М.Э. Эглит - Неустановившиеся движения в руслах и на склонах (1132337), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Но уравнения мелкокасытабного приближения, описывающие одномерное движение, когда клина зоны возмущения относительно мала и параметры склона и русла можно считать постоянными, такие решения имеют. Итак, положим в системе (2.4) 5 = 5(~Г), ы= ц (Ч) Ч= У(х,т) ,(Ч (аЧ +„М')+~ (И. аЦ р ~ йт вх(,~ы ъю с' О М + Ы (Ы т И. й~~ = О (2.8) ГзУ" Здесь использовано обозначение С = с — . чтобы система (2,8) имела ненулевые решения Ы- ее определитель должен быть бь бы. д 'Д равен нулю".
Х~ Итан, линии Ч" = со»ЬС должны быть либо харантеристинами А+ либо характеристиками А . Соответственно можно получить два решения, каждое из ноторых является простой волной. Уравнения (2.8) с использованием (2.9) дают с(8 Ы + — — + — =0 Я бт" Вспоив ея обозначения инвариантов Римана 3~ = К '~ э с.~~ г можно переписать последние равенства в виде + () или д.)щ 3+ ссяь1. А'~ Итан, два решения, каждое из которых является простой волной, определяются формулами: 1) либо линии ~= сояьФ есть харантеристини А+ н всюду в потоне 3 = ы.
— ( с К5 = соий .3 Я > 2) либо линии ~у = сокьь есть харахтеристики А и всюду в потоке ~+ = и+ ) — '- эй=сслэт . Рассмотрим, например, простую волну, в ноторой 3 = сонэк = М . Это значит, в частности, что и= М + ~ — А5 = и(5), 3, = М+ 2 ~ З Ы5 = 9, (9), а, = М+Ящз+С =а(З) Обращаясь и исходная системе уравйений, записанной в хараитеристичесной форме (2.4 ), видим, что в любом мелномасштабном движении 3~ = юнэя вдоль характеристики А+ . Вначит в рассматриваемой простой волне, где Э+ = у~ (5), ~доль характеристики Ач имеем Я= оспой, а, следовательно, и б+ = сапы . Поэтому характеристики А~ являются прямыми линиями, их уравнения есть х - а 1 = сэм1 = х. , 'х — координата точки, где характеристика пересекает ось ю (линию Ф О ).
Тан пан семейство линий у = сонь~ совпадает с семейством 4~ , имеем ч = х р,1 и=и(х-а,1) 9=я (х-а,~), Эти формулы показывают, что наждое значение Я и соответствующее ему значение И переносятся без изменения вдоль оси Х со сноростью О.+ , причем так пан сама снорость й+ в общем случае зависит от с , то разные значения Я переносятся с разной сноростью. Следовательно, рассматриваемое решение действительно есть волна, но форма этой волны при перемещении меняется. Конкретно вид решения находятся, если заданы 5 и Ы. при 1 = 0 следующим образом.
Обозначим координаты точек потона при и = О через Х, и пусть при 1 = О известны 9 - 9(т,) и и= Ы(х), причем и = )4 + ~ сдй. Иа харантеристине А~ , проходящей череа ь точкУ х,, величина 5 бУдет 'Равна 5(хч) . следовательно, в точнах характеристик А, юанем Исключая из этих равенств параметр ~, можно найти зависимость 5(х,с) всюду в области, занятой характеристиками А+ . Пусть, например, йуннция 5 (х,) задана в виде, изображенном яа рис.ба, а и~х)>С. .~ $ л, ж лэ х Рис.
6 Стрелками на рис. ба, э изображены снорости ц+ перемеще-, ния в пространстве соответствующих значений о . Тзв кан Й~> К, в волну попадают все новые частицы среды спереди. часть волны между точкаьм Х,, Хэ ыожет быть названа волной повышения уровая (прш прохождении этой волны по частицам среды живое сечение потока 5 увеличивается, а тан ваэ йорма русла считается неизменной, это означает повышение уровни). Соответственно часть волны между точками ж,, Хь есть волна понижения уровяя. Изменение Формы волны в процессе ее движения определяется зависимостью О+ от 5 .
