М.Э. Эглит - Неустановившиеся движения в руслах и на склонах (1132337), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Тогда для получения решения задачи мсмао применить один из следующих двух путей: либо заменить ною эту узкую зону разрывом, либо находить решение э этой зоне, пользуясь другиыи, более точнвмн уравнениями, соответствующими малым масштабам Ь,, Т1 . Говорят, что это рвше- ние описывает структуру разрыва. Например, дэижезие газа п1нз боль- шнх сноростях обычно описывают уравнениями, не учитызающнми вяэность и теплопроноднссть ° При этом но многих случаях приходится вводить разрыны, Длп описания дзилшяия внутри зон, которые моделируются этими раэрызами, т.е.
дзя аахождения струнтуры разрывов, надо пользоваться уравнениями Навье-Стокса и учитывать теплопроводность. В областях, где масштабы явления велики, вторые производные от параметров много меньше первых, нми можно пренебречь- тогда и придем и уравнениям идеального нетеплопроэодного газа. Таким образом, вообще уравнения Эйлера можно рассматривать кан крупномасштабное приблнжвпне уравнений Назье-Стокса. уравнения, используемые в зове резного ишченения параметров, будем называть полнмзи.
Они гораздо сложнее, чем упрощенные нрупномасштабные уравнения, действующие зне узкой зоны, найти их решение сложно. Одяаво, если речь идет именно о задаче нахождения структуры разрыза, то ве можно несколько упростить, пользуясь тем, что вона, где ищется решение — уакая. Во-первых, эзодштся подзшжвая система ноординат, движущаяся со скоростью й , где Я вЂ” скорость разрыла. Далее, таи нш на граннпах зоны, где ищется решение, параметры удоэлетшоряют крупномасштабным ураэнвниям, т.е. сущестэенно мензютзш только эа время Т »Т,, то их можно за зремя Т, считать поошошннмзи. Поэтому естественно считать, что решение внутри зоны должно быть стационарным з системе координат, движущейся со сиорсстью 2) , а сама скорость Й ясстоянна.
Нроме того, все внешние параметры, входящие в уравнения (например, уклон и шероховатость русла з задачах гидравлики) существенно меняются только на расстояниях порядка Ь » Ь ь , поэтому при нахождении решения внутри зоны их можно считать постоянными ° — 75- 5.2. Задача о структуре кннематяческого разрыэа Обратнмся к русловым потокам и рассмотрим задачу о структуре кинематнческогс разрыэа: всюду эне некоторой узкой области пусть применимы уравнения кинематичесного приближения (1.32), а внутри етой области надо использоэать неупрощенныв уравнения гидравлики (1.23), Трением на эерхней границе будем пренебрегать. Задача о нахождении структуры кннематнческого разрыэа ставится так: найти решение уравнекий (1.23) вида Я = о (~ ) И.
= И (~) 5 = х - Йй к) = сонь( (5 1) э некоторой области, на концах которой 8 , К стремятся соответственно к Яь, ц~=У(3~) и 5ь, И*= Ъ'(Вг) . Производные — и 3 — прн приближении к концам области должны стре- 45 сц мй ь ыиться ь нулю, тан как решение должно склеиваться с решением крупномасштабных уравнений (с малыми прсизэодныыи). Ураэнения (1.23) с учетом (5.1) дают -З вЂ” + — =0 <И И Яц. сЦ й($ (ьь (ц, сь (~ г (5.2) -Й вЂ” + к — = — — — +05~лш —— ~ц Кг я с(~ у рК В системе (5.2) параметры русла надо считать постоянными, с~ = = ссай, сьшуссзь5/8(5), 'Г='Г(н,и), У=К(я), функгзтн сь, 'Г , К явно не заэисят от б .
