М.Э. Эглит - Неустановившиеся движения в руслах и на склонах (1132337), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Характер изменения амплитуды определяется знаком величины (~ . Если ф < О дня всех действительных К , то амплитуды всех волн, составляющих решение (4.7), не будут расти со временем. Это означает, что любые малые возмущения однородного потока не будут расти со временем, т.е.
однородный поток устойчив по отношению к малым возмущениям. Если же хотя бы для одного К будет $ > 0 , то можно указать такие малые начальные возмущения, которые будут со временем неог- -67- раниченно расти, что овначает, что поток неустойчив. Итак, усло- вие устойчивости может быть написано в виде ~, . О) = (~ < 0 (4.8) о о Лакее имеем ((+ = Ы, + Оо, ((- = ((о 60 — скорости малых мелкомасштабных возмущекнй. Покажем, что скорость (), малых крупномасштабных вовмущений можно вычислить по формуле ~ф) (4.9) ~ Ъ(()о (ЯЙ Лействительно, (Ь, = ( -~~ ~ = У,+®Чтобы найти функцию 7®, надо выраннть (( через )~ ив соотйошения ~ьоъы- ~(5,м)=0, таким обравсм, ~~(гьс~ — ~($, ч(8Ц= О, дифференцируя последнее соотношение по 5 , нандем: -68- где Я вЂ” корни дисперсионного уравнения (4.6), причем (4.8) должно выполняться для всех действительных К Часто исследование устойчивости начинают сразу с того, что рассматриваются решения системы (4.2) вида б'(ню 'с ), Непосредстэенной подстановвой в систему можно убедиться, что решения такого вида можно найти, если Ы и К удовлетворяют днсперсионному уравнению (4.6).
Из проведенного вдесь рассуждения ясен смысл такого подхода: достаточно исследовать решения такого час~ного вида, так как общее решение предстаэляется э виде их суммы. Попробуем написать условие устойчивости ЗюьЮ < О в виде соотношения на параметры русла и потока. лля етого проведем исследование знака корней дх;персионного уравнения (4.6). Обозначим СО/ К черен () . Уравнение (4,6) имеет вид и формула (ч.Э) верна, Теперь дисперсионное уравнение можно запк- сать в виде цс)=м(с- 1)(с-'-)-((ус) (с ')=' Видно, что при очень больших К, т.в. при очень малых длинах волк, можно пренебречь вторим членом и решение дисперсионного ураВНЕНИя булат У,= О+, ОЬ= Я~, тЕ. 3яЬ()~ Ь= Кнас)~ Пш 0 амплитуды волн не меняются, скорости 2 = КееЮ ' не зависят от о длины волны К и равны (у' или 0' . Гри очень малых К т.е.
очень больших длинах волн, наоборот, можно пренебречь парным членом, и решением дисперсионного уравнения будет У = ((с , снова 3юь су = О , Р/ к нв залазят от длины волны, позтому волна распространяется без изменения формы со скоростью О, . Этя результаты были уже получены ранее непосредственно из уравнений. Рассмотрим теперь случай произвольного К . мы интересуемся знаком мнимоИ части корней уравнения Г ( У ) = О Пусть сначала К > 0 . Гбсмотрим расположение корней функции Г(Ц на комплексной плоскости )) . Если есть корни, расположенные в зерхнвй полуплоскости, т.е.
корни, для которых ~г 1%я сюьо = —, )О то яоток неустойчив. Воспользуемся следующей тео- К ремой из теории функций комплексного переменного. "число корней аналитической функции внутри контура, который не проходит через корни, равно изменению аргумента функции при обходе этого контура, деленному на 21Г . Эта теорема для Г('У) становится очевидной, воли представить функцию Г(У) н ниде Г(()~ =;к (()-(1,)( и-(1,) = К (и-ц~~(Р-У.~Е'(Ч"'Р4 где (.)1, Ц, - корни, ~Г„, 'Ть — аргументы чисел У-У1, У-Уь, Если, например, оба корня У, и Уь лежат внутри контура С то кри обходе контура, т.е. когда 17 проходшт зсе точки контура, векторы )-(- У1 ж (У - УЬ созершают полвыИ оборот, Я я Я изменяются каждыИ на 211 , а аргумент функции Г на Ч Тт Число корней внутри контура равно Чт~/2~г = 2 (см.
