М.Э. Эглит - Неустановившиеся движения в руслах и на склонах (1132337), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Полученное услогие не дает в данном случае ничего нового по сравнению с тем, что следует дкя скачков в потоках на поверхностях из услоиаИ эволюционности. Однако в обмен случае лля русел произвольной формы услозия эволюционности и невозрастэняя потоке механической энергии (неубывания внутренней энергии) являотся неэазисимиа1.
Прк построении конкретных решенкИ должно посверяться кыполненив всех этих услоьий. В,<з-и,)= З,Э 5,й иь = 9, 'Р,' (2.25) Здесь индевсом „ т отмечены эеэичкны для снежного покрова перед фронтом, индексом „ 2" — для лавинного потока на фронте Й ЧксрзетЬ |рцата, Ф ОВРЕдЕЛяЕЗСЗ ООЫЧВОК фОРМУФй с =~УСЕар -"сМ л ~ь гю.ь ш з У»= УЕйь), а ~, характеризует сопротивлекие снежного покрова набегающему лаэинноыу потоку; естественно предполагать, что оно больые, чем сопротивление, которое оказывал бы соответствующий слой жидкости, )М (2.26) с процесое движения лавины эниз по склону скорость фронта и скоРость потока на фронте направлены одинаково, Й > 0 прк ыь > 8 к из ~2.25) видно, что должно быть О> Ж"' В иь 51> 51 .)Ъ> УХ (2.27) Рассмотрим условия звовюпионности фронтов, Удя которых эы" полня ются соотношения (2.25)-(2.27).
Тав нак Х) > ~~ь , то к недавно 3 > йь — Сь, то есть в области за фрОнтом всегда кыеется одна уходящая характеристика. Условие звслюцнонности тогда требует, чтобы вторая характеристика за фронтсм была прихоляЧей, то есть чтобы было Й < Ы + С . Последнее неравенство с помощью (2.25) может быть записано в виде ~2.28) В занлючение рассмотрим скачки, представляющие собой передние фронты снежных лавки.
Обычно на склоне впереди лавины лежит снежный покров, который при прохождении лавины целиком или частично ззхватываетсн ею. Эахэат лавиной впереди лежащего снег~ происходят в узкой зоне вблкзи переднего фронта, и всю зту зону можно мовелировать скачком, по одну сторону которого - впереди — лежит незарушенный снежный псвров, а по другую — сзади — имеется турбулентный снежный потов, который эо маогих отношениях ведет себя как поток жидкости. Условия сохранения массы и импульса на таком скачке вля одномерного лавинного потопа на широком склоне выписывались выше (условия (2.17)).
5 более общем случае движения лавины по лотку (Руслу) они имеют вид где, как и раньше, .й = 11'Б . при заданных 5», и 'Р, нера- венство (2.28) определяет значения .Й», для которых фронт яв- лнется эволюционным. Результаты становятсн наглядными с помощью графэпа функция Р(.й) (рис.11). Иадо сравнить углы наклона в оси Л. прямой, проходящей через точки Л, , ~ и .Й» , Я„ и касательной к 3'(Й) в точке Л.» у ф~ э' й Я, Д Рис. 11 ~2 ( а') Я) Я Й (с) Я 3. Крупномасштабные явления 3.1. Ием определяется масштаб явленин Если известно, что масштабы явления удовлетворяют неравеяствам (1.28), то зто явление можно описывать более простыьпт, чем полные уравнения гидравлики, уравненипж кнпематичесвих волн (1.31) или (1.32).
Бо многих случаях масштаб явления определяется цасштабоы внешних условий, который, конечно, известен. Однако — 38- Е лотках с — „> О (например, в лотках трапецоидального в" Т сечения, а такие йа широких склонах) при 3", > 'У(3,) зволюционнмзи являются все фронты с -Й»<.й,, т.е. 5»>5, (рис.11а); в лотках с — < О (см.
