и через О, - количество машин, пересекающих данную чергу в едкницу времени, то закон сохранения машин для участка дороги, где нет съездов в въездов, запишется в инде М.+ ~~=0 Зх -'ели еще считать, что Я = 0(~), то получается уравнение кине'атичесвнх волн, скоРость харавтеристик этого уравнения есть и = — Функция О.(~) имеет вик, изображенный на рис.1За: бй ау — 55— О, = С при Р = С и 9.=' 0 кри Р = Д , ~~ — плотаость машин в случае, когда машины расположены вплотнУю круг к ДРугу максимальное Я соответствует некоторой оптимальной плотности машин ~„.
Видно, что Й>0 при ~кр, и д.<0 при РЩ, т.е. при ~(Р~ волны распространяются вперед по ходу дмокения а пРн Р>Яь - назад. Вэедвм еще скоРость потока Ъ = Я/Р Скорость а, получается меньшеИ, чем 'Ч; дейсткительно, Ч очевидно уменьшается с уэеличением ~Э, т,е. Ф= T+~~~~- сЧ с'к' Псетсыу ~оЛНЫ ВОЗМущЕНИИ ОтНОСИтЕЛЬНО Мащня раолрсотраяябтоя назад. г, л тз О з, В р Х~ Хь Рис.
13 Лакее эеличина — = — отрицательна. Поэтому скорость с(ля,(с; бр с(Р возмущениИ тем меньше, чем больше соотэетстэуюшая плотность, и тенденцию к опрокидыванию имеет задняя часть волны, изображеняоИ на рис.13 с . Заметим, однако, что из-за того, Что Фс~Г , машины попадают в волну сзади, цозтсму задняя часть волны, изображеннон на рис,13 о „ яэляется эолноИ "сжатия" (повншения плотности ~Э а передняя — волной разрежения — э противополоиность ситуации рнс.6, который соответствовал случаю й+ > И. 3.6. Пример опрокидывания эолны понишензя уровня Второй пример насается потока сыпучеИ среды.
Снова рассмотрим простейший эариант - одномерный цоток на склоне, а Иормулу длЯ ~Ранна эозьмем в изде (1.26). ПРи а Щ Ь» имеем Ч = - Я~ЙТ-'рай%~« ° д ° °, ь и не а р выше поэедению волн э потоках воды. При Й. > пФ мюА Т с(р УМ у Ещк 3 п.юла лт» ук > <цъ хкT аа. 2 к(~паса-т»/я Ай. сР'~Ф 5ыьс~ ( 3 Н.ьмьм- Ч'Г+ й~ сОь Чк" Чу Кинематическое приближение для рассматриваемых потоков возможно лишь дри ~И.естес( >Т«-/)э, причем всегда а >Ч, а производная от О, по )Ь может быть немонотонной: если величина Кв = = Ч'~~/3)з~уЛм.
больше Е», что имеет место при сдс(с9)ы/3 то при 6.сЕ» и )ь>Ьс, величина О. увеличивается с ростом глубины )ь, а щм Ь+ < )ь < ~.р~ уменьшается (см. рис.14). Рис.?4 Это означает, что если значения я. в волне лежат между Ь» и Ер~, то опрокидываться со временем будет волна пониженин (а не повышения) уровня. Как мы увидим дальше, в этом случае в крупномасштабном двииенки надо вводить разрывы, являющиеся скачками понижения уровня (скачками разрежения — гр терминологии газовой динаыики).
3.6. Крупномасштабные движения в неоднородных руслах Интересно посмотреть, кан влияет на поведение волн неоднородность склона или русла, в частности, изменение уклона или коз$фициентов трения вдоль русла. Оказывается, изменение уклона и трения могут предотвратить опрокщпывание волн, опрокидывающихся при распространении по однородному склону юш руслу, и, наоборот, вызвать опрокидывание волн, не опрокидывающихся на однородном снлоне. Рассмотрим, например, одномерный поток воды с законом трения Шези.
уравнения (3.5), (3.6) имеют вид и=Ч= А4à — + (ь — =-ЕК вЂ” а = — АК ъ) ъ) а з М сю ят с 2 д=йш7Г= сваг с=~рг,....,„„ Шези. Уравнения характеристик и условия на характеристиках есть — 57— позтому вдоль характеристик й~ .а )ь ЫА би З Д бб ь ь )ь'Д~=~м1 = )ь, А,, Е, А/х) теристики находятся интегрированиеы уравнения г/у, 3 2/3 ~~/ьд 1/3 О О /5 =т~ задано, та харак- 13/2 Пусть, например, 4 = (с//~(, то есть вдоль склона или уменьшается уклон, иля возрастает шероховатость, увеличивая К , или иэшеются оба фактора.
Тогда характеристики есть линки 2 х — ~о М'/' 4БЖ Характеристики не будут пересекаться, если ~) Ь,Ж вЂ” неубываю- щая функция от лс . Например, начальная волна, заданная услови- ями )ь, = )3//х при осс1 ш л б хо2 (в которой Уровень впереди ниле, чеы сзади), опрокидыэаться не будет. Если ие Д~ ~ возрастающая функция„ то такие волны, конечно, будут опрокиды- ваться, 3,7.
