М.Э. Эглит - Неустановившиеся движения в руслах и на склонах (1132337), страница 10
Текст из файла (страница 10)
ьч Ряс. 15 аа. З'5Ч, рассмотрим русла и среды, для которых 3 = —,'> О, Тогда условне (3.14) выполняется только, еслк Б >Б, (3.15) ясли еще и †, > О , а для потоков воды к многих другжх сред сУ зто тек, то а>'К, позтому й>С.~ >У~, сторона "1" является передней к скачок, удовлетворяющий (3.15), есть скачок повывезия уровня. Итак, если русло и среда таковы, что (3.16) — 61— и задача о структуре раврыва имеет решение для любых 5~ „5ь связанных только условием (3.12), то возможны только винематическне сначни повышения уровня; скачки понижения уровня невозможны.
Если не выполнено хотя бы одно из перечисленных условий, то такого вывода сделать нельзя. 3.9. Применение теории клнематических волн для описания движения снежной лавины В заюпаченне рассмотрим пример: применение теории нинематических волн для описания движения снежной лавины. Лавина есть турбулентный поток, причем уже через очень небольшое время после начала движения длина лавины становится обычно на рескольно порядков оольше тв шины потока, и для лавины из вомпантного плотного снега отношение длины к толщине при двииеяпн увеличивается. Поэтому для описания лавин из компактного снега можно применить уравнения гидравлики.
надо только учесть, что трение не является тольно гидравлическим, лавина может остановиться на наялонном склоне, а это значит, что имеется трение, определяемое не скоростью, так называемое сухое. Кроме того, в отличие от обычной гидравлики, граница, отделяющая движущуюся среду (лавину) от еще пе пришедшей в движение (снежного покрова на склоне впереди лавины) есть граница, разделяющая среды с разными свойствами: в покоящемся снежном поврове уравнения гидравлики не верны. Рассмотри простейшую задачу — об одномерном джженин по широкому однородному склону.
Если склон тазов, что поток с медленно меняющимися параметрами на неп устойчив, то естественно предположить, что чере з достаточно большое (практически - чере з несколько сенунд) время после начала движения для описания движения всюду, кроме, может быть, уазой зоны непосредственно за фронтом, можно пользоваться уравнениями крупномасштабного приближения.
Лля ве славном крупных лавин заноя трения можно брать в виде т = к р и ~ + )ы. р ~ с~6 А Тогда для крупяомасштабного приближения имеем и" ~ й~ и — К вЂ” Ь( ~ Ссб с( = О то есть и= Ч()ь) = (3.17) -32- цри дэзжензи ланяяа захватывает снег, лежащий на склоне впереди нее. Этот захват прсасходит э зоне перелнего бронте. Условие сохранения массы на переднем Фронте имеет эид ~ь(й)-Ч) = К,Й или й= (3.16) где йМ - толщина слоя снега, захватываемого каниной.
Задним Фронтом потока будем считать линию отрыва; пусть там Х= О, Условия на заднем шронте таковы: Ь.=О, Ц=О при Сб= О (3,19) то, что к=О при Ь.= О, следует из (3,1Т), Для решения задачи нужны еще начальные услоэия. Но так как мы сейчас изучаем дэижвкие через большое время после его начала, когда масштабы стали много больше, чем длина зоны начального возмущения, то можем пренебречь этой дяиаой и считать, что в начальный момент с = О все возмущения сосредоточены в ~очке Х = О, Мы рассматриваем дэикение на однородном склоне. Как мы эндели, оно может представлять собой либо однородный поток, либо простую волну, либо их комбинацию, Услоэия (3.19) показывают, что к заднему фронту в области с > О не может примыкать однородный поток.
Следовательно, к наму примыкает простая волна. В силу того, что длина зоны начального возмущения считается равной нулю, простая волна будет центрированной (см. рис.16). Рис.16. (а), (В) — продольное сечение лавины; (с),(б) - характеристики при крупномасштабном описании -63- Тепврь рассмотрим передний фровт. Предположим, что прм дкяжежк по басковечному однородному склону скорость пзреднего фронта через неяоторое время после начала дзккеякя устаназлкзазтся постоянной, п1жчем временем установления с точки зрения крупномасштабного пркблкжзнкя можно прсиебрзчь. Тогда на плосвости х,А перзднкй фронт изображается прямой Х = И . Ясно, что наклон этой прямой к оси Ж должен быть меньше клк равен наялону крайнзй характеристики з простой волне, как это показано на ркс.16с~ к 16 с .
