К.С. Басниев, А.М. Власов, И.Н. Кочина, В.М. Максимов - Подземная гидравлика (1132331), страница 12
Текст из файла (страница 12)
у дх ' н ду ™ а », дг (4.2) Определяя из уравнений (4.2) производные дгу„lдх, дгу„/дд, дгуг!дг ды~ У дгу дш~ У дгу ди~ У дгу дх у дхг ' ду Н дуг ' дг Н дгг (4.3) и подставляя их величины в уравнение неразрывности (4.1), полу- чаем — — ( —,+ —,, + —,)=О, у дгр дгр дгр откуда дгр, дгр дгр — —,'- — + — = О, дхг дуг ' дгг (4.4) Ф = — (р+ руг). у Р (4.6) Если подставить функцию Ф (4.6) в уравнения движения (4.2), то их можно записать в виде дФ дФ дФ гу»= — —, ыг= — —, ш»=- — —.
(4.7) дх ду дг Таким образом, потенциалом скорости фильтрации называется функция Ф (х, у, г), производная которой с обратным знаком вдоль линии тока равна скорости фильтрации ш (х, у, г). Продифференцировав уравнения (4.7) по координатам и подставив значения производных скорости фильтрации в уравнение неразрывности (4.Ц, получим дко д»Ф, дггв (4.8) дхг дуг дгг т. е. потенциал скорости фильтрации Ф так же, как и давление р, удовлетворяет уравнению Лапласа.
Функции р (х, у, г) и Ф (х, зг Чгр=О, нли Йу дгаб р=О. (4.5) Уравнение (4.4) является дифференциальным уравнением установившейся фильтрации несжимаемой жидкости по закону Дарси в недеформируемой пористой среде и носит название уравнения Лапласа. В теории фильтрации оказывается удобным ввести функцию Ф (х, у, г), называемую потенциалом скорости фильтрации и определяемую как у, г), удовлетворяющие уравнению Лапласа, являются непрерывными, имеющими непрерывные частные производные первого и второго порядка, и называются гармоническими.
Решения уравнения Лапласа как решения линейного однородного дифференциального уравнения, имеют следующие свойства: 1) сумма частных решений есть также решение этого уравнения; 2) произведение частного решения на произвольную постоянную есть также решение этого уравнения. Пусть, например, р„р„..., р„являются решениями уравнения (4.4). Тогда функция а Сгрг где Сг — константы, также удовлетворяет уравнению (4.4). Указанные свойства приводят к принципу суперпозиции, широко используемому при решении разнообразных задач подземной гидродинамики, сводящихся к уравнению Лапласа ', 4 2. ОДНОМЕРНЫЕ ФИЛЬТРАЦИОННЫЕ ПОТОКИ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ В ОДНОРОДНЫХ ПЛАСТАХ Одномерным называется фильтрационный поток жидкости, в котором скорость фильтрации и напор являются функциями только одной координаты, отсчитываемой вдоль линии тока.
К одномерным относятся следующие потоки. 1. Прямолинейно-параллельный фильтрационный поток. 2. Плоскорадиальный фильтрационный поток. 3. Радиально-сферический фильтрационный поток. Приведем краткое описание этих потоков.- 1. Предположим, что при фильтрации жидкости траектории ' всех частиц жидкости являются параллельнымн прямыми, а скорости фильтрации во всех точках любого поперечного (перпендикулярного к линиям тока) сечения потока равны друг другу.
Законы движения вдоль всех траекторий такого фильтрационного потока совершенно одинаковы, а потому достаточно изучить движение вдоль одной из траекторий, которую можно принять за ось координат — ось х (рис. 4.1). Прямолинейно-параллельный поток имеет место: а) в лабораторных условиях при движении жидкости или газа через цилиндрический керн или через прямую трубу постоянного диаметра, заполненную пористой средой; б) на отдельных участках продуктивного пласта при притоке жидкости к батарее скважин, если пласт постоянной толщины имеет в плане форму прямоугольника (рис.
4.2). При эксплуатации' прямолинейной батареи равнодебитных скважин АА' в пласте по- г Заметим, что принцип суперпоаиции применим в соответствующей форме и к другим классам линейных дифференциальных уравнений. и Напомним, что при установившемся движении жидкости траектории совпадают с линиями тока. 53 стоянной толщины й и постоянной ширины В, изображенном схематично на рис. 4.2, при постоянных давлениях на забоях скважин рг и на контуре питания ра приток жидкости к скважинам будет прямолинейно-параллельным (за исключением ближайшей к скважинам зоны, где линии тока будут искривляться).
