М.Э. Эглит - Неустановившиеся движения в руслах и на склонах (1132337), страница 13
Текст из файла (страница 13)
если бы мы рассмотрели скачок, у которого меньшая площадь 51 была бы сзади, а большая 52 — впереди) решения, описывающего структуру, построить при условиях (5.8) нельзя. Этот результат согласуется с условкямн зволюпконности ~3.14), (3.15). Отметим, что формально длина зоны скачка получилась бесконечно большой, тзк как 5 -» 5~ 2 при $ -+ + о . Однако разности 5 - 5, и 5 - 52 ведут себя вблизи 5, и 5„ соответственно как с " з и 8 "2» , 4,»о , А»>о , т.е.
убывают очень -80- быстро. Понтону длина зоны, где имеется переход от 5, в 5» практически невелика. Тан, прн исследоэании структуры газодинамичесного свачва ширина скачва тавже формально бесконечна, но параметры мало отличаются от их значений на нраях зоны уже яа расстояниях порядка длины свободного пробега молекул. Длина зоны нинематического сначва в реках порядна километров — зто тоже малая эеличина по сравнению с масштабом в сотни километров, воторые имеют, например,паэодновые волны. Рассмотрим теперь скачни большой интенсивности, ногда неравенство (5.11) не выполнено, т.е. 5+ лежит между 5, и 5» (см. рвс.21 е ). Тогда графин б5 имеет эид, показанный на рис.23а, ййй тав нан а,-3=0 при з= 5 <Б В 5» 5, (с) Рис.
23. Структура нинематичесвого разрыва с гндраэличесвим прыжком Б этом случае непрерыэного решения, соединяюаего значения 5~ и 5», построить нельзя, зная производной д в оврест- 45 ности 5, и 5ь таков, что приблизиться при увеличен ч ни к 5,, ни к 5» нельзя. Пожно попытаться построить решение с гндреэличесним прыжком, дэииушнмся также со скоростью Й ° Прыжок должен находиться на переднем фронте рассматриваемой зоны (см.
1ис.23 8, 23с). Пусть 5,< 5 . Если считать, что 5» должно быть сзади, а 5, — спереди, то процедура построения решения тахона: по заданным 5, , и, и З из условий на гидравлическом нрыжне (2.14) находим 5 — значение 5 за прыжком. При этом получим обязательно 5 > 5е . Действительно, из теории гидравлических прыжвоэ, изложенной э $ 2, следует, что знак Й- ~-. по 6-1702 — 81— .уД> разные сторокы прыжка всегда разный и еслк — > О, то реально ВО» осуществимы тольао скачки, лля которых с передней стороны 3>0+ а с задней Й<О+ . В рассматриваемом случае Й>(0+)я (см.
рис,21 В ), следовательно, для состояния за скачком й< С~+ (з), поэтому, кав это легко увидеть иэ рис.21й, 5 > 5» и такой скачок существует. Лакее, так как 5 и 5» раположены по одну сторозу от 5», существует яепрерывный переход от 5 к 5ь прм уменьшении ~ . Вид решения показав на рис.23» . Ес. бы состояние 5» было впереди, а 5, — сзадк, то решение должно было бы иметь вид, изобреженвый ва рис.23с. Одяако в этом случае дкя гидравлического прыжка имели бы Й < м+ спереди 2г' и Й >Я» сзади.
Такие прыжки в руслах с В~Ох >О не существуют, поэтому решение, соответствующее рис.23с, тавже не может существовать. Итак, при выполнении (5.8) двя скачков большой иятенсивности, когда вместо (5.11) выполнено неравенство 5г (Ч» 7~) я~м 5~ 5»- 5» В» (3.12) 5.4. Структура кинематического разрыва, моделирующего зону переднего фронта снежной лавины Раосмотрим структуру кинематического разрыва, моделирующего зону передпего фронта снежной лавины. Пусть лавина не слииксм большая, сухое трение подчиняется закону Кулона, а полное трение складывается из гидравлического и сухого. Рассмотрим наиболее -82- также удалось построить решение, дающее их структуру, если только это скачки повышения уровня. Снова никаких добавочных связей между 5, и 5» не получилось.
Изученные решения можно толковать не только как структуру кинематического разрыва. Оки соединяют два однородных потока (о разными скоростяыи и уровнями). Можно сказать, что ояи описывают распространение состояния с большой скоростыс Мь и большой глубиной Ь. ( 5ь) яо состоянию с ыалой глубиной Е ( 5,) , например, паводковую волну. Дяя по~оков воды в реках, каналах и лотках неравенства (8.8) обычно выполняются. Формулы, полученные в этом параграфе, позволяют вычислить скорость паводковой волны, которая при небольшой разности 5х - 5» получается меньше, а при большой разности 5» - 5» - больше скорости распространеяия малых возмущений 0,(5,), а также представить форму воляы.
При условии (5.11) фронт волны пологий, а при (5.12) ка фронте имеется резкое возрастание уровня, возникает гидравлический прыжок. зростое движение — по широкому склону или широкому лотку, когда трением о боковые стенки можно пренебречь,'г= К)~из+)ыр~ссзщ6.. йзк уже говорилось, такое движение описывается уравнениями для потоков в руслах, если заменить в этих уравнениях В на 1, Я на на Е .
