М.Э. Эглит - Неустановившиеся движения в руслах и на склонах (1132337), страница 14
Текст из файла (страница 14)
в точке С „Й - тангенс угла наклона касательной в точке 6 з, - (— ' ) = а(~.4 Если Й = Йс, то эа кинематическим скачком а= Е, . Величина П.б определяется из условия ~е о Отсюда ~,=ЗЬ,, йа= Если Я л Йе, то значение О. эа скачком равно или Ьл или (см. рис.25). Если Й с Йе, то условие (5.15) удовнетвн риться не может, значит для кинематического разрыва, моделируощего зону переднего йронта лавины, всегда Й > Йе. пусть Й> Йб .
из вида функции 6.'ч'(Ц следует (см. рис.25), что при Й Ф Йа ан = а(Ь.е) < Й < а(~я) = ал Если нет других условий на скачке, кроме (5.15), то из'условия эволюцнонности следует, что для значения Ь. за скачком должно выполняться условие З < Я., поэтому за скачком может осущесщ кляться только Е = пА ° но зе )3.= ~~-ь Посмотрим теперь, что дает исследование задачи о структуре разрыва. Действительно ли всегда можно построить решение полных уравнений типа структуры, начинающееся (при больших 5 = х -Йв 1 со значений )ь , и , удовлетворяющих (5.14), и стремящееся (при ~ -~ — е ) к значениям й.л, Кь = Ъ'(Кя) ~ итак, пусть Е = Ь(г) , и = и (6) ; 5 = и- йт .
уравнение дня определения Ь.(~) лля лавинного погана может быть записано в таком же виде, кан и тля потока воды й~ 1 Р(й.) ц (а,-Й)(а-а ) (5.16) ( (Ь) = 9 (й н-)ассы) к мь/)~, ы. = й- я/)ь = Й (1- й./И). уравнение (5.16) совпадает с (5.7) после замены )ь на 5 и с(май-)ыссзн) на ~Й'Ф . Поэтому качественное поведение решения (5.16) совпадает с исследованным ранее поведением -86- решения (5.7). Решенке, описывающее структуру разрыва, зависит от взаимного расположения точен Е», 6,в, Е», Ь . Из условия устойчнвости а.д « (й,)„можно, как и раньше, эмнести, что Ь » < Ля .
В начале этого исследования было показано, что с. > Ь-» ° Рассмотрим сначала большие Й, лз > Й+ (дв) . тогда Ь» > Кн (см. рис.21) и график правой части уравнения (5.16) имеет вид, изображенный на рве.26а. Стрелками на оси Ь. показано направление изменения Е прн уменьшенни ф, т.е. прщ перемещении от передней части зоны фронта к задней. Рис.26. Вид функции б ()~) . Возможные поножения бн. 4$ точки Ь=)ь показаны знаком л. Так нак ) > я,», то всегда существует непрерывное решение, соединяющее с, с Ед, и не существует решения (ни непрерывного, ни разрывного), соединяющего с.
с П.н . Последний вывод получается точно так же, вак вывод о невозможности перехода от бсльшого Я впередн к малому 5 сзади в задаче о структуре разрыва в потоках жидкости (с использованием условий эвонюцнонвости переднего фронта). Будем теперь уменьшать значения д) . Тогда ав будет расти, Ля уменьшается (см.
рис.25). При Й < (а»)е получится я» « пэ ° График ф ( о-) двя этого случая показан на рис, 26 6 . Величина К п(м уменьшении Й уменьшается. При этом могут встретиться разные случаи . Либо Ж прн уменьшении Й все же остается большей, чем я.н , либо при неноторсм Й оказывается, что В. = 66 и при дальнейшем уменьшении к) величина о. становится меньше Ьз . Если Е > Еэ , то существует непрерывное решение, соединяющее Е с В.н , воли В. = Ьз , то решением (5.16) будет Ь = ЙЗ или непрерывный переход от Ьз н Ь„; если К < пн, то никакого решения, соедвннющего Х с Е„ или 6з,построить нельзя, нн непрерывного, ни разрывного. Последнее — и†обусловлено тем, что в любом гидравлическом скачке происходит переход от сверхкрнтнческой глубины перед ннм к докритнческой й > Ь,„за ним.
Но так как на переднем фронте имеем с. = и, > Е„ то дня существования гидравлического скачка в зоне за передним фронтом необходим непрерывный переход от К > 1» к некоторому с. < Ь» , что невозможно, как видно из рис.26. Можно получить условия, при которых для всех возможных Я имеем К < ~~н . Оказывается, это будет при достаточно большой прочности снежного покрова ~„. .
Действительно, величина ~ь зависят от б и увеличивается вместе с ней. Чтобы получить желаемое условие, запишем выражения дкя Йь , которые получаются соответственно из условия (с.14) на фронте разрушения (Я = Йй.) и из формулы нля скорости кинематического разрыва н виде где гЬ~ К,(~-К.) ~ 2, )з ( к (и- и.) йрк заданном Й значение Е получается как решение уравнения з)ь = ~, ~1); значения Лд и Ез - решения уравнения 2)*= ~ (6). Функции (, и у,„не зависят от 3, их гразмки изображены на рис.27. Рис. 27 Функция ~», э отличие от ~,, зависит аще от веля яны б, ее график пересекает ось )».
э точке Ч ~," ». 2бЬ,/р~со~й На РИС.27 ИЭОбРажЕНЫ тРН КРИВЫЕ ~» (Л, О'), ДЛЯ б», бь о (8, с б сбэ), Через б обозначено значение б, при котором» ()» =5)» )» (Ь '» Непосредственным вычислением получаем б = (>~с05м Ьо (Ч вЂ” ~ 4 — ~-) Кав видно нз рис.27, если б>б (5 ° 17) то при любых Й > Дс имеем »», > )».Э и, следовательно, решение задачи о структуре хннематического раарыва всегда существует.