рис.7) — лишь фронты, удоклетворюсс»х в ъл.» щие дополнительно условию Й» > .Йу, т.е, 5» < Яу, где через Лу обозначено значение Л в точке, в которой касательная, проьеденная из точви ')»+ .Г1„к кривой 'У(Я), касается 1 9(»с) (рис.11В ). Если русло таково, что 1'-~„- при некоторых .й. меняет знак, то получается, вообще го~зря, несколько интервалов значений .Й.» , соответству~сщих эволюционным фронтаы, которые легко указать с помощью графика У(Л) (рис.11с). Па рис.11а, В,с жкрнымя линиями отмечены участки графика У(-с'-) определяющие Х'» к )>(.2») , для которых фронты эвоюсцнонны и дополнительно удовлетворяют неравенствам с2.27). ето ие всегда так.
Пусть, например, ыы имеем бесконечно длинвый однородный канал и все виешние условия ие меняются, т.е . внешвие масштабы длины и эремени равкы ою . Течение в таком канале не обязательно тоже имеет бесконечно большой характерный масштаб, т.е. представляет собой однородный потов. Если уклон к шероховатость дна канала таковы, что однородный поток неустойчив, возникает поток с так называемыми катящимися волкеэи с продольяым масштабом порядка нескольких глубин. Позтому при обращении к уравнениям крупномасштабного приближевия нужно, вообще говоря, проверять, является лк течение с медленно меняющимися параметраьс~ устойчивмч. 3.2.
Приведевие системы уравнений вииематических волн к одному диффереицкальяому уравнению Рассмотрим подробнее уравнеяия крупномаштабяого движения по склону (1.31). Трением на верхней поверхности потока пренебрежем, считая, что оно мало по сьавяенвю с треяиеы о дно. Ееличкку Т/Р)ь , описывающую трение о дво, учитывая, что -Т направлена противоположно скорости потока, будем записывать э виде — = ~ (х,~, и,)т,)ь) Р (3.1) здесь через Р обозначен вектор среднел по глубине скорости, 0., Р— его компоненты. Тогда уравнения (1.31) примут вид ри~а е — ~ йг = О откуда видно, что среда двииетоя по лавиюч наибольшего спуска: р Щ~~ Е ц.-плср ы = Щ~6 СгбО (3.2) С помощью соотношений (3.2) можно представить Ы и ТГ как 4ункдии "'С , ~ , ~ .
Обозяочюч зтд Функ!пи: через Чж ( ж, у и) и Чу(ю,~,)ь) и=Ч (Х,у,Е), Ы.аЪ'„(Х,у,~3, ~у~= Ч„'~~6 (3.3) боотношеккя (3 3) заменя!ст уравнения лвгкекгя Подставляя их в уравненге серазрыгкости, получаем одко квазилкнейкое уравнение для Е,(х, ф,'ьу Задача сводится к интегированпс уравнения (3.4), после чего и и и находятся из (3,3).
У. яення (1.32) для движений в руслах сводятся к одному диФФеренциальному уравнению для о (х,е) . действительно, из второго уравнения (1.32) можно найти й. как функцию 3 , Ж и= Ч(З,Х) (3.5) Подставляя (3,5) э первое уравнение (1.32), получим Я ЯЧ Я (Я~ Ъ~ 'М Гх ~ тх)з= (3.6) Заметим, что задачу нахождения крупномасштабного движения по склону, используя то, что движение происходит по линиям наибал1 щего спуска, также можно свести к квазиодномерной следующим образом. Разобьем весь склон линиями наибольшего спуска на полоски. Ширина каждой полоски 5 — нзэестная йункцяя координаты вдоль полоски. Весь поток представляется как соэовупность потоков, движущихся внутри этих полосок. Двикение внутри полоски можно представлять как двикение э канале прямоугольного сечения переменной ширины ( и описать ураэненияза (3.5), (3.6), в которых Я = Й.Б с той оговоркой, что учитывается только трение о дко, но не о боковые стенки "канева".
Между собой зти отдельные потоки могут ова. заться сэязаннымк только через граничные условии. З.З. Распространение малых крупномасштабных возмущений однородного потока в однородном русле Рассюотрим распространение малых крупномасштабных возмущений (длинных волн малой амплитуды) однородного потона в однородном русле (когда функция 'ч не зависит явно от Х ). Как обычно, представляеы решеяке э энде Я = Я, + Я , 5, -„ площадь сечения невозмущенного однородного потока, и считаем 5 малой вместе с производными.
