М.Э. Эглит - Неустановившиеся движения в руслах и на склонах (1132337), страница 2
Текст из файла (страница 2)
ЪТхх Т:сх сТхз Тхй ЪТзгх / ЬТх~ и. И'~Х с.'вх/ йй и т.д. В результате уравнения движения в векторном виде записываются тан р~ - ~уха~> + Π— Оу боб с~ + 'Зр 3 Тнз Я. и л Удобно ввести вместо )) величину ~> = ~ 6'.Твз . При етом в уравнениях в проенциях на оси х , ы можно просто зал менить р на б ; понвляющиеся в точной вынладне добавочные члены Вувь ЗТть малы по сравнению с ЗТхв , 'Ейй и ЪХ дф дй могут быть отброшены. Итак, упрощенная система уравнений движения может быть записана в виде (зная ж" над ф отбрасываем) б Й~х — бл~иъс[ Ссб  — Ж 'Злу Рт =Р3 Зх ЗЯ (у „, „, 8 эр,,ат~ ~(ж ай ай (1.3 ) динамические граничные условия (1.Я тавже можно упростить, учитывая, что А~ .
)~- , ~®"- ~ . Тогда получатся соотношения (ыд р и здесь понимается р ) т.е. турбулентные напряжения Т„ , Ту на нлощадкех, перпенди- кулярных к дну, в них не входят. Уравнение движения в проевцши на ось л , если пренебречь малой величиной )з * по сравне- нию с о ~ босс~, дает Наконец, предположение й, применяемое прм выводе уравнеявй гвдраввикв, состоят в том, что трение на гранэцах среды считается Известной иэ экспериментов функцией средней скорости, глубины потока и шероховатости дна.
Теперь проведем интегрврованве системы (1.2), (1.3 ) по Интегрирование уравяеявя (1.2) дает Л (~„) ф — ~~~н-® ~~ (() -® с й Лчх йы С учетом вжнематвчесвих условий (1.4) и определения средней сво- РОСТИ Ц,х — '!Ф К% У=1(5КХ о 0 будем вжать (1.6) Это уравнение будем даляне также наэывать уравнением нераэрывяоств.
Оно является одним иэ основных уравнений гвдравлвви. При его выводе не испольэовалвсь предположения 1-Ш, оно верно для любых непрерывных дввжений, если нет потока массы череэ гранвцы. Рассмот)мм теперь пер се уравнение движения 11.3 '). Для его левой части можно, исполь ~я уравнение 11.2), написать 42Г а ( МГк Мг 3 Ухряв Ъэсх оэ ) ) ~'~ й' В~ 'эй ~ Производя аналогичные дейсткия со нторым уравнением движения (1.3 ), будем иметь л эУ 'ь)5 Ч эу )5 М вЂ” ООЬ5ЫЧП5ЫЧ 9 ра 5~ ~ау Обратимся теперь к третьему уравнению системы (1.3 ), Интегрируя его с использованием (1.6'), получим Р = Р„+ Рубабс5 (Ь-У.) (1.8) У = ~с(сх т поэтому гидравлические уравнения движения получаются следующими: )3 — - ~)~5МЪсс ббб 1,(, =Л )5В~ Ы О с 5'дс( 55ю.9 — — Иф — — — — -~'- — 4— Ь )5 Ь Т Т ( ) Вместе с уравнением неразрывности (1.6) уравявния (1.9) образуют замкнутую систему, если имеются еще формулы, ныражающие 'Гж 'Ц~х,, 'Т~ , Тс.ч черве 55 , 1Г , ~.
; давление ))< внешней среды при этом предполагается заданным, Вводи эвктоРы о = Ц.Т + )Ц ,Т =Т„ 5 + ьч,), Т = 1сжьт'~зф можно переписать систему (1.6), (1.9) в векторном виде: ЪФ тй) И=0 М5з Р~~Г -Х- ~МЬ-Ы~ - .-Т='а (1'18) — 12 т.е. по нормали к дну "давление" распределено по гидростатическому закону. формула (1.8) составляет основу гидравлики. Во многих случаях она подтверждается непосредственными измерениныи в потоках.
