М.Э. Эглит - Неустановившиеся движения в руслах и на склонах (1132337), страница 7
Текст из файла (страница 7)
и сссзы ~"/2 - когда речь идет о (2,16), (2.16). Принципкальвая разница с ситуацией в газовой динамике состоит в том, что э газе связь между ~) и р по раз- ные стороны скачка разная, например, р, = А (с„))З» р = ~® д~~ ( б — энтропия, б, » бь ), поэтому точки р„ , р, , р лежат на ударной адиабате, не совпадающей с адкабатой дкя непрерывных процессов.
В гидравлике же связь между У и Я не меняется прг. переходе через скачок, обе "адиабаты" совпадают. Поэтому ке все формулы теории газодинамических скачков имеют ана- логию э гидраэлэке, Иногда при рассмотрении потоков, встречающихся в природе, цриходится рассматривать скачки, по разные стороны которых среда обладает разнмчи свойствами . Например, передний Фронт снежной ла- вини можно представлять себе как фронт, на котором происходит разрушение и вовлечение в движение лежащего на склоке перед лави- ной' снега.
Толщина слоя .э снежком покрове и на фронте лавиыы раз- ная, фронт яэляется скачком. Коли саму лавину описывать уравнени- ями гидравлики, капркмер, как одномерное движение среды по скло- ну, а индекс "1" отнести к неподвижному'снежному покрову, то для переднего фронта лавины условия (2.14) можно представить в виде' П,Х) = )Ь ($-Иь) ~" ~~ И2 ~1 (2.17) ~) если Ỡ— предел прочности на сжатие снега э сзежнсм покрове, а плотность э лавине считается равной плотности снежного покрова. 2.8. Скачки повыыения и понижения уровня Введем понятие передней и задней стороны скачка. Передней стороной назовем сторону, с которой среда поступает э скачок, тогда с задней стороны среда будет уходить от скачка; относительно частиц среды скачок движется э передюсю сторону.
Так, если ось Х напраэлеаа э бторону "1", то независимо от знака Й сторона "1" будет передней, если Й > И~ , т.е. с, = И, — 3 < (), и задней, если Й < И, , 'с, > О . Прп решении задач э гидравлике широко пользуются следующим утверждением (аналог теоремы Пемплена в газовоИ динамике): ка склоках и в руслах, удоглетвояющих условиям (2.10), возможны только такие скачки, с передней стороны которых глубина меньше, чем с задней, т,е.
возможны только скачки повышения уровня, скачков покииения уровня яе может быть. Б руслах, дкя которых зная неравенства (2.10) противоположкый, наоборот, могут существовать тольао скачки понижения уровня. При этом имеется в виду, что поток с обеих сторон скачка описывается уравнениями гидравлики.
Справедливость этого утверждевия вытекает иэ требования эволюционности скачка. Дело в том, что скачок с точки зрения дифференциальных уравнениИ, рассматркваеыых в областях с обеих сторон скачка, является границей, а условия 'на скачке есть граничные условия на этой границе. Чтобы можно было решать задачи, необходимо, чтобы граница была звокюционноИ, т,е, чтобы число граничных условиИ ка яей было равно чисЛу уходящих характЕРистив плюс единица (положевие скачка заранее неизвестно). Что лает условие эвоюсционности? Направим ось Х в сторону движения скачка, тогда Й т 0 , и обозначим цифрой "1" сторону, в которую движется скачов в пространстве (см.
Рис. 9). Ж (а) Рис. 9 Так как для одвомеркого дввжевия условиИ ка скачке только два, то свачок зволюциовен, если только одна из четырех характеристик Ав (по две с каждои стороны) уходит от скачка, а остальные три являются приходящкьм. При В г 0 характеркстики в области справа от скачка (рис.9) являются приходящими, если их скоРость меньше скорости скачка", характеристики слева от скачка приходящие, если их скорость больше скорости свечка. Поэтому если скачок эволюционен, то либо (кис 9ц) 3>и,-С,, Я<и,тс,, В<и,-е,, 95< и,+С„ (2.18) — 45— либо (рис.
86 ) Й>и,+С,, 50>И,-С,, Й И,-С, Й<И,+С,, (2.18) В этих неравенствах использовано, что Яв = И. + С , для русел С~ = Я , для одномерного потока на склоне и дяя потока в канале йрямоугольного сечения сэ = ~Кос>К . Если сторона "1" передняя в данном выше определении, т.е. если скачок и по частицам среды днижется в сторону "1", то Й> и, > и,- с,, Й>иь>И~-Сь неравенства (2.18) не выполняются, а неравенства (2.18) могут выполняться, если еие и1+с1 < Й< Й*+со, т.е.
