К.С. Басниев, А.М. Власов, И.Н. Кочина, В.М. Максимов - Подземная гидравлика (1132331), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Для полного исследования такого потока, как было выяснено ранее, достаточно изучить движение жидкости вдоль оси Ох. Дифференциальное уравнение Лапласа (4.4) при этом примет вид Уравнение движения для рассматриваемого случая, как следует из уравнений (4.12), будет иметь вид (4, 15) Р Нк Тогда, подставив выражение (4.14) для градиента давления, в (4.16) найдем скорость фильтрации Рк Рг Р Е (4.!6) Объемный расход жидкости в потоке определяется произведением скорости фильтрации ш на площадь поперечного сечения потока а = ВЬ, т. е.
Я=ив = — Р' Вй. К Ек (4.17) откуда (4.18) Подставив выражение (4.16) для скорости фильтрации в (4.18) и интегрируя в пределах от О до ! и отО дох, получим закон движения жидких частиц: гоаЕк х— (4. 19) х, к (Рк Рг) Рк Рг И Ек который, используя (4.17), можно представить в виде вь ! = — х= — х. гр О (4.20) Средневзвешенное по объему давление найдем из выражения порового пространства пластовое 1.
Р= г оор ) РЛ', р. роор (4.21) В нашем случае Укор = тВЬ1.„ Лгоор = тВ(н(х. (4.22) 57 Закон движения частиц жидкости 7 = 7' (х) найдем, используя соотношение между скоростью фильтрации ш и средней скоростью движения частиц жидкости р. Имеем Подставив в (4.2!) значения 1г„,р, Н)г„„из (4.22), р нз (4.13) и проинтегрировав, найдем р = ~ (р„— Р" Р" х)тВМх= о — — ~ (Ра — " ' х) пХ = — (Ркг к — Х с 2 ) 2 (4.23) Рг Ра Рз Рх Рг Рис, 4.8.
Гндродннамическое поле прямолинейно-параллельного фильтрацнонного потока Рис. 4.7. Изменение характеристик прямолинейно-параллельного фильтрационного по~ока вдоль линии тока (4.24) х = сонэ( представляет собой уравнение семейства изобар (линий равного давления) — семейства горизонтальных прямых, перпендикулярных к линии тока Ох. Поверхностями равного давления в таком потоке будут являться вертикальные плоскости, перпеидикуляриыс к линиям тока Ох.
Изобары и линии тока (в данном случае и траектории частиц жидкости) образуют два семейства взаимно перпендикулярных прямых линий. В установившемся прямолинейно-параллельном потоке семейством изобар будут равноотстоящие друг от друга поямые, перпен- 58 Таким образом, характеристики установившегося прямолинейно- параллельного потока несжимаемой жидкости в однородном пласте определяются соотношениями (4.13), (4.14), (4.16), (4.17), (4.19) н (4.23).
Анализ этих формул приводит к следующим выводам. Пластовое давление (4.13) распределяется вдоль линии тока (оси Ох) по линейному закону (рис. 4.7). В любой плоскости уОг давление одинаково во всех точках, для которых постоянна абсцисса х, т. е. уравнение дикулярные к оси Ох, а семейство траекторий будет представлено прямыми, равноотстоящими друг от друга и параллельными оси Ох (рис. 4.8).
Совокупность изображенных на чертеже изобар и траекторий частиц жидкости называют гидродинамическим полем данного потока. Градиент давления дрых (4.14), скорость фильтрации ш (4.1б) и расход (дебит) жидкости Я (4.17) постоянны вдоль потока (ие зависят от х) (см. рис. 4.7). Тот факт, что на рис. 4.8 изобары и траектории представлены равноотстоящими параллельными прямыми, подтверждает постоянство градиента давления и скорости фильтрации в любой точке потока. Как и следовало ожидать, зависимость между временем 1 и координатой х (4.19) получилась линейная, ибо в рассматриваемых условиях фильтрационный поток движется с постоянной скоростью. Средневзвешенное пластовое давление р (4.23) равно полусумме значений давлений р„ и р„ на границах потока, что также находится в полном соответствии с линейным распределением (4.13) давления в пласте.