При использовании формулы (1.8) будем иметь )ь Сйс5. — единичный вектор, касательный к линиям наибольшего спуска на дне, операции Йу' и ~чхМ. берутся на поверхности, образующей дно. Сделаем замечание относительно ~а . Вообще гоэоря, изучаемый нами поток в свою очередь действует на внешнюю среду, вызыэая ее дюзжение. Поэтому в действительности ~„ - заранее нензэестная величина, и чтобы решать задачу, нужно включать добавочные уравнения, описывающие движение окружающей среды.
Однако обычно применяют приближенный подход, задавая каким-либо образом движение окружающей среды и распределение давления Ра э ней. Во многих случаях можне считать, что Р = ани1 , тогда ра. не входит э уравнения (1 .1Ш . Однако, если плотность потока сравнима с плотностью окружающей среды, то дакв если нв учитыэать движение среды, изменение гидростатического давления э ней по пути потока оказывавтсн одного порядка с изменением давления э потоке. Проведем соответстэюсщие вычисления, Обозначим плотность окружающей среды через О = сопхО , а даэлвние в ней через р , и будем считать, что окружающая'среда не движется.
Тогда ~тхГЫР = ~О„~ где ~ — вектор ускорения силы тяжести, т.в. -и- = ~о~ ~ыьщбм8 > -Р =а~ыьщй "4~н > -~ — с-Яа~еобй ЪХ= " дй Так как О = р (Х,у й=~(х,у 6)) то ъра — l Ф +ъ~ ъй 1 =р уыпшссбв + (-р особ,()М Ъ.,О =~~ЪХ ЪЬ ЪХГ, П вЂ” а д ЪХ Ца lй + ЪК М =п„пыашып9 -р,абсбсь4~ Позтсеау уравнения (1.1О) можно переписать в эидв — т с((н'ЕЮ'= О М р~ =(у р„~р й-~у ~~~ —,' — ' РаЯ" 9'"'~- — 13- Уравнения (1.11) применнются, когда плотность среды в потоке кмеет порядок плотности окружающей среды, напрммер, для описания потока соленой воды внутри пресной нли наоборот (такие потони имеются в местах впадения рек в моря), для описания двшжения струи теплой воды внутри холодной (прн выпуске промышленной воды в озеро), дкя описания движения пылевого потока в атмосйере (пылевые бури, лавины из снежной пыли) и т.д.
Если же Рщ «р, то величиной )), пренебрегают н получаются уравнения Ь), (( Ы=0 'И (1.12) КОТОРЫЕ ИМЕЮТ МзотО ПРИ ))а — 0СЛЬС . ИМЕННО Зтн УРаВНЕНИЯ бУДУт в основном использоваться н дальнейшем тексте. 1.3. Уравнения гидравлики второго пркблякения (уравнения Буссинеска) Уравнения (1.10) можно называть уравненная гидравливи перного приближении, так как они написаны с точностью до членов по-. рядка Ь. Ь ф~СС)сС 'ЙЪ б О А и ЪХ 3то обстоятельство связано, в частности, с тем, что при вычислении распределения давления по нормальной н дну координате Я из третьего уравнении движения (1.3) было выброшено ускорение имеющее порядок .
Если учесть в первом приближении уснорение я, ь по нормали к дну, то в уравнения (1.10) будут входить добавочные члены, имеющие порядок с ( — ". )ь . соответствующие уравнения втоь рого приближения называют уравнениями Буссинеска (если в них к тому же отброшены члены, описывающие трение), в то время вак уравнения первого приближения называют уравнениями Сен-Венана. При выводе уравнений Буссинеска уравнение длн распределения по координате Б берется в виде 4- = -Ц~СМс~. —,3 (в ЬХ И.
