М.Э. Эглит - Неустановившиеся движения в руслах и на склонах (1132337), страница 3
Текст из файла (страница 3)
рнс,2) 8) Поперечное сечение С) Вид русла русла в плане а) Контрольный обьем Рис. 2 Обозначим поперечное сечение потока через ~. , его плоаадь через Я , а ширину потока поверху через В . уравнения, эадаюаие форму русла, запишем в виде (см. рис.2в) 1 = ~6М при ~„(Х,Х) при ыго (1.17) у<О Биялвдтм4 Ф„ '~.м~~~ нси згг 2-1702 — 17— Величина ~(~С Ь)„-~, - ~ представляет собой кирину русла на глубине Х, В=фх,д= М' Напишем закон сохранения ыассы примзяительяо к рассматриваемому объзму. 0 точностью до малых 1-го порядка по вх имеем (~5бт) = Я(х+бх) — Я Ф (1.18) Я где О .= 1 Р~Ъ |~б'=)9 5 к, ц, определяемая втой последней Формулой, — средняя продольная скорость.
Деля зто равенство яа Ьх и переходя к пределу при бх -+ О для зепрерывного движения получим первое основное ураэнеяие гидравлики русловых потоков В 3 '95и — + — =0 а~ ВХ (1.19) которое выполвявтся, если яет вневних п)жтокоэ массы. Если же яа единице длины русла в поток доползительно поступает некоторая мас са ~(~ , то вместо уравневия (1.19) должно выполня*ься уравве- вие (1.19 ) Закон сохраневия количества двкжевия в проекции ка ось русла для рассмат1мэаемого объема с точяостью до малых пврвого порядка по ЬЖ записывается в ниле Ъ (~ц~бх)- ~~>~~, ~~+ ~))Р,',й + ~>~зыых ЯАд+ Ъй х(х) Е(х+ья) + ~ (-РП + т „) ~б' + Р~ияя ДХ Е(х)+Бхзвж) т Еа +улся (1.20) Здесь Ыйя — скорость вдоль оси русла, которую имеет поступающая э поток извне срзда, Д.а - свободная поверхность рассматривазмой части потока, 2:зщ, — смоченная поверхность русла, т.е часть поверхности русла, являюваяся границей рассматриваемого объ ема движукейся среды.
В гидравлика используется такжв понятие смо чеввого периметра ) р - длины смоченной границы попервчкого се. чезия русла. Если, как и равьве, предполагать, что продольная скорость э любом попзрзчвом сзчзвии почти всюду близка к срздвзй скорости — 18- яе ни .енин будет использоваться сщствма Л а5 Ъ~'"в 0 р= ~ „р, )й,( зю М с о ' 1 а! ТаВ т (1.23) ьк 'Ы-оь' щ- — — ~ м+ Исномыьм звличинами в (1.23 ), (1.23) ннляются Ы(х+) Б(хЦ или и.(х,е), Мх,з) или 6~(х,Ф), й (х,т) нрщ задана, й Форме РУсла, т.в. заданной $(Г ж), глубина )ь ческий радиус К и площадь поперечного сечения д яздяются из ввстнымн тункциями друг друга. Например, для канала трапвцоид ного поперечного сечения с углами относа бортов т, и у и иири- »( ) и»+ )ь(с а +о( Уь) 12 8» + 6. ( (/5Щ е 1/ып Чь) В = Е..
~(с~т,.фЮ.) В частности, для напела прямоугольного поперечного сечения ~~,= 7Г = у.=-) ' л Ус~ Ы вЂ” "К = Ю-"3, 3 = В.Е ь В,Е » с» с, ' ' В,»2)ь В,+23/8» Ь1, И=) (, ). в1, й») Р 0ледонатвльно, систему уравнений, описывающую одномерное дпижвние по позврхности, можно рассматривать пан частный случай системы уравнений для русел. В дальнейшем мы часто будам демонстриронать общие подходы к задачам гидразлини на примере ураняений одномерных днижвний на понврхнссти.
2х-1702 Сразним систему (1.23) с соотнетстзующвй системой для одномерного движения по позврхност, т.в. с системой (1.10) при условия 1Г=О, и=и(х,с), Е»Цх,ь), 9=0 . система (1.10) з этом случае может быть записана в норме (1.23), воли згести обозначения 1.5. Примеры формул, описывающих трение для потоноэ различной фазичесной природы Теперь приведем некоторые наиболее употребительные формулы для трения. Для потоноэ яилностей обычно вводят безразмерные коэффициенты трения Ке и К яо формуяам ге 'Г к "- к, ~а(с""М . Р~~ где 1." величина снорости э потова Чр, ~ Яа — снсрссть вдоль потока н плотность среды, находящейся над границей потока (например, плотность воздуха и соотьетстэующая составляющая снорости ветра, если динжение происходит э атмосфере).