В первом случае между пзрелнкм фронтом и зоной простой волны возникает однородный поток. Итак, либо ЗО > ЦЗ, лабо Й = Йь . Оь — скорость харзктзркстжк эа скачком. А теперь обратимся н условиям эзолюцнонностя. Колк предполаккть, что из исследования структуры скачна, моделирующего зону перзднего фронта, нз возникает някакях дополяятзльннх условий на этом скачке, крома закона сохранения массы (3.18), то условна эзолюцконностк кмезт мц~ а,>й Тогда ситуация, изображенная на рнс.168, 16 с~ нз может ямвть места, и, следовательно, всэгда а,=й Ксзк это зерно, то й= — =аз= — Ч, сЪЧ2 3 ~ьь Ьо слвдозатвльно, )Ть 3 )"'с й — ~~о (ьць~" )ц.боМ (3,2О) Для центркрованной простой волны, занимающей область Оз Хяйс, уразвзнкя характеристик имеют вкд х — — ЧТ = 0 , причем 3 T= сспм на характеристиках. поэтому всюду в области 0<Х< дрЬ,~ыцы-р.ссс )/Ч Е вм м ~3.21) 3 6 црЫы )кеса) 9д<цяа-)яссзх) Формулы (3.20), ~3.21) дают ревекке задачи, которым можно огранкчкться, если не интересоваться подробностяьи распрздвления параметроз з зона переднего фронта.
Однако, как показывает исследование структуры переднего фронта, которое будет описано в 3 5, - 64- решение (3.20), (3.21) осуществляется не для всех параметров склона и снежного покрова, Иногда оказыэается верным решение вида, увазанного на рис.16ь, 16д., н зто не противоречит условию зволюционности, потому что для этих склоноэ решение, опясывающее структуру переднего фронта, существует лишь прк некотором дополнительном условии, определяющем величину Еь 5 4. Устойчивость потсщов в руслах н на склонах 4.1.
Решение аедачи о развитии малых возмущений однородного потока с учетом окатывающей силы и трения В Я 2 и 3 было показано, что малые мелкомасштабные возмущения в безграничном однородном потоке можно представить в виде суммы двух волн, распространяющихся со скоростнми 0 и й~ без измененяя формы, а малые крупасмесштабные возмущения — э виде волны, распространяющейся также без изменения формы со скоростью О.. Теперь рассмотрим малые возмущения, масштаб которых не является ни достаточно малым, нн достаточно большим. Для описания их поведения надо пользоваться полными уравнениями гидравлики с учетом всех входящих в них членов. Оказывается, что форма и величина таких малых возмущений меняется при нх распространении.
Потов является устойчивым, если первоначально малые возмущения не растут, капова бы ни была их начальная форма. л Рассмотрим движение в однородном русле. Пусть К= Ы, + 0, 3 =5 + Б, где К,=сспй, Яс= сопь4 - скорость и зивов сечение однородного потока в этом русле, а 0. и 8 - малы. Будем использовать обозначения Оь = ВР— 3ЫФ ~ н пренебрегать трением на врехней границе потова, Та = О . В однородном русле ( = ~ (8, К) не зависит от Х . Однородный поток должен удовлетворять уравнениям (1.23), то есть аббас( — ~(3», ((а) = 0 или Яе ='Ч(3о) (4.1) Л л Линеарикшруя систему (1.23), получвм уравнения длн Б, Ц л л Ъ5 ЗЯ + ((о Ъ + ~о Ът ъв йь 1702 Иодставляя М= ~д1, 63= Юь в (4,5), эго корни Я1, СС2, найдем сс1 к ио в=А,— ' КЯс е), — ки.
кб решение для А (~, К), В (1, К) представляется в виде )~-2 Х е" В-2: А ~ '~' е™"1 р~-~ ' я=1 К ~о Велячнны А „, Д ~„ находятся с использованием начальных условий: при ь = 0 значения А и Ь известны. Итак, решение системы ~4.2) есть ь ( кх ыт ~) ь кх Я с) (К)Е" с~К й=~ ~Б ~К)Е Ц я=~ -" ею "'с где С),, о)ь есть корни дясперсионного уравнеяия, а 4,, В, Д~, ~,„вполне определяются начальнмзи условиями. 4.2. Исследование устойчивости однородного потока Формулы (4.7) показывают, что любые малые возмущения однородного потока представляктся суммой Функций вида Г(к) 6'~"х с~э) валдая из которых есть синусоидальная волна с меняющейся во времени амплитудой. Действительно, если обозначить через ~ и $ действительную и мнимую части ОС , то С(к1е~'" Р '~'= ССк)е~'( М-Р~Р+'ь' Ск*-Р~)) Азина волны есть 27С/') К~ , Фазовая скорость есть Р/К Скорость волны Р/ К, вообще говоря, зависит от длины волны, зто называется дисперсией, поэтому и уравнение, определяющее зависимость Ю ~ К) , называется дксперсионнма.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
