М.Э. Эглит - Неустановившиеся движения в руслах и на склонах (1132337), страница 4
Текст из файла (страница 4)
З 2. Общие свойства системы уравнений гидравлики З етом параграфе рассматриваются основные свойства и некоторые имеющие принципиальное аначение решении системы уравнений гидравлики. 2.1. Газодянамическая аналогия прежде всего обратим внимание на аналогию с уравнениями газовой дннамики. Уравнения вля меэиомасштабного приближения совпадают по йорма с Уравнениями газовой динамики для адиабатичеоких движений совершенного газа, которые имеют вид М.
+ Ырра= О слг=-Л-у Ар, р= Ар~ ъь > (ф ~> Если в уравнениях для мелкомасштабных движений на салонах (1.29) обозначить 1ь череа ~), а уоых ~Р/2 через «), то они совпадут с уравнениями для двумерных движений газа с У = 2. Уравнения для мелкомасштабных дмпкезий в руслах аналогичвы уравнениям одномерной газовой динамики, роль ~) играет Я, а роль р - величина 9~8), так что соответствующий "газ" имеет в общем случае более сложное уравнение состояния. Укааанная аналогия позволяет перенести результаты газовой.
динамики на гвдравлику мелкомасштабных движений и наоборот, в частности, дает возможность наблюдать многие особенности движений газов, изучан потоки мелкой воды. Количественная аналогия между течениями воды и движенинми газов с большзми скоростнми ве имеет места не только из-за разинцы э "уравнениях состояния", но и в связи с тем, что, кзл будет показано няже, условия на разрывах в гидравлике отличаются по Форме от условий на разрывах в газовой динамике. Заметим, что можно было бы проэести аналогию между Уравнеяинми газовой дянаыизи и полными уравнениями гядраэлики, учитывающими окатывающую силу и тренке. Аналогии имеется, если на газ действуют соответствующие массовые силы, зависящие от плотности и скорости. Наличие таких сил, как мы увидим дальше, может существенно изменить поведение среды.
- 27— 2,2. Уравнения одномерных движений в харантсристичссвой форме Рассмотрим подробнее одномерныв нвустановнвииеся двяжвния в руслах и на склонах. Уравнения дня движений в руслах в обшвм случав можно написать в виде , ~5и 3ф, . ЪЗС вы +и,— + — — — =т ЪИ. ~ ЪФ Ъ5 сх, н сн 'сж (2.1) р~рйч, (щ,( ~ ~рЬК~ Ц~,,пг Для того, чтобы выражвнин в ввадратных свобках были проинводныьи соответственно от Б и К по одному и тому же направлвнию, необходимо, чтобы и+ — '- — = й.+-8 'й9 я 'уй 1Л. то есть -=+ ~ — = + и+д — .
Следовательно, воли — >О Г~ Я ГООйб- э3' .=-~иьин -1 гВ В -28- и, - объемный приток на вдиниьс~ двины русла, Иа,— снорость притвнаюввй среды в направлении оси русла,')'(у,х) = ) ~ш ~й фЦр лгал с' = д .~~ жумб~.~/В, В - ширина потока сверху; яри 'ь'У а')' аЬ т,= ссср с(3 = 8с()ь. Одяомернов движвнив по склону танис описывавтся системой (2.1), в ноторой Я-" ~, К=К,')'н Ю» —, 3 = 1, и р - с я ссбм = ~ Лососе. Ъ5" д Систвма (2,1) макет быть преобрааована к тан называемой характвристичесной форма: вомбинируя два уравнвния (2,1) ° можно получить два невависиыых уравяания, таних, что наидов из ннх содержит производные от Я , И тольао по одному (своему для каждого уравнвния) направлению в влосности Ж , с .
Соответствуюаие направлвния нааываются характеристическими. )(ействитвльно, умножая первое уравнение (2.1) на ь , а второв на пь и снладывая, по- („олная сила давления, действующая на поперечное сечение, возрастает ает с уэеличением его площади), то существуют два различных на, пь, используя ноторые ~~вне ~онуч~~в соответственно уравнения в характеристической Форме: — — — Ф ~~и. 1 ЪУ 3 ЪЭ бт СЦ 'й'5ьЪЬф (2.2) И И:~ + Ы= —. )-Жа+Г ~Б Ы+Н ~5 Б'~ Е ураэнениях (2.2) символ — означает производные по направлес'.