Из первого уравнения получаем 5(3-И)= оса~~ = О. т,е. 5= —, ~4ш д) — — (5.3) Я й * ' й-ьь или, с использованием граничных услоэий, а=,(.-.,) = я.(.-.. ' (5.4) то есть ь). -юЛ 3,8, Формула (5.4) совпадает с формулой (3.13) для скорости кинематического разрыва. Таким образом, если 5ь и 5ь заданы, то Й и (х эычнскяются.
Подставляя согласно (5.3) во второе уравнение (5.2) эместо Ы величину х) — О./3, получим (5.5) где [5. 5) Вводя обозначение Й+= и+С и учитывая, что — „= (Х)-И>„ ЯМ можно переписать уравнение (5.5) в виде с~ 5 В Г(5) с~~ (а,-з)(л-а ) (5.7) 5.3. Структура иинематичесного разрыва в погоне жидкости Рассмотрим решение задачи о структуре нинематичесного разрыва при следующих предположениях относительно энда зенона трения и формы русла: Ю >()  — '~= — >Π—. Π— >О (а=-') м аГ ь'У Вч = ЗВ ВМ ° аа Я (5.8) Выше приводилось много примеров, когда ети условия эыполняются. В частности, они эыполннютсн для потоков воды на ширових салонах и в руслах трапецоидального сечения.
далее параметры нрупномасш- табного движения должны удовлетворять условиям устойчивости а (5„и,) < я (5,) < а, (Л„и~) С( (5,,и,) «(~СЦ» а,(5ь,и,) (5.9) Условия (5.9) долины выполннться потому, что только прн выполнении условий устойчивости вообще можно рассматривать нинематическое приближение. -77- Яадо только помнить, что здесь Я+ должны быть виражены через 5 с помощью равенства м; = Й - Я/Б. Задача сводится н построению решения (5.7), принимающего на границах значения Б, и Я„. В частности, недо ответить на воп.- рос, при любых ли 5, и Я, существует такое решение, т.е.
не вознинает ли из исследования структуры навих-то сэязей между 5~ и Бь . Тевие связи бнви бы добавочнвми условиями на разрыве, тав кан условие сохранения массы здесь уле внполвено э силу йормулы (5.4) для Й Поведение решения (8.7) зависит от поведения функции Г(5) и фузнций а, — Й , % — сь . заметим прежде всего, что скоРости ц, и Иь имеют одинаковый знак, Действительно, в кинематическом приближении ч/рй = )5идсс, т.е. зван т' определяется знаком 5иъсс . Но знак Т совпадает со знаком снорости, потому что трение, т.е, -'П, направлено против снорости. Поэтому пока 5ид ~ не меняет звана скорость тоже не меняет знака. А в этсм исследовании мы вообще считаем, что Ф = ссадг .
следовательно, если ось х направлена в сторону спуска, то и,> О ц > О . Далее при выполнении условий (5.8) графин фуннцни 5 х ( 5) имеет вид, изображенный ва рис.20а. Поэтому, если, например, 5, < Нь, то Й>и = 2(5) (нанлон касательной в точне 5, меньше наклона хорды). Но в силу условия — > О имеем ЪУ д5 а,>7; = ц,, поэтому Й>и1 и 0,=5,(Й-и,) >О .
Следовательно, 3 тоже направлена в сторону спусна и всюду в рассматриваемой области Й вЂ” К > О , так кан Й- Ы = Я/Я . Но тая кав И > О- , то всюду Й- ц- > 0 . Заметим, что если бы было 5„< 5,, то получили бы этот же вывод из неравенствах)>ЯЯ>~х 5 3 (а) (5) Рис. 20. Вид фуннций ЯУ(5) и Г(5) при условиях (8.8) Теперь рассмотрим функпию + (5) . Понажем, что при условиях (5.8) функция Г(5) обращается в нуль тельно при 5= 5, и 5= 5„.