рис.171 Так как нам надо узнать, вать ли у Г((У) корни с положительной мнимой частью, рассмотрим в плоскости У контур С , охватывающий зсю верхнюю пслуплоскость и состоящий из дейстьительной оси н полуокружности (У=((Э'т, 0 < 'Р (~ ТС , К -~ ос (см. рис.18). Этот контур при О с Ф (1+ , О, Ф О.' не проходит через корни Г(()). на полуокружности очень большого радиуса Г(Ц - (к У = к кье т' ~~з Зля (/ , лежащих аа действительной оси, дейстглтельная и мнимая Эх-1Эцй - 69- части Г (У) а,= а' обращаются в нуль одновременно только если»1,ай+ Вообще Г(ай) =-® (а+ -а,),Г(й)=(Н(а;а,')(а;а) сш с Рко.17, К определению числа корней аналитической Функции внутри контура а, а' а м Ркс.18.
Контур 6 в жоскости».» и его отобразвние на плоскость Г(».») Будем следить за изменением аргумента у(У) прк обходе контура», рисуя соотзетстзующий контур з плосъости т (».») . Результат будет зависеть от соотношения величиН й.„', Й йс, о > у Пусть сначала 0-с < »1 , как зто отмечено на рис.18, Начнем обход контура »' с очень большого девстттельного полокительвого »»' (точка И ) против часовой стрелки.
Прк дживнии У по полуокрукности Г(Я= (К»1, т.е. Г(У) описыкает соотнес стнующую окружность.,Палее при дникенин слева направо по дейстж. тельной оси действи*ельная и мнимая части ГЩ уменьшаются, но не обращаются в нуль. Батем сначала встречается точка У=Я», где Г(У) станожтся чисто мнимой, потом точка У = 0', где 'Зр„Г (1»') = О, потом ~" = Я»., где снова »т ГМ) = 0 и при дальнейшем увелнченж»» дейстжтельная и мнимая части по модулю узеличиззются. йаким образо»л, если а, < С., то при обходе контура С величина Г(У) описывает н плоскости Г(У) контур, содеркащий начало координат внутри себя (см.
рис. 18), яоетому аргумент Г Ы) изменяется на 21С . Следовательно, один ко- - 70- реаь Г (Щ ловит ваутри С, т.е. имеет полокительяую мнимую часть, Эв У1>0, атак лая Ш,=КЦ и К>0, то Зоъоз1 > О и поток неустойчив. Контуры, которые описывает Г(У) щж обходе С в случаях. когда а,> а~с и когда а'<а,<а' показаны аа ркс.19. а,' а. м а. а„' м а' а' «.
а,< а+ Рис. 19 о Из рис.19 видас, что щж Я~ > И+ вачало координат своза содераится вяутри контура, описаваемого эеличиаой ГМ, следовательяо, Г(У) имеет яореаь с полоиительаой мяимой частью. При а' < Я~ < Я~ э плоскости Г (У~ получается контур, не содеряащий эаутри качала координат, позтому кореей эаутри С у фуякпаи Г(У) яет. Икая, мы шиучяли, что при Я, >й и Й, < Й имеются возмущения с растущей амплитудой, т.е, поток неустойчив.
Прка" <я,<0+ возмущеяия, соответствующие любым К>О, яе растут. Чтобы сделать вывод об устойчивости потока в етом случае, надо рассмотреть случай К < О . Макао было бы на1мсоэать соотэетствующае яоятуры в плоскости Г Щ пря К< О, а мокко эоспольаоваться следую- — 71- щим фактом: если при некотором К = к днсперсионное уравнение имеет коРни М, = 0, т ~ 0,, Яь = 0ьт ~ 0ь, то пРи К = - К коРнамн Явлаютса й„=-Р,+ ~0,,Я, — — 0,+ ~~ь . Это нетРУдно проверить для днсперсионного уравнения (4.10). Пусть У= М+~Ф тогда уравнение (4.10) после выделения действительной и мнимой частей записывается в виде 'к~~м-а',)~М-аэ) ыэ « ~~~~ ~ — Ик(2М-а+-О'~-~~~щ~(М-а)=О Тзк как М = ~/К, И = $/К, то при замене К вЂ” ~- К, Р ~ — Р ~-+ 0Р имеем М-э М, М- -И „й)К- УК., следовательно, при такой замене действительная часть не меняется, а мнимая меняет энан.
Но есин прн некоторых К, р, бь действительная и мнимая части обращаются в нуль, то и при -К, -~0, $ ОНВ будут равны нулю, а это значит, что если прж некотором К дисперсионное уравнение имеет корень )3+ ~$, то при — К оно имеет корень — р+ оф. Итак, если кри К<О имеются корни Ы с )пь0) >О,то они обязательно имеются н при Кл0 . Если же пря К>0 их нет, то и при К(О их нет.
Поетсму при Оссй <О+ поток устойчив. Рассмотрим отдельно случаи й, = О и О, = й+ . Корни дисо э персионного уравнения выписываются при этом в явнсм вице. При а.= О.' имеем ц=а,= а', ))а= а,' — ~® /к, ЗтЦ=О, 7тО =-~ф,„ скорости волн й, = 0' и 0', дисперсии кет, амвщтуды не рас- ~ туг, поток устойчив.