М пням, для которых $=а, = к+Я = ~~~~=,у+я~~в" М Ъ0и — + — =О ЪФ, ЪХ ЪЫ. Ъи ~ ИЬй — + И вЂ” + — — — =0 И ЪХ г ай ЪХ (2.4) -29- Ъ то есть — = — + ((В Ъ знак "+" надо брать ддя первого, а сы зь знак "-" для второго уравнения (2.2). Лижи 'х = хЯ, определяемые раэенстэаьп~ (2.3), есть харавтеристики рассматриваемой системы уравнений (будем их дальие обозначать А + ), (2.3) есть уравнения характеристив, а.сами уравыення в харавтеристической йорме (2.2) называют условиями на характеристиках. Тав кан число различных семейств характеристик оназалось при вХ > О равным Ъ5 числу уравнений системы, то система яэляется гипербсличесвой. Если бы ускорение силы тяжести было направлено не н дну, а в свободной поверхности (потон тяжелой жидвости вдоль потолка), то было бы щ О, действительвыв характеристив яе существовало ЪУ З5 бы, система была бы эллиптической.
При описании мелэомаситабных движений можно ве учитывать (в силу отвосительвой малости рассматриэаемых расстояний) изменения вдоль Х внещнего давления и„ , унлона русла, $ормы и размеров его поперечного сечения, а талие пренебрегать всеми членами уравнений (2.1), (2.2), не содержащими производных по х , с . Это означает, что надо в уравнениях (2.1), (2.2) положить ~( = О , Е -" О и считать, что 9 =')'(й) не зависит явно от Х .
Тогда система (2.1) перейдет в систему Уравнениям (2.2), (2.3) в характеристической барме в этом случае можно придать ннд вдоль — = а б(Х с(4 т,е, 3+ ссай (2.4 ) вдоль — = (( Нх сй т.е. ) = соя~И 1Х вЂ” яаэываются инвариантами Римана. Факт существования характеристик позволяет сделать полезные заключения о том, как правильно ставить задачи и как будет весты себя решение.
Имеется метод численного нахождения решений систем (2.1), основанной на явном введении харантеристик (метод характщ ристин). Рассмотрим кратко идею этого метода. Пусть нужно найти решение задачи кони: известны 5 ( х,Ф = О) , и (х,т"- О) , требуется найти 5(х,т), и(х,й) при 1 > 0 . Рассмотрим на плесь кости х, с каяую-нибудь точку х, ь1 (см. рис.3а). тй и хн хш х гать (в) (с) Рис. 3 (а) Через эту точку проходят две характеристики с наклоном соответс венно 0+ и а, пересекающие ось Х в точках х,, Хь Назовем эти характеристики А~, А . При малых л( их эи но заменить прямыыи х-х, = а, (х,о)бт, х-х =а (х о)б4. Тан КаК йт — буявцнн От Я, и, тО ОНИ В МОМЕНТ с = 0 известны, точки Х,, Хь можно найти. Далее вдоль характериств Д,'., А ~ имеем — 30- с р ~ пьм~Б~~)~ .(,~)- ~„ф ~Г~ то в,с Из последней системы вычисляются 5(х,ь() и (х,с~), 1 ккм путем можно найти о, ц для любых х в момент вэ.
Переход от момента и ~ к 2Ь1 делается аналогично. Решение, таким образом, может быть найдено всюду, если через кавдую точку проходят только одна пара характеристик, т.е. характеристики одного и того же семейства нигде не пересекаются. 2.3, Волновой характер решений одномерных уравнений Рассмотрение метода характеристик показывает, что в любой момент времени область зависимости решений, область влияния начальных данных из конечного интервала, скорость распространения малых возмущений для системы (2.1) конечны. Вействвтельно, ревенве в точке Х в мсаент 1 -1~ зависит только от значений НаЧаЛЬНЫХ ДаННЫХ Ва ОТРЕЗКЕ Хх, Хв, ГДЕ Хх, Хй — ЯООРДнваты точек, где характеристики Аг, Ай, проходящие через рассматрвваемую точку х, 1ь, йересекзют ось Х (Рве.Зс) .