Если же бс б (5.18) я то существует значение й) (Г), такое, что при 3< З будет Й, с»1Э, т,е. Рещение задачи о стрУктуре Разрыва не будет существовать. Зто значение Й определяется нз условия, что при 3= 2» имеем (5,19) т.е. уравнения („()) =й" имеют общий корень. Прнравниван положительный корень первого из этих уравнений (зависящий, конечно, от у) ) меньшему из положительных корней второго уравнения (который также зависит от Й ), находим значение й), обеспечивающее равенство (5.19). После этого можно вычислить и соответствующее значение ь наторев обозначим череа )»ь . Второй корень уравнения ~ ()»)=Й » дня этого случая обозначим Возвращаясь на точку зрения крупиомасатабного приближения, можно представить результаты, шдученяые при исследовании структуры вннематического разрыва в потопе волы и винематичесного раэрива, моделирующего зону переднего фронта снежной лавины, следующим образом.
Рассмотрвм снова графини БУ и соответственно И'()»А которые, кан уже было сказано, можно назвать "аднабатами" в том смысле, что все значения о или я , связанные условиями на разрыве, лежат на этих кривых (см. рис.28). Для потоков жидкости при выполнении условий (5.8) получилось, что при заданной площади иивого сечения 5 = 5» перед раэ— 89— ривом площадь живого сечения за разрыэом может быть любой, но только большей, чем 5, (из точки 5„ эозможны спячки в любую точку 5 х > 5~ ) — э том смысле, что структура такого разрыэа эсегда может быть построена.
Для скачков с любым рь > 5, выполняются также условия еэслюционности. Участок адиабаты, соответствующий о > Яз, может быть назван "действующим". На рис.28а этот участок показая жирной линией. 5'ч" (5) Л ч" (Ь (е) (с) Рис.28. Действующие участки "адиабат" для кинематичвских разрывов Дня переднего Фронта снежной ланияы, если Н, задано и прочность эоэлекаемого э движение снежного покрова достаточно велика, удовлетворяет услоэию (8.17), то действующей частью адиабаты является часть, соответствующая Е > Ье = 3 Но (см.
рис. 286 ). Структура скачка, переэодящего Ь = Ь, э любое Ь > Лс сущестьует, условия зволюционности также выполнены. Ясли же прочность снежного покроэа невелика, так что выполняется (5.18), то действующую часть адиаоаты состаэляют все точки, соответствующие л )~ > )хя, а также точка 8, соответствующая Е = Ен .
Из исследования зволюцнонности, считая, что на разрыве имеется только одно условие сохранения массы, мы ранее получили, что значение )~ за разрывом должно быть больше или равно й.е , т.е. запретили часть адиабаты с Я. < Це и приняли в качестве дейстэующей часть адиабаты с Ь > цс . Но при исследоэанин структуры оказалось, что при 6 < о скачки с й < 8 не имеют структуры, поэтому часть, соответствующая не < и. < Йд, на самом деле являет- л ся недействующей.
Зато оказалось, что возможны скачки с у) =й переэодящие 6, в Ьн < Ье ! услоэия звслюцнонности скачка при этом не нарушплнсь, хотя характежстика за скачкам яэляется ухо- -90- л дашей, Д) > О. (.Яе), Но теперь време условия сохранения массы на этом свачне выполняется еще условие, определяющее )ь за разрывом: оно должно быть равно Ьэ . Теням образом, здесь ыы имеем пример появления добавочного условия на разрыве, вознинеющего при исследовании струнтуры разрыва.
о.Б. Применение результатов исследования струвтуры зовы переднего Фронта н решевзю задач о движении лавин Рассмотрим применение полученных результатов н задаче о двивввни снежной лавины по длинному плоскому однородному сялону, ногда можно использовать уравнения нинематичесного приближения. Юлиной области начального возмущения пренебрегаем, считая, что всю эту область можно заменить точкой х = О , а в сечении х=о пусть неким-то способом, начиная с т = 0 , поддерживается равновесный лотов о постоввниы звачезими глУбины, П = Ь с , и снорости, И =.
Ио = Ч ( Ис) ° Пусть прочность снежного покрова велина, тав что б > б . )(ля любого )1о ° большего, чем Ьс=З/ъ решение представлнет собой однородный потов с Л = Ь.„ , и = Ъ"(я„) в области О М Х < й)$ , й — скорость Фронта погона. Она эычисеру з- (кос ~ .р .2в,, мр нс — я0 ны харавтеристини н продольное сечение потова). (а) (К) (с) Рис. 29 если Ош пс ~ 3)4, то независимо от Мс Фронт движется со скоростью д)= хэозЦ,(Ьйя-)шосып),/~(я, за фронтом в области фЧ„ <:б ф + имеем центрированвую волну понижения уоовнн — 91- Ч ось и=7() ) = Й вЂ”" (5.20) вя (5у7.м — )кссыт) Сю З 9 даЛЕЕ В ОбЛаотИ ОН Хщ 5~ Чс — ОдНОрадНЫй ПОТОК С (рис.295 ), Если Ьс = О > '~с = О, то Фронт по-прежнему движется со скоростью й<„, и весь потоп представляет собой центрированную простую волну понижения уровня с распределением Цгв), и(хЯ по Формуле (5.20) (рис.29с). Если прочность снежного покрова невелика, так что 6 < б то из Условна й.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