действительно, равенство Р(5) = О равносильно двум равенствам т(5, к) й изыди — ' = 0 и м=й —— ро 5 Оба эти равенства выполняются для точек 5 = 5, и 5 = 55 . Вообще, первое из этих равенств дает и = Ч ( 5) в следовательно говорит, что величина 5 ц длн любого 5 лежит ыа графаве 5ч'(5), а второе - что величина 5ц лежит на прямой5и=53-0. При выполнении условий (5.8) точек пересечения линии 5)>( 5) и -78- прямой 5Й вЂ” О, прн заданных Й и О, всего две. Это точки и 5ь . Следовательно, Р(5) = 0 только прн 5 = 51 и 5= 5з Рассмотрим еще производные от » ( 5) в точках 51 и 5з . Испсль- зуя, как и в 9 4, обозначение 'Г/рй = ~, имеем ц я а м (Ы(з,„~и) 'эы (5.107 (а) (й) (с) Рис.
21. К определенны расположения критического сечения Однако иа условия устойчивости (5.9) следует, что случай Й > (м»)» , изображенный на рис,21с, не может осуществиться. Действительно, из (5.9) мз < (0~) , во пРи Условинх 5 > 5 и (5.8) имеем Й < Пз , поэтому всегда Й < ~Й+)з . Случай й< (ц+)1 может осуществиться, если скачок небоньшой.
действительно, нз условия устойчивости (ь, < (ц„),, в то же время прн -79- При 5= 5,, К= К~=Ъ(5) и 5= 5ь, К= Пз =Ч(5з) выражение в скобках в (5.10) Равно соответственно м,-й и Сь-Й (см. фор- мУлУ (4.9)). ПРи Условинх (5.8) 9~с >0 и ц,<Й< Яь, если 51< 5ь . Поэтому с» <0 пРй 5= 5 н ф >о при 5=5з, ЪЗ функция Р(э) имеет вид, показанный на рис.20з. ТепеРь Рассмотрим функцию ц+ — Й = с» и-3 = с — —, Сечение, Я где Й- ы = С, т.е.
0» = Й, называют критическим. В этом сечении Й- ы., т.в, скорость среды относительно системы координат„ в ьоторой потов стацноварен, равна скорости распространения малых воэмущеняй С по частицам среды. Скорость и глубина в этом сечении называются критической скоростью и критической глубиной. Обозначим через и» в 5» критическую скорость н критическую площадь сечения потова. Где на оси 5 расположена точна 5» ? Если Я<(м»), то 5» <51, если(0~),<В< (0~)ь, то 5,<5 < 5з, и если~а,)<Й то 5„ > 5ь (см. Рис.21).
а» а»(э) С, С, 52- 51 имеем Й) Я~, следовательно, прн 5 -» 5» обязательно будет х) с(0+)2 . услоние Й< (О»),, переписанное в явном виде, когда все величины выражены через 5,, 52, дает О2()2»2) / < С~52) = (5.11) 5 -5» 8, нри заданном 5, условие 15.11) определяет те 52, дня которых 5» <52. При этом в промежутке 5,<5<52 величина О.» — Х) не обращается в нуль и положительна. итак, если 52> 52 и 52 — 51 не спинном велико, так что удовлетворяется условие 15.11), то при 5, < 5 < 52 величина д. 5 , определяемая уравнением ~5.7), отумцатедьна и обращается в нуль при 5 = 5~ и 5= 52 (рис.22а). Это значит, что пум увеличении $ величина 5 уменьшается, меньшие значения 5 находятся впереди.
Решение (5.7) представляет собой непрерывную волну повышения уровня (которая не опрокидывается!) ~ем. рис.22 6 ). (а) Рнс.22. Структура разрыва при условиях (5,8), (5.11) Итак, для кннематических скачков повышения уровня небакьшой интенсивности в руслах, удовлетворяющих (5.8), всегда существует решение полных уравнений, описывающее их струнтуру. Ннкаких дополнительных связей между Я, и 52 при этом не возникает, такое решение можно построить длн любого 52, удовлетворяющего неравенству (5.П). Однако для скачков понижения уровня (т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