Обозначим через СЬ (Я) величину сЗУ . уравнение (3.6) дает -52- где ((,= и (5) . Решение этого уравнения есть 5 = 5 (х-а.й) Оно представляет собой волну, движущуюся без изменения формы со л скоростью О, Если в момент с= О задано 5 = ~Р(х), то решение дается формулой л 5 = 'т" (х-мой) Итак, крупномасштабные волны малой амплитуды распространяются по однородному потоку без изменения формы со сяоростью — = ч. ° з.ф = и. ~.Д+ ь 3.4. Характеристики. Простые волны Вернемся к нелинейному уравнению (ЗА).
Видно, что оно имеет характеристическую форму. Уравнение характеристик еоть — =а= — =)Г+Б— с(7с Ъ М 'Ы~ ~К В5 (3.7) Величина О является скоростью характеристик. Уравнение (3.8) говорит, что вдоль характеристик (3.7) выполняется соотношение (3.8) Если функция к' не зависит явно от ю , а это имеет место, если форма и уклон русла, а также закон и коэффициенты трения постоянны вдоль оси (такое русло будем называть однородным), то вдоль характеристик будет о = ссязс ° поэтому и Ч = ссяь( , т.е. а =сспьь , характеристики оказываются прямыми линиями. В этом случае уравнении характеристик имеют вид х-а1 = ссаЛ (3.9) тзк как Я=совФ пока ю- аВ=сспз(, то 8=8(х-ав), и='ч'(5) = и.(х-аФ) (3.10) Отметим, что в (3.1О) б(.= ув- зависит от Я .
Решение, оп- 35М ределяемое формулами (3.9), (3.1О) мокно назвать простой волной в силу аыалогии с простымн волнами, рассматривавшимися в 3 2. 4х 1782 - 53- Итак, вясное непрерывное движение в однородном русле есть либо однородный поток, либо простая волна, либо их комбинацкя (согласно определению простой волны однородный поток тоже является простой волной). Конкретный вид решенкя определяется началь. ныыи и граничными условиями. Пусть, например, при с = 0 задано Я = ~у(М,) . уравнение характеристики, проходящеМ через точку т=б, х=х,, есть к-п(5)с=ус,, гричем вдоль нее 5 равняе .. тому значению, воторое было в точке х, при Ь=О. Поэтому если характеристики не пересекаются друг с другом, то соотнощенкя можно рассматривать как реюение задачи в параметркческой форме . Ксключан отсюда х, , можно найти 5 нак функцкю Ж , Ф Б реальных задачах часто можно считать двину зоны начального эозмущониг.
малой с точки зрения больщкх масатабов, эозникающвх че. рез большое время, и этой длиноМ пренебрегать. Тогда все характеристики, выходящие из зоны начальных возмущений, проходят через одну точку, заменюощую собой всю зону начального возмущения, например, х, = 0 , и если ови не накладываются друг на друга, то ревение в области, занктой этими характеристккаык, определяется. Оно называется центрированной простой волной и находится из формулы 0,(8) = .~- . На рис.12а изобракены характеристики для простой волны с конечной зоной начального возмущения, а на рис.12 6 схематизация в виде центрированной простой волны.
(а) Ркс. 12 Качестэенное поведение решения зависит от энда функции бь(з). О неко ясно, что если й(З)т семьей, то эсегда можно указать такие начальные распределения Я , что соответствующая им волна -34- ,: дет опрокидываться. рассмотрим, например, поток воды на одно.,Рдноы склоне прк условии, что движение можно счытать одномерным, трение определяется законом ризи T= К~~55, к = сспь+ уравнение движения для крупномасштабного приближения имеет в этом схзчае ннд ~55к с1 — К вЂ” = О И.ь Р. поэтому следовательно, скорость волны больше скорсстк течения, а скорость характеристик увеличивается с увеличением глубины. Поведение волзы н поведение характеристик аналогично поведению простои волны в кслвсмасштабном движении, гоказанном на рис.6. Волна повышения 1ровня становится по мере продвижения все круче и короче.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