если ф И,~ь > С,', (Й- И*)' < С с (2.20) если же сторояа "1" задняя, то Й(и,<и,+с, Й<иэсих+сь тогда могут выполняться только неравенства (2.18), в этом случае из зволюционности следует, что И,-С, С Ж< Иь-Сю, т.е. (И,-Й)'<С,", (И,-Й)' >С,' (2.21) Й" и1 Подставляя это в условие сохранения количества движения, получим 5, 5ж У,-У» 5, - 5ь т.е. ~Й И ~ '~(-~ь 51. ~Й И ~ — Я-~ь 51 5, - 51 51 51-ьэ 5ь (2.22) Поэтому неравенства (2.20) записываются в виде ~-~ 5ь,~~~ У, У„5, ~И~ 5, 5,, 51 (С5),, 5 5 5, ~85/, — < (2.23) Таким неравенств Чтобы уь ке (2.14). образом, если "1" - задняя сторона, то просто знак (2.20) меняется на обратный. из неравенств (2.20) или (2.21) получить условия на , выведем сначала 8ормулу для 3 из условия на скачИз условия сохранения массы имеем й и 8,-5ж й Ию= ИА И1 Я 8 1 8ь' 8,5, Введем величину (), обратную площади сечения потока, Д =1/5 и перепашем неравенства (2.23) так: с'У 2'Э~У я ь Рассмотрим ФУнкпжю )э(.(ц ° проиэводнаЯ эц ~ э5 Я с всегда отрицательна.
Предположим, как мы это уже делали, когда заюэмавись явлением опрокидывания простых волн, что с .;Р > () 3 Л.ь (условие (2.10)). Функция 'У(Й) имеет в этом случае вид, изображенный на рнс. 10а (например, для одночерного потока на склоне 9э=~пюия~/х= ~со~а/2.йь , т.к. -2 = б/)ъ ). Гра4ик У(Л.) при в~У < С~ показан на рис.108, Ъ5~ъ У У Рис.
10 Эаметим, что †' ' , ~ — ~ , ( — ~ есть тангенсы углов наклона к оси д. соответственно хорды А В и касательных в точках А и В к кривой 'У(Л) . Все они отрицательны. Из рнс.10 видно, что неравенства (2,24) выполняются при — > 0 'а 'У ИУ. лишь пРи Л.~>Йь, т.е, пРи Бх < Яь (Рнс.10а), а пРи  — у<0 'ьр — при .(1~ < 2.в, т.е. 5~ > ~г , Вх — площадь сечения потока на передней стороне скачка. Так как прн неизменной форме русла увеличение площади сечения происходит только при увеличении глубины, то получается, что в руслах с — > 0 доле э' жно быть Ь, > )ьь , а в руслах с < 0 — М > Н , что вч ЗА~ х и требовалось показать.
Заметим еще, что каково бы ни было русло, скорость скачка относительно частиц двэжущейся среды всегда больше скорости распростРаневна малых воэмУЩений Сх пеРел скачком и меньше скоРости распространения малых возмущений Ся за ннм. Это видно нз неравенств (2.19), В частности, если скачок неподвижен относительно дна, то в (2.19) ЙеО,и<0 Их<Он ~М~/>С, ~ыэ! <Сь — поток перед скачком должен быть сверхкритнческим, а эа ннм - докрнтическим.
неподвижные гидравлические прыжки могут существовать только з сверхкритических потоках. При исследовании скачков з гааовоИ динамика и з других разделах механики сплошных сред сушестненноИ частью является выяснение нопроса о тса, как ведат себя антропия среды при переходе черве скачок. Постулирувтся, что при отсутствии специальных кнвшних воздействиИ нозможны только скачки, которые при прохождении по среде нв уменьшают ее энтропию. Это услохне является независимым от условиИ эволюционности скачка и может принести к дополнительным ограничениям на виды зоэможннх скачков.
В гидравлика аналогом постулата о неубываннн энтропии язляется требование, чтобы поток мвханическоИ энергии (поток кянеткческоИ энергии осредненного движении, потенциальной энергии и поток, сввзанныИ с работой позерхностных сил) не возрастая при переходе через скачок. Ведь в зоне, которую мы моделируем скачком, нэ самом деле происходит турбулентное движение с большой неоднородностью к нерегулярностью, поэтому при прохождении зтоИ зоны тепловая и турбулентная энергия среды (т.е. внутренняя энергия) не убывает, соответстненно, поток мехзншческоИ энергии не возрастает. Рассмотрим для конкретности одномерное движение на склоне.
Обозначиы через У плотность внутренней энергии среды. Написав закон сохранения энергии для контрольного объема, о котором шла речь при выводе услоннИ на скачке, получим С использоваяием уравнения количества дмпкеяня отсхда можно получить Если "1" передняя сторона, то требуетсн, чтобы оыло У*ьЦ Видно, что это тРебованке УдовлетвоРЯетсЯ пРи Къ > Ь , т.е. если скачок является скачком повышения уровня.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