Уравнения дкя одномерного лавинного потока на уроком склоне вмеют вщк Ъпи — + — =0 Ъь Ъх ъы. + ц Б + сзссзш Ъ вЂ” = сии~-ЯыФ вЂ” к — — ~)~ —, и. Ъсс56. Я ЪХ Эта систеыа отличается от системы для потоков воды только присутствием в уравнении двнжезия члена )и~ссза; формально можно считать, что роль удельной окатывающей силы умам теперь играет член о(зла~-уасазм) . условия на гидравличесвлх скачках внутри лавинного потока совпадают с условиями на скачках внутри потока воды. В кинематическом прибпижепки дпя ЛавкнНоГО пОтОКа будем иметь и=Чу = условия (5.3) в рассматриваемом случае выполняются, действительно; и ~ мг-~~«г арчь„, мьЯ % Ъ ко,. > эд хан уЬхссзы ~~~~ пЮ ЗЯФ~~ > 0 ЪЫ вЂ” с2д и> = = г<)з ° ~дгс с>,ч с 2 (д.= «/3 е ~/и) Поэтому зсе выводы относительно структуры кинематичесвих разрывов, полученные в п.5,3, сохраняются для кинематических разрывов внутри лавинного потока, Отличия могут воэнииать, (и на свмом деле возникают) при рассмотрении кянематического разрыва, моделирующего зону нередкого фронта лапины.
Рассмотрим подробнее движение в втой зоне. Передний фронт лавины отличается от переднего фронта водного потока тем, что одой снега, лежащий перед фронтом, не описывает; ся уравненинми гидравлики. Условии на переднем фронте лавины можно записать в виде ь ~) 3)) я ("( ~~ ф~~~)ь. б' дс 2 )Э (5,13) Тогда условие сохранения импульса на фронте лавины можно переписать з виде О, $~и |ь Й д~ьФ по + 5'Лс Л. ~. Ло 2 Р (5 14) Псаажем, что щи 6 >О выполняется неравенство |ь> Й» где Ь||. — нритическая глубина, определяемая услояиямн: ~В-к„~- О =цпчсэьс|, |й» =ю- — „„.Будем для определенности считать, что ось л зыбрана так, чтобы было Ж > О , а > 0 .
Краче того, снорость среды за фронтом и скорость фронта направлены одинаково, поэтому (|. > О . Отсюда сразу следует, что |ь > Лс . Постр1 нм гРафин фУнкции |)|® и 6 + ~ Ь~сеЫ (см. Рис.24). Л. Ь ||о ~-|| Л. Рнс. 24 Производная — обращается з нуль при с(й| |()ь Пь — — т сЛссьщ =0 и — (й|-и) +уЛсэрй =0 Ль ,> ~.
к. = ча"7ц «'' = |.чу||.я* Величину Л. можно найти с помощью графина |Г(Л) из услозия (5.14), заторов имеет ннд |г ( л,) = й|(л,) + б'л>/)э, Видно (см. рис.24)„ что из условия Л > Л, при б > О следует, что Л, > ~» прн любом Л, . Кроме того, заметим, что ~ увеличи— 84- где |ь,, б„- толщина и предел прочности слоя снежного понрова, вахватызаемого лапиной на фронте, Ть — высота фронта, й - ско- рость снега на фронте. Если бы струнтура впереди лежащего слоя была уже полностью разрушена, то слой вел бы себя нак жидкость, и сила, действующая на фронт лапины со стороны этого слоя, была бы равна РфсоэщЛ,,~~, .
Естественно считать, что сопротинление неразрушенного снежного покрова больше, т.е. что б>Л,>ЩИ 2 с|а~~, Введем обозначение 5 Ле = бе Ьо — (о~Ло бэ~'й/2 вается с увеличением 5' при одном и том же 3, ы — Й при б'-+ са. Если лавина движется по длинному плавно меняющемуся склону, причем выполнены условкя устойчивости т.е. 'Ь~с[- р, ~ ЧК а<а, то движение через достаточно большое время после начала можно описывать уравнениями кннематичесного прибликевия сЛ д6.М вЂ” + — =О, 'ьт дх = к(~) = ДКТ ' -г»~Ук ~~В ~г)=),3=Я Л1 ~Ц (5.15) Л вЂ” Ло На рис.25 представлен график функпии Ь.Ч( Ц , скорость Й разрыва есть тангеяс угла наклона секущей для Л Ч~Л), проведенной из точки Л= Ь,, ЛЧ= 0. Л'У Рис. 25 — 85— 6"-1702 Но значения параметров )ь, О.
на переднем фронте, определяемые условиями ~5.13), конечно, в общем случае не удовлетворяют равенству ы Ч ( ~„) . Поэтому к фронту разрушения должна примыкать зона, где изменение параметров определяется решением полной системы уравнений, соединяющим у, , Л, с некотории К , удокяетворяющгж условию и = 'ч'( Л) . С точки зрения основных больших масштабо~ зта зона будет представляться вак хинаматический разрыв, а решение полных уравнений в ней дает структуру етого разрыва, Наша цель сейчас — провести исследование структуры разрыва, однако прежде сделаем некоторые выводы, рассматривая просто условие сохранения массы на кинематическом разрыве, В данном случае оно имеет вид Обозначим буквой 6 точку, в которой прямая, проведенная иэ точки Е,, О касается ливии 5.Ч, 'ас — значение 6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