Если уплотнить сетку скважин в батарее (заменить батарею сплошной прямолинейной выработкой — галереей), то движение жидкости к галерее будет строго прямолинейно-параллельным. 2. Предположим, имеется горизонтальный пласт постоянной толщины и неограниченной протяженности. В нем пробурена одна скважина, вскрывшая пласт на всю толщину и имеющая открытый забой '. Рис. 4ыя Схема прямолинейно- параллельного фильтрапиоиного потока Рис. 4.г. Схема прямолинейно-параллельного потока жидкости к батарее скважин При отборе жидкости из скважины частицы жидкости в пласте будут двигаться по горизонтальным прямолинейным траекториям, радиально сходящимся к центру скважины. Такой фильтрационный поток называется плоскорадиальным.
Схемы линий тока в любой горизонтальной плоскости потока будут идентичными и для полной характеристики потока достаточно изучить движение жидкости в одной горизонтальной плоскости. На рис. 4.3 показано горизонтальное сечение плоскорадиального фильтрационного потока, а на рис. 4 4 — вертикальное сечение такого потока. В установившемся плоскорадиальном потоке давление и скорость фильтрации в любой точке М зависят только от расстояния г данной точки от оси скважины. Таким образом, этот поток является другим видом одномерного фильтрационного потока. Если скважина не добывающая, а нагнетательная, то направление линий тока па рнс.
4.3 н 4.4 нужно заменить на противоположное. 3. Рассмотрим пласт неограниченной толщины с плоской горизонтальной непроницаемой кровлей, через которую скважина сообщается с пластом полусферическим забоем (рис. 4.5). При эксплуатации такой скважины траектории движения всех частиц жидкости или газа в пласте будут прямолинейными и радиально сходящимися в центре полусферического забоя, в точке О. г Такая скважина навывастся гидродинамняески совершенной скважиной (подробнее о совершенстве скважин см. в $6 данной главы!.
54 В случае, если через скважину в пласт нагнетается жидкость или газ, их траектории будут радиально расходящимися от центра забоя скважины О. В таком установившемся потоке напор и скорость фильтрации в любой его точке будут функцией только расстояния этой точки от центра забоя скважины. Следовательно, этот вид фильтрационного потока также является одномерным и называется радиально- Рис. 4.З. Горизонтальное сечение плоскорадиального потока Рис. 4.4. Вертикальное сечение плоскорадиальиого потока ! " с Рис.
4.о. Вертикальное сечение радиально-сферического фильтрапионного потока сферическим. Такой поток может реализовываться, когда скважина вскрывает только кровлю пласта или глубина вскрытия значительно меньше толщины пласта. Описанные три вида одномерных фильтрационных потоков являются простейшими моделями реальных течений, возникающих при разработке нефтегазовых месторождений, но играют важную роль при решении некоторых практических задач. Задача исследования установившегося фильтрационного потока заключается в определении дебита (или расхода), давления, градиента давления и скорости фильтрации в любой точке потока„ а также в установлении закона движения частиц жидкости (или газа) вдоль их траекторий и в определении средневзвешенного по объему порового пространства пласгового давления.
Перейдем теперь к изучению характеристик простейших установившихся фильтрационных потоков несжимаемой жидкости в однородных пластах. Прямолинейно-параллельный поток г(ер(!(хл = О. (4.9) Для определения давления в любой точке потока проинтегрируем дважды уравнение (4.9) при следующих граничных условиях: ! р=р, при х=О; (4. 10) р= рг при х=йк. Рис. 4,б.
Вертикальное и гориаонтальное сечение прямолинейно-параллельного фильтрацнонного потока Тогда в результате двукратного интегрирования (4.9) находим последовательно Р =С„или с(р=С,!(х, г)х (4.11) р = С,х+ С„ где С, и С, — произвольные постоянные. Подставляя в (4.11) граничные условия (4.10), получаем С,=р„; С,=— Р» Рг г.к (4.12) Закон распределения давления в пласте найдем, подставив значения постоянных С, и С, из (4.12) в (4.11): Рк Рг !.к (4. 13) Из (4.13) получаем выражение для градиента давления (4.14) г!х т Сечения 1 — ! и Н вЂ” )! перпендикулярны ко всем границам пласт1 кровле, подошве и боковым границам).
56 Пусть в горизонтальном пласте постоянной толщины гь и ширины В в сечении 1 — 1, совпадающем с контуром питания, поддерживается постоянное давление рк, а в сечении 11 — 11, отстоящем на расстоянии 1» от контура питания, поддерживается постоянное давление р„ (здесь расположена добывающая галерея)' (рис. 4.6). Направим ось координат Ох вдоль линии тока, ось Оу — вдоль контура питания.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