причем для величины ограничиваются первым приближением Й~~ ~Ы ???"~ = А (х,у,+) Х , Тогда ~ь уз ()а+))дсоэс(()ь ~) + г" ь ~>~ ~ьз ) =~а з а уравнении гидравлики приобретают вид: — + Йд ЕУ'= О ~~ й ~ е - ~ ~~ 0-„— - гаф )Рго~. ) уМУ (1.1з) и+ па. Зтн Уравнения отличаются от (1.9) подчеркнутым членом, который имеет порядок — — „,, т.е. при Е<ч) эта поправка являю ьь ется малой. Учет этого члена приводит к повышению порядка системы уравнений: неличина А содержит вторые производные от искомых функций, следовательно, в уравнения (1.1З) входят третьи производные от них. Тип системы меняется, поведение решений (1.9) и (1.13) во многих случаях качественно различно.
))ля величины А можно использовать различные эквивалентные выражения, тогда получаются различные формы уравнений 2-го приближения. Выпишем, например, возможные выражекшн длн А в случае, когда движение одномерно, ы= О , ц = ц,( х,Ь) , )ь - Ь.(х,е) 9 = О , Ы = шпьТ , т = Т;. = О , ра = солью А =-)- ~ — ~ = -' ( — + 2и — + и — + — — ) ,(, ~д.~ а"Е Я~. «Ю 'сЕ Йс~ )ь Ж(Ю! )ь (,М" ЗхЪ$ Ъх ЪХ й! О учетом уравнения (1.6) получим другую форму: Л ( ~ )ьЫ)- Е$~ -~ 2~~~) Наконец, в последнюю формулу мокно вместо,( подставить пра- ~Ы вую часть соответствующего уравнения первого йрибликения. Ошибка, которая при этом совершается, имеет порядок малости более высокий, — 15— чем учитываемый в этих выкладках: — — 3МщЬ умеем) + 2,(Ы)" Соответственно уравнение движения во втором приближении в рас- сматриваемом случае имеет вид 1,4.
Уравнения для потоков в руслах Рассмотрим движение в руслах ш каналах. С математической точки зрения наличие русла означает, что поверхность, образующая дно, имеет в разных направлениях существенно разные характерные размеры. Масштаб Ь в одном направления (называемом осью русла) существенно больше, чем масштабы в перпендикулярных направлениях, т.е. чем ширина русла 8 и глубина потока ~. .
Последние счита- ются при атом одного порядка, Пренебрегая отличием оси русла от прямой, введем ось М по оси русла, ось й — перпендикулярно оси Х в плоскости, проходя- щей через ось х. и вертикаль, ось сы - перпендикулярно плоскости х , й . Основные днфйеренциальные уравнения мокно по-ярежнему записать в ниде (1 .2), (1 .3), причем теперь ш.
- Угол между гори- зонтальной плоскостью и плоскостью х , ц , а В = 0 . Уравне- ние свободной поверхности потока задается функцией Х = )ь(х,у,ь). Коли ) » Е , ю ~., то из уравнения неразрывности (1.2) полу- чим, что (1.14) Уравнения гидравлики для русловых потоков можно получить, интегрируя уравнение неразрывности (1 .2) и первое уравнение (1 .3) по поперечному сечению русла с использованием соответствующих кинематичесиих и динамичесних условий на дне и верхней границе потока. Второе и третье уравнения системы (1.3) служат для определения распределения давления по сечению потока. Оценки (1.14) и рассуждения относительно вклада турбулентных напряжений, аналогичные проведенным в п.1.2, показывают, что уравнения движения в проекциях на оси уы и К можно в первом приближении взять в виде — 1б— Отсюд~ ~= ~Зс + РЯГЛб ~й' й) > <1.16) т.е.
давление по Х распределено по гидростатическому закону, а поверхность потока в направленаи, перпендикулярном оси русла, нвляется горизонтальной. Получим уравнения гидравлики для русел не методом интегрирования дифференциальных уравнений по сечению потока, а непосредственно используя интегральные законы сохранения массы и количества движения. Такой способ баксе отчетливо выявляет физический смысл получаемых уравнений. Конечно, его моино применить и для вывода уравнений потоков на наклонных поверхностях. Рассмотрим контрольный объем, ограниченный дном русла, поверхностью потока и двумя поперечныыи сечениями, находящимися друг от друга на малом расстоянии Я Х ~см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