В рассматриваемой простой волне цт = ш+с=мт)эльзас поэтому Ы.а+ С дб С ~ Ъ"У ~ УУ Х. т + — — = Ли ф,5 5 дэ 5 ХС В5э 2Г5" 'дЛэ ' >О т.е. — ) —— ЪФ 'сС С 'э5 Я ~2.10) то Я+ > О, то есть больше значения Я переносятся в простоя волне с большей скоростью. В этом случае волна повышения уровня становится по мере продвижения все круче, а волна поынжения уровня все положе. С течением времени решение может приобрести форму, изобраяенную на рис. 6 ~. Это явление называется опрокидыванием волны. На рис.
ос показаны характеристики А+ . Характеристики, выходяшие из точек оси х , расположенных между л Х -39- при уэеличевия х сближаются, а потом и пересекаются. Яэлвэие опрокидыэаякя волн можно наблюдать на морском пляже, При выходе яа мелководье передняя часть волн становится все круче и эоляы (хотя и нв всегда) опрокидываются. Тенденция к опрокидыэа нию праэильно описывается уравяеккяши мелкой воды. Однако, тал кек волна повышения уровня станоэится по мере продвижения эсе круче (точки И„ и Из сближаются), то для нее со эременем накипает нарушаться услоэие ) » 6.
, прк котором эыэодятся уравнения гкдравюлки, поэтому применять их для колячестэеняого описания яэленин опрокидывания нельзя. Наметим еще, что если бы величина Ое убывала с ростом Я т.е. было бы и†( — — , то опрокидыэалвсь бы волна пояаженин, а ъс с юз не поэышвния уровня. Для склояовых потоков 5=я, с=упсссм, — С ЛОусловие (2.10) эыполяяется, — т >О . для русловых йотокоэ р, а значит и С, зависят от формы сечения русла. ь!агут существовать русла, э которых ~'~; <О, т,е. Зс <О г., более того, для простой волны ~' сО . Последнее неравенэ ~ ~-~~ с с=,Г~Б 57в ~с.
иеа ВН.5- 5КВ Ъс Ью ) при ссВ )3Вс~5/Я . Б руслах, для которых с1В = ЗВАЛ/~, простая волна распространяется без искажения формы, так как Как выглядит тапсе русло? Найдем его ширину как функцию глубины. Нз условия бВ = 3ВА5/5 находим В=к, Яу я=ссяьФ= с". чз' Учитывая, что сааб= Вес, имеем а — У = й Нэ Эо о'. с (3.11) Й-Д,~Щ~5, (~-И,(~-~г5)М где 3,, с. — площадь сечения потока и его ширина поэерху при й=п, й,йЕчп,+ ~ .Пример такого русла показан на ряс. 7. О Рхс. 7 — 40- Б русле, в котором ширина потопа поверху при увеличении глубины увеличивается сильнее, чем по закону (2.П), т.е.
д5 > т, Ьз , будет опрокидываться волна понижения уровня. д.4ъ 2.7. 1идравлические скачки. условия, связывающие параметры потока по разные стропы скачка Рассмотренный пример показывает, что даже если начальные данные удовлетворяют условию Ь » й, , в дальнейшем в решении могут появляться области, где его услолке нарушается, т.е. где параметры потока меняются сильно на мальсс расстояниях. Дня нахождения решения в этих областях нужно пользоваться более точнымк ураэнениями, чем уравнения гидравлики, учитывающими большие скорости и ускорения, перпендикулярные к дну. Однако часто движение эсюду вне узких зон резкого иаменения параметров можно правильно найти, не рассматривая движение внутри этих зон, а заменяя их поверхностями разрыва.
Поверхности разрыва должны только удовлетворять условиям, следующим из законов со хранения массы и импульса, на которых основаны и дифференциальные уравнения п(К- равлики. Указанный подход применяется и в других областях механики: если в явлении имеются зовы с разными характерными масштабами ~,, Лх, причем Ьь<ч'Ьл, то можно либо пользоваться в разных зонах разнььж системами уравнений, соответствующими разным масштабам, либо, встав на точку зрении большого масштаба ~„,, заменять зоны с малым масштабом Ьь разрывом параметров, причем на етом разрыве должны выполняться интегральные законы, соответствующие дифференпнальным уравнениям для явлений с большим масштабом.