Тогда ~а.- Ка ~~а. (™а), Т КРП 2. Обычно силы трения, т.е. -7,„, -Т, направлены противоположно снорости, позтому т =щ„р„Р г„нй-~.1, г=кРкГ! Для лаыинарных потоноэ ьеличины К„, К зависят от числа Рейнольдса Й1 . Теоретнчесни вычисляется, что для ламинарного уста. возившегося одномерного течения слоя эленой жидности по наилонно плосности ЗУ 3 К = Ки йе где 1 - нозффициент нинематической нязности иидности. Зта же формула приближенно приннмается и для любых не слышном сильно изменяющихсн эо времени ламинарных погонов вдоль цлаэных поверхностей. Для турбулентных течений при сравнительно небольших числах йа козффициент К оказывается медленно убывающей функцией ка, при увеличении Йа нозффицнент К прантичесии перестает зависеть от я6, т,е, э частности, от свойств жидности, но начинает записать от шероховатости дна, харантеризуемой отношением размероэ эыступоэ шероховатости дна Ы н глубине потока Ь Исследования э гидраэличесних лотнах, руслах и каналах, расчеты движений э морях и ренах наиопили громадное число данных, о величинах К , эоторые приводятся э различных гидраэличесннх справочниках.
Вместо нозффицнента К часто используется нозф(мциент йеви С , выражающийся через К по формуле С = ~У . Пня К равномерного днщження э русле ( и = ссяьт, Ь.= салье ) согласно -22- уравнениям (1.23) имеем и-~Г,джг = сп Бх эта формула и используется наблюдателями для нахождения С (вли К ). Для два с заданной аерохоэатостью величину С мокко з первом прмбликеяки считать кззестпой постоянной величиной. Мы будем говорить, что трезие задано формулой Шези, если козффяилвкт йези С считается константой, т.е.
Т- К)~м — .Э оо, х=ссялф, С=ссяьф Сь' В действительности козффециеят Шези С слабо зависит от глубивы потока. Наиболее укотребительной формулой, учитывающей сто, яэляется формула Маянияга (1.24) где 'Г, не зависит от скорости. Дкя сыпучих материалов Т, можно навивать сухим трением и считать, что оно вычисляется с псмощью закова Кулона (трение пропорционально яормальксму двэлеаю), пока не преэмэея предел прочности материала потока вли два, и с покощью условия, что трение разно предельному, если трение по Кулону оказываетоя эыие предельного.
Для потсма яа 'поверхности вто означает, что ч;=)млд~ссбйй при Т,<т», т.е. прв 1<~1,ив = 'Ъ '=) РР~ (1.2Е) где Т~ - ввимвяьвий из пределоэ прочвооти ка сдвиг материалов эотока и два, ~1 - коеффициевт кулововсиого треиия. - 23— где и. - число, связанное с шероховатостью степки и определяемое экспериментально. Имеются к другие, более точвые, но более славные формулы для коеффициента Швеи С Дкя турбулентных потоков, содеркащвх глину к камки, типа селей и глинистых растворов, а также для потоков сыпучих материалов,рекакеядуются формулы кида В 1= 1с+ ~(Р)У (1.25) Все имеющиеся формулы определяют Т как 4ункцин от о и Н. (или 5 ), Во многих теоретических рассуждениях важны лишь общие свойства зтих функций, конкретный иа их кид нвобхо дим для пректических расчетов.
В дальнейшем зсегда будем предполагать, что т г (9, Я) заданная йуккцин. 1.6. Ураннення дяя мелкомасштабных и крупномасштабных икике ний Рассмотрим теперь некоторые возмокныв упрощения уравнений гидравлики (1.10), (1.23). Системы (1.10), (1.23) могут быть заменены более простыми, если рассматрлкаются явления, характерный масштаб которых или относительно мал, илн относительно зелик. В первом случае в уравнениях дкжиення можао пренебречь членами, не содержащими произэодные, по сраннвнию с членами с производными, зо втором случае наоборот - уравнения днкивния упрощаются отбрасыванием членов, содержащих произнодные. Обозначим, кал н раньше, характерный пространственный масштаб явления через (.
, а временной масштаб — через Т . Прозедвм оценку членов уравнений (1 .10), (1 .23) . В уравнениях неразрывности я общем случае все члены имеют один и тот же порядок нвзакисимо от величины масштаба (обычно Т - 1, /О. ). В уравнввиях дкяквння порндок разных членов может быть различнмя для янлвннй разного масштаба. Рассмотрим отношванв входящих з уравнения движения члвнон с производными по т , и к членам, нв содеркащим прсиазодные, учитывая, что ьи у.