Изменение прн условии сохранения непрерывности начальных данных правее точви ХП и леэее точки Хх не онажет влиЯниЯ на значение ц. в точне Х в момент -~1 . С другой стороны, видно, что область влиЯнил начальных Условий, заДанных на отРезке (хг Хй) )а в момент 1ь ограничена отрезном ~Х,~ Х,Я, где ХВ хр координаты точен пересечения с линией т =1~ крайних характеристик Аг и А, проходящих через точки (хг, с) и (хк б) ' (рвс.Зс1. Следоэательно, любое изменение значений о , и на некотором участке русла, не приводящее к тому, что характеристики начинают пересекаться, будет распространяться, имея правую границу, двнжущуюся со сноростью ц+ ( х,с) , и левую границу, движущуюся со скоростыс ц (х,с) . Такое поведение возмущений соответствует принятому представлению о "волне".
В частности, так ведут себя и малые возмущения. для негиперболичесних оистем скорость распростраяения возмущений в общем случае бесконечна. Сказанное позволяет понять широко известаое в вычислительной математике условие устойчивости Куранта для явных схеы. Пусть система (2.1) заменяется конечноразностной, ЬХ , пт - шаги х , э и используется' схема, в которой значение искомых ФУнвцвй в точке хя в момент 1,„ + б ь вычисдЯетсЯ Явно чеРез — 31- ИХ ЗваЧЕНИЯ В ПРЕДЫДУЩвй МОМЕНТ В тОЧКаХ Хж, Մ— 4Х, Х»+ ЬХ . Условие Куранта заключается в том, что Ь1 должно быть не больше, чем лх,/щ ь, где О.~з — минимальное по всем точиам Х„из значений ~0 ~, ~0+~ . Действительно, если при заданном зх выбрать больший шаг по времени, эелячнщ исномпх щуннпий в точке х„, 1 + лЬ будет в действительном решении зависеть от их значений в точнах, отстоящих от Х» дальше чем на ЛХ; тан нав ето не учитывается схемой, то результат вычислений будет неверным. 2.4.
Распространение малых мелномасштабных возмущений в однородном потопе (2,6) откуда перекрестным дифференцированием можно получить волновые л уравнения для Я и и с Я Ь д"Я вЂ” -с — =о .,ьг ь с дХ~ь— Общее решение этих волновых уравнений имеет, нан извество, вид - 32— Рассмо~рим для примера задачу о распространении малых мелкомасштабных возмущений однородного потова. Кав обычно, решение представляется в виде л л и=и,+и, я=я,+я где и,, Я, — значения скорости и живого сечения первоначального однородного потока (форма и размеры сечения русла считаются л л постоянныац, и., Я вЂ” ыалы. Система (2.4) с учетом малости И,, Я и их производных дает +я — +и.
— =о Я дй, дЯ ЪХ ' дХ +ив+-~=О дй ' ЪХ Я, аХ где введено обоаначение С = Я, Сс= С ~Я~). Введем Х координату в системе ° движущеЙся вместе с потокам со скоростью и, . В координатах х = х- и,т, х~= 1 последние уравнения записываются в виде ВЯ +я —,=Π—,+ -в- — жО ЪЙ дй С дЯ 'д~' о ЪХ ~ дй~ 5а дХ у(х'-с,+') т Ф(х+ст) й= ~,(Х'-(~') ' А (Х'+С ~') „„чем в силу (2.6) 91 и Щ заражаются через 7, Ф ~-+ссп>С 4> =- — ' ф+ сепъФ Во но О физической точки зрения 7(Х'- С С') н Ф (Х'+С 'С) представляют собой эолны, ДвижушнесЯ без изменениЯ фоРмы соответственно впРаво в влево со скоростью С, относительно системы ноординат, перемещающейся со скоростью потова И, .
Следовательно, малые мелнсмасштабные возмущения однородаого потока в русле постоянного поперечного сечения могут быть представлены в ниде суммы двух волн, джжущихся относительно берегов соответственно со скоростяын а+ — и,т С, и 0'= И.-С> . Конкретная форма функций У ф, У,, ф>, нахолнтся, если в начальный момент заданы у и й Если ~И!< С, то есть скорость потока меньше скорости распространения малых возмущений относительно потова, то поток называется довритнчесним или спокойным (в газовой динамике — дозвувовым); если же (м~> С, то потов называется сверхнрнтичесвим или бурным (сверхзвувовым).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