Явления резвого изменения уровня часто наблюдаются в реаль- ных потоках. й гидраэлике они называются гидравлическими прьшва- ми или борами. Термин "гидравлический прыжок" обычно использу- ется, если скачок уровня неподвижен относительно дна, а бор— если этот скачон днижется. Боры иногда возникают в устьях рек, впадающих в море, во время прилива, когда морская вода начинает двигаться против течения. Ых можно наблюдать в бобом ручейке ° если внезапно перегородить его заслонкой. Выведем условия, которые должны связывать параметры потова по разные стороны разрыва э силу законов сохранения массы и вюпульса. Рассмотрим поток в русле. Пусть форма русла и внешнее давление меняются непрерывно, а параметры потока о и У. в некотором сечены меняются скачком, причем этот скачок вообще говоря перемещается относительно дна со скоростью Й .
Сначала — 41— рассмотрим явление з системе ноорлднат, движущейся равномерно со скоростью, совпадающей со скоростью слачна в данный момент времени, так что скачок можно относительно этой системы считать неподюъжным в течение по крайней мере малого промежутна времени. Скорость потока относительно подвижной системы есть !Г= ~.-й Рассмотрим н онтрольный объем, аналогичный ис яользовавшемуся при выводе ди43ференцннльных уравнений руслозого потова в й 1„ т.е. ограниченный двумя близкими поперечными сечениями Х ъ и Х , отстоящими от скачка на малое расстояние 6' (см.
рис.8). Ршс.8. Продольное сечение нотона со сначком уровня Обозначим параметры потова при приближении к скачку со стороны "1" через Бъ , и; Ц, - Й , а со стороны "2" — через 5» Ы' = ц В . Закон сохранения массы для рассматриваемого контрольного объема дает (рЯ,Вт р5ъВ) шрБьн'ь-й" ~ер~ + ОЮ съ Отсюда при 6' -' О получаем оь оь = ох ох Запишем теперь закон сохранения количества движения: л ~ а Ъй ~ (~5» р~; + Р5зУрь) = ~5ь"ь - ~5 %~ + Я~х. + ЯФ6 + Аьх, +~хьок + фТа ф ~ + ФТа+ф) б + ~Яылш (о 5~ + о 5ь) т о (8) <2 12) е л Здесь У,», Уь~, - проекции на ось сь сил, действующих на объем по попеРечным сеченинм Е, , х.ь , а Фц - пРоекЦиЯ на ось ~б внешнего давления на верхней границе объема.
Будам, нак и раньше, пользоватьсн обозначениями Ф„ ~ (~-р ) ~б Я~ъ 3 $ ( ~,УН ь = р ~ р Р~~~ тогда ~~х+'ж~.ъ т Фах = ~я~+А' л -42- малые поря~ма о . при 8 0 равенство (2.12) дает (2.13) Возвращаясь к неподвижной системе координат и используя обозначение Я= 8ъЬ; = БъЮ~; можно написать условия на гидравлическом скачке(прыжке или боре) в анде Я (ы -й) = 5з(и — 33=а а(и, и,)= У, У„, (2.14) Если по обе стороны скачка выполняются предположения гидравлики, т.е. р = рс — )~Дым(Ь-Л), то в(5) Р(ч)с ~ ~а(Ь(у) й)И~, У,=У(Е~, У,сУР~ о Проведенный вывод услоний на скачке годятся и для одномерного потока на снлоне, если в качестве контрольного объема рассматривать полоску единичвой щирины между поперечяымн сечениями 2,, и Хь ..
услоняя на скачке в этси случае таковы )ь,(и,-й) = Нь(и„-уу) = ы ()(ы (( ) $щА ()ь» )(ь) (2.15) 'можно рассматривать скачки и для двумервых движений ва склонах. Применяя звконы сохранения для малого объема, содержащего внут1м себя часть сечения, где параметры меняются скачком, будем иметь ),, (П.„„- ))) = ) „(,П„- П) о,(~г„-и.,) = 3~(),'-© (2.1Б) отт = Уть где По Кс - проекции скорости на нормаль и касательную к скачку. Последнее из условий (2.16) получается потому, что в гидравлике пренебрегается трением на площадках, перпенднкулярных н дну, - 43- Эаметим, что условия (2.14), (2.15), (2.16) совпадают по форме с соответствующими условиями э газовой динамике, если в последних под плотностью () и давлением р понимать 5 и У когда речь идет о (2,14), я.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