Зи. и В)ь (ь, р-~ь ) ()осы — - ~ссзщ~~Р сЕ ,—.,-, „-ь Б-Г Б Имеем зи. и ыы. ои ~Мыс~ рядно, что для мелкомасштабных дэижвниИ ( ~„, Т малы) зти отношения велики, т.е. члены с производныыи много больше недибфвреяпнальных членов, а для крупаомасштабных дэяжеяий ( ),, Т эеэкки) члены без производных существенно больше членов с производными. Более точно определение мелкомасштабных и крупномасштабных движений можно дать следующим образом. Сбозначим через ) +, Т„минамальные, а через ).„„, Т„„ максимальные чиода соответственно из соэокупноствй характерных заачвний ( ы,~ф~~.ш, гы )"/'и, "сссус-, Р$сс"» )ь~/Г ) и ( ы/~йъы, ры.Л/г ). Будем назыэать яэлвния мелксмасштабннми, если наряду с условием ), >> ~, выполннются соотношения ),«)„Т«Т, (1.27) и крупномасштабными, если )„)> ),„„Т»Т (1.28) При рассмотрении мелкомасштабных яэлений, в силу Услоэий (1.27) и определения величин ) е, Т+, можно э уравнениях дэижения не учитывать окатывающую силу и трение, т.к.
они относительно малы. Соотэетствующая система уравнений для дэумерных (или планоках - по терминологии гидраэлини) мелкомасштабных течений на поэерхностях при Р„ = (сяьФ имеет эид — + Йв'ЕР = О "ой ,),- ( ( ф~~Е ь (1 29) й= )у а эля мелкомасштабных дэжквянй в руслах ъ5 азы. Ы ) ИР~ — + — =О, э й э",~ ' сц я 'з-„:с ! й= собой Л (1.30) У= ~ ассы('И-й) Ый 0 При рассмотрении крупномасштабных дэижений в уравнениях княжения остаэляют только ввдиййеренцыальные члены, пренебрегая э силу их относитвдьаой малости градиентом давления и ускорением.
так что вместо уравнениИ дэяжвния используется услоэие баланса скатыэающвй силы и силы трения. Соотввтстэенно крупномасштабное приближение называют теорией кинвматических волк или просто кинвматичвскоИ теорией (ускорение эыброшвно из уравнвынй дзижв- ния). Уравнения для крупномасштабных двумерных двяжеэий яа наклонной поверхности имеют вид Ъй Ъ) ей~) ~с0 (1.31) ~а+ ч = ршме р Ь. а для крупнсмасвтабяых движений в руслах Ъ 5 Ъ8 И. — т — =0 ъх (1.32) ~а В + Ч ~Ьычб р5 )сР, Для иллюстрации грамщ щяпаеяямссти уравяевий мелксмасштаб- ного и крупвомасятабвого приближевий приведем типичные эяачеяия Ь„, Т+, ).
ь, Ть+ . Для турбулентных потоков вщщостей '( = ри~, к- ПГ т 1(Г . Пусть Е 1 и, И. 1 и/сек,, ~ил. о.- 10 4, К 10 (характерные экачения для равэиявых рек), 3 тогда и'/~ыл,с~ 10с и, )сй)ь /т' — 103 м, Ес(~с~ 104 Ы, рфСССШ ЕЬ/с"" 104 М, и/УУ~~ С~ 103 СЕК, )СССЛ/С' 10' сек, т.е. Ь+ = 103 м, Ь,д~ - "104 м;Та = Т„„НР сок, Паводковые волаы имеют двину порядка сотея километров и временной масштаб в десятяи часов, поэтому они хорошо описываются уравнени- ями кияеыатических волн (1.32). При иэучемик же волн длиной в не- сколько метров мокко польэоваться уравяеяиямя мелксмасштабвого приближения (1.30). Для камеяяых обвалов и снежках лавин 'Г= =т;+ кри.ь, к- пГ1, )ы.
- 0,3, 'г./0 )ьамсса, мам-0,5, Е - 1 м, И.- 10 м/сек, поэтому Т/р 40 м2/сея, и'Я5УиА- 20 м, йи. и/ч' 2,5 м, и.с($ы 2 ы, ~>$сс5сс е~/'~ 0,25 и, ц/уьиъсс ° 2 сек, ))и.п./'0' 0,25 сек, т.е. Ь+ = 0,25 и, Те = 0,25 сек, ) «» = 20 и, Т++ 2 сок. Так вак лавияы и потоки камней имеют длины порядка сотея метров, то для описаяия движения в основной части потока (кроме эоны переднего фронта и, может быть, векоторых других уэвих эон с реэким шэменеяяем пара- метров) можно польаоваться крупвомасятабюж ураввеяяя~а (1.31) или (1.32).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
