М.Э. Эглит - Неустановившиеся движения в руслах и на склонах (1132337), страница 5
Текст из файла (страница 5)
В докритнческом потоке малые возмущения распространяются относительно берега вав вниз, тав и вверх по течению (т.в. 1ц,1- С, < О ), в сверхвритичесном — только вниз по течению (т.в.(И,~-С, > О ). Описанную разницу в распространении малых возмущений в докрнтическом и сверхкритичесвом потоках легло можно наблюдать в ручейвах (см. рис. 4). Если нет нвно выраженного русла н течение можно рассматривать кав одномерное дэижение по склону, то 'у=~шмш йь/М, С>= Яйлой, ( Ц, — глубина невозмущенного потова), Лдя донритичесвого потока и, <,фюнес нли Гъ < 1, для сверхврнтического ГЪ > 1, где Гъ - число Фруда, по определению равное для погонов на склонах отношению (ь/4фмйЬ . Ваметим, что если бы мы изучали распространение не одномерных, а двумерных малых возмущеаий в потоке на поверхности', то получили бы, что в повоящейся среде скорость границы области малых возмущений по нормали в границе равна С, (тав кав локально двумернссть незаметна).
В частности, передний фронт малых воычущезий от точечного источника в покоящейся мелкой воде есть овружность, расширяюнаяся со сноростыс С, = Ч'~ Б, . Если внести по- 3-1702 — 33- стояяно действующий точечный источник малых возмущений в одноро1 ный поток, то, если поток донритичесяий, Гъ<1, он со време( яем весь оважется возмущенным; если же потов сверхяритичесиий, ГЪ >1, то зона возмущений будет заключена внутри угла с ве~ шиной в источзике возмущений. Величина этого угла определяется равенством Ми У = 1/Рь (см.
рис. 4). В газовой дизамике соотщ ствующий угол называется углом Маха, аналогом числа Фруда являеэ ся число Маха. О© (О ф~~ ( с() Вид в плане Продольяое сечение потова Рис.4. Распростраяезие малых возмущений в докритичесиих ( а, с) и сверхиритичесвих ( 6,НЦ потоиах. А - источник возмущеяий 2.5.
Правило для вычислеяия необходимого числа граничных условий Вернемся теперь к общей теории и рассмотрим задачи с гранич. ными условиямя. Пусть в потоке имеется движущаяся заданным или заранее веизвестныы образом (в частяом случае неподвижная) граница: плотина, подвижная стеяиа (бульдозер) иви просто некоторое сечение, в котором параметры потока в невой-то степези определят ются внешними воздействиями. Пусть положение границы в плоскостщ 'х, , 1 задается уравнением сс = Х (Ц , а решение ищется в области х > )( ( с) .
нужно ли задавать яа х = Х (с,) граничные условия, сколько их должно быть и закай ояи могут иметь виду Дай получеяия ответа на этот вопрос попытаемся вычислять значения 5, яа границе х = Х , пользуясь, например, методом харантерп~ тив. Пусть в момент 4,„ решение всюду при сс > Х известно, требуется найти Я , И. в близиий момент 1э + ЬФ . Могут представиться 3 основяых случая (см. рис. 5а,й,б ) вэеимяого расз полсжевия границы х = Х и харантеристин А+ , 4- в точиэх границы в момент сс, (а значит и в сколь угодно близкий к нему момент 1,„+ сх). С~у~ай (~): й ( ~-, 0 ( — . В этом случае обе харавтеристини Д+ и А, проходящие через точку границы, пера - 34— „инию т=1,„в области Х>Х, т.е. в области, гДе сэнюст ение известао, поэтому значения Я , О. на границе можно решение вычисли „~лить из системы (2.5), если, конечно, известно положение границ .
цы. Рассмотренное взаимное расположение границы и харантевв Д+ можно охаравтеризовать и такими словами: с течением време ени обе харантеристиви попадают (прихопят) из области, где ,оится решение, на границу, обе харзвтерисэжки явлнются "прихо„щвмз". йтан, в случае, когда на границе обе харантеристини щходящие, а уходящих нет, нинаких граничных условий, нроме условия, определяющего положение границы, задавать не нужно и нельзя, йначенин искомых ЩУннпнй ыа гРаниЦе опРеДелаютсЯ пРи Решенши Х(+) т~ )((4 (к яь гэ( Рис.