Условия на разрывах в кинематической тепрь Рассмотрим теперь условия на разрывах в теории крупкомасштабных дэижений (кинеыатических волн). Эти разрывы будем назы- — 58— Ясно, что если начальное распределение таково, что ~6,/у, убывающая функция ос , то характеристики будут пересекатьсн, а соответствующая волна опрокидываться. Если, например, при 'Хс~ ~ Тс ~ Хоь задано )ьс э виде Ь,= у /К' (уровень ьпереди эыше, чем сзади!), то она будет опрокидываться. Рассмотрим теперь русло, уклон которого при увеличении Ъ увелкчиэается или шероховатость уменьшается, так что Л растет. Пус ь, например, Я= = (Об/С)~/2. Тогда уравнения характерисгкк есть ~„3/ю э Д':. за.
К' вать кинематнческимн. Напомннм еще раз что разрывами мы заменяем зоны, энутрм которых параметры потока существенно меняются на расстояниях, много меньших масштаба всюду эне втой зовы. Обозначим через й,„ , Я , )ьь , Ър. (для русел соответственно 5, и,, Яь, ы ь ) значения параметров потока прм щмблнжении к разрыву со стороны "1" и со стороны "2". По обе стороны разрыва мы пользуемся вифференцнальным уравнением неразрывности, получающимся из закона сохранения массы, а вместо дифференциальных уравнений ноличества движения используем конечные связи (З.З) илк (З.З) между скоростью и глубиной.
Естественно считать, что на разрыве танке должен выполняться закон сохранения массы; зто приводит к условию, что поток массы непрерывен при переходе через разрыв. В теории двумерных движений по склонам будем иметь аналогично (2.16) Р ~~ (У -й) = Р ~ю (Ъ'яз - й) (3.11) где л) - скорость разрыва, У,„' — нормальная составляющая скорости среды на разрыве. Соответственно для русловых потоков условие сохранения массы на разрыве имеет вид (3.12) Закон сохранения количества движения для кннематических разрывоэ, также как и для кинематических волн вообще, не рассматривается. Если вычислить изменение потока количества движения при переходе через разрыв, считая, что скорости по обе стороны разрыва определяются глубинами ( й, = Ч ()ь,), сь = У ( ~х) ), то оно окажется неравным соответствующей разности сил давления.
Зто означает, что трение о дно э зоне, которая рассматриэается как разрыв, несмотря на относительно малую ее протяженность, существенно. Итак, из общих законов сохранения для кинематических разрывов имеется только одно условие (3.11) или (3.12). Рассмотрим поток в русле. Из соотношения (3.12), если заданы 5, и Зь , можно найти скорость скачка л) оь)1ь Зг )1~ (3.1 3) Скорости распространения малых эозмущений по разные стороны скачка есть а, = й (8 ), йь = й (Зь) где О. = эьг Для скачков зв малой интенсивности, когда 5 — 5,, имеем Поэтому Й= Оэ + О (5х — 31), Если еще воспользоваться равенством то можно получить более точную Формулу й= ~~ (О.~т Оь) + ОСЕэ Ч Таким образом, снорость скачка мелой интенсивности равна с точностью до членов порядка (5ь- 5,) полусумма скоростей малых воамущений по разные стороны скачка.
Этот результат верен не только для кинематических скачков, он имеет общий характер. 3.8. Условия эвссвсцнонности кинематических разрывов Для скачков произвольной. интенсивности имеют место также некоторые неравенства, показывающие соотношения между Й , п~ и Оэ . Эти неравенства вытекают иэ требования эволюцнонности сначна и зависят от того, сколько имеется соотношений, связывающих параметры по разные стороны скачка. Имеются ли еще какие-нибудь связи между этими параметрами, кроме (3.12)? Как будет помазано дальше, в некоторых случаях имеются.
Они могут быть получены с помощью исследования так называемой структуры скачка. Под структурой скачка понимают решение полной (а не упрощенной крупномасштабной) системы уравкений, описывающее распределение параметров в узкой зона, которую заменяет этот скачок; это решение связывает параметры на границах зоны, т.е. по разные стороны скачка. Иногда оказывается, что решение аадачи о нахакденин структуры скачка существует не для любых значений параметров по рваные стороны скачка, даже если онк удовлетворяют авионам сохранения.
Пля того, чтобы это решение существовало, необходимо, чтобы параметры по разные стороны скачка были связаны еще какими-то соотношенкыэи, которые и представляют собой добавочные условия на скачке. Считается, что могут существовать только такие скачки, для которых решение задачи о нахождении их структуры существует, т.е.
для которых эти добавочные соотношения выполняются. Иногда решение задачи о структуре существует при любых значениях параметров на скачке, удовлетворяющих только законам сохранения. Тогда никаких добавочных усков 80- вкй нет. Так обстсмт дело, нацрнмер, для газодинамических скачков в согервевнсм газе илн для кинематическвх разрывов в потоках воды. Пример получения добавочного услогля для разрыва, моделирующего передвкй Фронт снежной лаккны, будет дан в й 5.
Сейчас предполовим, что на разрыве ввкеквх условий, кроме (3.12), вет. Тогда для его эвозюцновностк необходимо, чтобы зи одна кз двух характеристик уравнений по разные стороны разрыва не была уходящей, Еолн система координат направлена в сторону двкжевжя разрыва, индекс "1" пркпжоывается параметрам перед разрывом, а индекс "2" — параметрам позади разрыва, то 3 > 0 , а уоловня зволюцнонноств дают а„>й> а, (3.14) Чтобы из (3.14) получкть соотновенвн между 5, в 5ь , рассмотрим зависимость величины 5 Ч от 5 (см. ркс.15). Крквую ЛT (5) можно условно назвать "аднабатой" в том смысле, что она, как н настоящие адвабаты в газовой дннаьихе, определяет к скорость малых возмущений (тангенс угла невлона касательной к БЧ( 5) ), и сворость скачке (тангенс угла наклона секущей).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