Плоскорадиальный фильтрационный поток Будем считать, что несжимаемая жидкость притекает к гидроди- НаМИЧЕСКИ СОВЕРШЕННОЙ СКВажИНЕ РаДИУСОМ бь РаСПОЛОжЕИНОй в центре однородного горизонтального кругового пласта постоянной толщины Ь. На внешней круговой границе пласта радиусом Я„ служащей контуром питания, поддерживается постоянное давление р, на забое скважины давление р, тоже постоянно.
Движение жидкости установившееся. Дифференциальное уравнение (4.4) для случая плоского фильтрационного потока имеет вид д'р д'р — + — =О. дх' ду2 (4. 25) Можно упростить исследование плоскорадиального потока, если уравнение Лапласа (4.25) представить в цилиндрических координатах г и Ч~. В данном случае вследствие осевой симметрии характеристики потока не зависят от угла ~р и являются функциями только координаты г. Здесь мы дадим более наглядное решение этой задачи, минуя формальное преобразование координат. Используем для этого схему течения в трубке тока переменного сечения. Пусть ось цилиндра радиуса г г, (где г, — радиус скважины) совпадает с осью г. Тогда для плоскорадиального потока шроизвольная трубка тока с центральным углом ф и площадью фильтрационной поверхности а (г) = ~ргй имеет вид, представленный на рис.
4.9. 59 — =0 и — 1 — — ~ргй) =О. аО и гз лр с!г Иг и йг Отсюда, сокращая на постоянные величины й, р, Й и !р, получаем — (г Р 1 = О. (4.26) йг ~ ог / Уравнение (4.26) в развернутом виде запишется так: — + — — =о. Пср 1 йр' (4. 27) с1га г ог Рис.
4.9. Трубка тока в плоскорадиальнои по- токе Это и есть дифференциальное уравнение Лапласа в полярных координатах для установившегося плоскорадиального фильтрационного потока несжимаемой жидкости по закону Дарси. Дважды проинтегрировав уравнение (4.26), получим его общее решение. Находим последовательно йр йр 1 г — = С„или — = Са —, с1г Иг (4.28) с(р = С, —, откуда р = Са 1п г+ Са. лг и Постоянные интегрирования С„и С, находятся из граничных условий, которые в данном случае можно записать в виде р=р, при г=г;, р = р при г=)ек. (4.29) Подставляя граничные условия (4.29) в общее решение (4.28), находим р =Са1пгс+Са! Р„=Са 1п)та+Си, откуда Рк Рс (4.30) 1п— лк "с 1п г,= рк — Рк Р' 1п)ьк. (4.31) ок 1п— гс Рк — Рс Са=рс— 1п— Юк Так как г = )т„— з, а с(з = — дг, в соответствии с законом Дарси можно записать: ь лр а лр Я = — — — со (з) = — — ргЬ.
1с Иа 1с аг Поскольку при установившемся движении несжимаемой жидкости расход аГ сохраняется вдоль оси г струйки, имеем Подставляя (4.30) и (4.31) в общее решение (4.28), получим закон распределения давления в плоскорадиальном потоке: р=р,+ " ' 1п — =рк — " ~' 1п —" (4.32) ~к к Сс 1ск с 1п— 1п— ~с ~с Градиент давления дрlдг определим из (4.28), подставив в него значение Сг из (4.30): иР Рк Рс (4.