5 Олучай ~ $) осуществляется, когда щ ( — ( О.т При с~Х этом только одна харантеристика из двух, проходящих через точку границы, пересенает линию Ф.=Ф.ж в области х>)( . Оледова- тельно, можно использовать только одно (второе) уравнение (2.5), выражающее условие вдоль А . Обе величины, 5 и ц., найти на границе нельзя. Характеристика А является в этом случае приходнщей (приходит на границу с течением времени), а харавте- ристнна А+ — уходящей. Получается, что если имеется одна ухо- дящая харантеристина, то на границе должны быть заданы: условие, определяющее ее положение, и еще одно условие такого вида, чтобы оно вместе с условием на приходящей харантеристине давало возмож- ность найти 5 и и.
на границе, Палонец, случай ( с) жчеет место, когда а, > .~- , а > — „.„ ИХ сИ сьт При этом в точку границы из области известного решения не пойа- дает ни одной харавтеристиви, обе харантеристиви являютсн уходя.- щими. Поэтому двя решения задачи в этом случае на границе должны быть заданы два условия, из воторых можно найти о и К , и еше одно, определнющее положение границы. Итав, если |оложение границы не задано, то общее правичо (верное и для любых гиперболичесних систем нвазилянейных уравне- вий) следующее: число граничных условий Й должно быть равно числу Йукрй уходящих харавтеристин плюс одно (определяюшее положение границы): (2.7) Если это правило выполнено, то граница называется эволюцновной, т.в.
в этом случае, кав было только что показано, можно, зная ре. шение в накой-то момент, найти его для последующих моментов , ре шить задачу о развитии (эволюции) решения. О". си, вогда граница совпадает с одной из харавтеристив нли когда одна из характеристик имеет с ней касание К -го порявна, могут быть рассмотрены аналогично. Правило (2.7) сохраняетсн, причем, если одна из хараитеристив совпадает с границей, то ее надо считать приходящей, а если 0 = — , . > -- = -П вЂ” „-, сйХ с(к-ьа д "Х ,~»ц,~ »» д — — ( а — наклон характеристики), то эта харантедщи» кии ,( к,1 (»+и ристина будет уходящей при — к и — + и приходящей при 4»а Ш»и1Х Шъ» "с„»+и (в области ж >Х ) ° На практике при постановне задач выполнить правило (2.7) бы.
лает непросто. Чему равно Куки~ ? Это азвисит от величин И, н Я , а они заранее неизвестны. В простых случаях число Фуксу известно. Пусть, например, рассматривается одаомерный поток Вполз осн х ( и>о) и требуется найти 5(х,с), и(в,т) при м>0 если известно вав меняются со временем 5, ы. в сечении х=о.
Граница (входное сечение) потова в этом случае неподвижна, Тав, каи и>О, то ц+>О, следовательно, характеристики А~ являются уходнщими. П(м Ы> С = Дя, т.е, если поток сверхзвуч зз новой, О > О , т.е. характернстйяи Я тоже уходяшде. Это означает, что пола во входном сечении К > С , для решения задачи нужно задавать там два условия, например, глубину и расход, причем их значения можно действительно задать произвольно. Но если во входном сечении М~ С , то харантеристияи 6 будут приходящими, т.е.
во входном сечении нужно и можно задать только одно условие. Если, например, задать там глубину, то расход определится решением всей задачи, заранее задать его мы не можем. Физичесное объяснение этого заключается в том, что в донритичесвом пото. не возмущения, возникающие справа от входного сечения, распростра няются вверх по течению, изменяя значение параметров во входном сечении.
Во многих рассуждениях этого параграфа мы предполагали, что харантеристиви одного и того же семейства не пересензются. Однанз при фзвтичесном построении решений' часто оказывается, что зто ус. — 36— вовне нарушается, причем даже тогда, ногда краевые условия зада- ны непрерывными функцижя . Конечно, факт пересечения характерис- тик одного и того же семейства означает, что однозначное непре- рывное решение не существует. Продемонстрируем такое поведение характеристик на примере некоторых частных решений невинеаризо- ванных уравнений мелкомасштабного приближения — так называемых простых волн или волн Римана.
Эти частные решения заслушивают внимания еще и потому, что решения многих практически важных за- дач строятся как комбинации простых волн. 2.6. Простые волны (волны Римана) (2.9) Величина — — у определяет нанлон линий Ч'= ссадит в плоск~ / ьх. кости ж, 1 . действительно, вдоль Ч'= ссяьв имеем бл( = ~ с(сб + -х сЫ = О дж сс Ыж Щ /'дУ (т й/ ъх зх 1702 — 37— Простыыи волнами или волнами Рюяана называют решения, в иоторых все искомые функции зависят не отдельно от Х , Ф , а только от некоторой их комбинации у(х,1): и=2(Р), 5=5(Г). Полные уравнения гидравлики, учитывающие окатывающую силу и тренке, ке имеют решений в виде простых волн.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