При 0 = а' имеем ))„=а.=а,',О,=а'--~-® ЗпьЮ„сО,Ъ~О), =-®,, амплитуда волн, движущихся со скорос- ' тыс О;, не меняется, амплитуда води, движущихся со скоростью а', уменьшается. Поток устойчив. Итак, условие устойчивости однородного потока, опуская индексы "о", можно записать в виде а <а~а, (4,11) ° ан й ~ ~яхтой', а = у+я —,, у= и, * ~ дЧ/ (4.12) мы рассмотрели вопрос об устойчивости русловых потоков, Рассмотрим теперь однородный поток на склоне, Если говорить только об одномерных возмущениях, зависящих только от координаты -72- вдоль скорости потока и от времени, то все выводы о распространении возмущений н поведении их амплитуды, сделанные для русловых потоков, сохраняются при замене Н на Е, В на 1.
Тав кав для неустойчивости достаточно, чтобы были хотя бы вахин-нибудь растущие возмущенна, то при а < а и при а > ат потов на свлоне неустойчив. Чтобы сделать вывод об устойчивости при условии (4.11)„ надо рассмотреть еще поведение двумерных возмущений. 4.3. Примеры условий устойчивости Рассмотрим невоторые частные примеры. Няя одномерного потова жидкости на наклонной поверхности при условии, что для т ения верна формула шезн, имеем а+ = кхс, с=ЯКсие', У(Й)= ~моис/к а='ч~-'6кжы/к = ф ч, поток будет неустойчи~, если а>а+, т.е.
T> ЪС, т.е. Рт >Я . Используя явные выражения для ~", С, можно п1мвестя условие неустойчивости и влгу ср> Чк (4.13) Итав, потов на яаилонной плоскости неустойчив при относительно большом унлоне илн относительно мазом возффицненте тренин. На правтиве действительно при большом уялоне и гладяом дне вместо однородного потова при неизменных внешних условиях вознизает потея с тав называемыми натящивмся воляамн.
3ти волны исчезают, если сделать дно более шероховатым. Лля иотонов видяостей в руслах и каналах и и использовании форюуяы Нези для трения всегда имеем ч'= у йылх/К, где К яозффициент трения, К вЂ” гидравлический радиус. В частности, для канала прямоугольного сечения иириной В имеем 5 = йВ , К = 5/(3+23/В), позтсму условие устойчивое~и имеет янд -и — < (1+2Р) = (1+2В) Если нужно, чтобы в навале был устойчив потов любой глубины то должно быть 1р< Чк Юля канала треугольного поперечного сечения, в котором углы навлона бортов в горизонту равны Ч," и Я,, имеем Я = ~" (С~~„+Й~~ь) - 73— условие устойчивости вмеет ввд Щ ~ (~ з(п.<~> -~ 5(я.~у» К Й»®+ щ») дия сиыметржчяого канала, когда <Р, = (Р» — ~р ~®И ~ 1С К С~У~ , сто условие есть Лия потоков в каналах треугоаьяого сечеаия условие устойчивости макао записать такие в виде И.< ЧС 5 ~МЫ-У ~1+ 3/В ) К ( В+ 2Б/В) при Ь4 6» условие устойчивости при Ь.
<.уь,» имеет вяд 1 с( — )И вЂ” й~ИЩ+ЧВ)/В йК ) (1+ 2Е/б)'/» (1р-)и - р. Ь/В)'®» которое сразу получается из усяовия О, ы. Й~, потому что и+-и+с 'М(-З.Х а= ~Ч и в одяороды<м потоке и;-Ч. 35чя~ч Рассмотркм теперь потоки сыпучих сред, в которах треаие складывается из гидравлического и сухого. Пусть вмеется поток яа иироксм одяородяом склоке с закояом трения (1.26). Он будет устойчив яо отяоаеыкю к одномерным возмуаекиям, если »И ЧК > 1у~-Р, 9К > й, $ус — )И Ь» при Е<Е» и Е>Еь соответственао.
Оба ети иеравеыства выпсиаяются для всех Е, если цк > Еу»м(~уК-Р3 ' Лия потока такой среды в капала црямоугаиьяого сечевая З 5. Струитура нинематических разрыноэ 5.1. постанонна задачи о структуре разрыва При использовании уравнений, выведенных пря вполне определенных предположениях о величине масштабов 1, Т описываемых язлеэий, в решениях иногда поянляются области резкого изменения параметров с масштабами о„, Т~, много меньшими, чем 1, 'Г В этих областях исходные уравнения неприменимы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