33) ~с к 1и к сс Тогда скорость фильтрации и дебит скважины соответственно ссп Ь Рк Рс 1 (4. 34) 1и —" сс Я=ва(г) = — ' ' — 2пгй, Р» Рс ик 1п— сс откуда откуда Ж= — — й. Р/ Подставляя сюда значение скорости фильтрации в из (4.34) и интегрируя в пределах от 0 до 1 и от Яи до г, получим закон движения жидких частиц: сс к ис1с 1п— Ь (Рк Рс) ~Д,к има (юг,а) 2 0 (4. 36) где Яи — начальное положение частицы жидкости в момент времени г = 0; и — текущее положение частицы жидкости в момент вре- мени 1. 61 (4.35) И ик !и— с Формулу (4.35) называют формулой Дюпюн по фамилии ее автора. Закон движения частиц жидкости вдоль их траекторий найдем из соотношения скорости фильтрации и средней скорости движения жидкости Время Т отбора всей жидкости из кругового пласта радиусом Я получим, если в (4,36) подставим вместо Яо радиус контура питания 1т„, а вместо г — радиус скважины г,.
Тогда Т = птй ()т'„— г~)Д~. (4.37) Вычислим средневзвешенное по объему порового пространства пластовое давление ! Р = 1 РП)'оор ~ "ор рро лор Здесь р'„,р — — и (1т'„— г,') Ьп — полный поровый объем в пласте радиусом й'о, '~'пор = и (г' — г~) Ьп — об~ем пор в части пласта радиусом г. Используя эти величины и формулу (4.32) для давления р, на- ходим лр ро о откуда после интегрирования получим Р= ров к ро (4.38) 0 2па» К= —:= ар лк р 1и —" (4.39) При вычислении интеграла предполагали, что ро (( 1т„. Таким образом, характеристики установившегося плоскорадиального потока несжимаемой жидкости в однородном пласте определяются по формулам (4.32) — (4.38).
Проанализируем эти соотношения. Прежде всего отметим, что во все выведенные формулы входят разности давлений, поэтому под величинами Р, и Р. можно подразумевать как абсолютное, так и избыточное давление. Дебит скважины, как следует из формулы Дюпюи (4.35), прямо пропорционален перепаду давления ЛР =- Р, — р, и одинаков через любую цилиндрическую поверхность, соосную скважине, т. е.
от г не зависит. График зависимости дебита от перепада давления называется индикаторной диаграммой. Следовательно, в рассматриваемом потоке индикаторной линией является прямая (рис. 4.10). Отношение дебита скважины 9 к перепаду давления Лр называется коэффициентом продуктивности скважины К. Из формулы (4.35) находим Рос. 4.10. Индикаторная диаграмма плоскорадиального потока несжимаемой жидкости по закону Дарси .Рис. 4.11. График зависимости градиента давления и скорости фильтрации от расстояния до центра скважины Размерность коэффициента продуктивности К, как это следует из формулы (4.39), будет (К! = (ма/с)/Па =- (м' с)/кг.
Если при исследовании скважины замерены ее дебит и перепад давления, известны толщина пласта, вязкость нефти в пластовых условиях, радиус скважины и радиус контура питания, то из формулы Дюпюи можно определить проницаемость пласта !гр!ив '»» й= 2яь (р» — р,) Как видно из формул (4.33) и (4.34), градиент давления !/Р/!/и и скорость фильтрации ги в любой точке пласта обратно пропорциональны расстоянию г от этой ~очки до оси скважины. График зависимости градиента давления и скорости фильтрации от координаты г, изображенный на рис. 4.И, представляет собой равнобочную гиперболу. Из графика видно, что при приближении к скважине и градиент давления, и скорость фильтрации резко возрастают, достигая максимального значения на стенке скважины. Этот вывод совершенно очевиден и из самого определения скорости фильтрации как отношения объемного расхода жидкости к площади фильтрационной поверхности: ш =- 14/вз = Я/(2пгп).
Из формулы (4.32) следует, что давление в пласте распределено по логарифмическому закону. Графиком зависимости р — -- Р (г) является логарифмическая кривая, изображенная на рис. 4.12„ вращение которой вокруг оси скважины образует поверхность, называемую воронкой депрессии. Необходимо отметить, что в точках г = )с„кривая распределения давления не касается горизонтальной линии, а подходит к ней под некоторым углом. Воронка депрессии вследствие логарифмического закона распределения давления имеет большую крутизну вблизи скважины.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
