К.С. Басниев, А.М. Власов, И.Н. Кочина, В.М. Максимов - Подземная гидравлика (1132331), страница 17
Текст из файла (страница 17)
г.22, Зависимость суммарного дебита нефтяного месторождения от числа сква- жин Но для плоскорадиального потока откуда с(Ф = им1Г .= — —, 4 иг 2я г и после интегрирования получим выражение потенциала для то- чечного стока на плоскости Ф=- — 1пг+С, 9 2а (7. 73) где С вЂ” постоянная интегрирования. Таким образом, потенциал в окрестности скважины-стока пропорционален логарифму расстояния г от стока (центра скважины). При г = О и г = со функция 1п г обращается в бесконечность, поэтому потенциал в этих точках теряет смысл.
Для точечного источника справедливы все написанные формулы, ио дебит д считается отрицательным (д(0). Из формулы (4.73) следует, что линиями равного потенциала '(эквипотеициалами) являются окружности г = сопи(. Найдем теперь потенциал точечного стока в пространстве. Движение вблизи такого стока будет радиально-сферическим. Поэтому скорость фильтрации гв= ф(4пга) =г(ФЫг, 83 откуда дг бФ= —— 4л г' и потенциал точечного стока в пространстве Ф= — — +С. О 4лг (4.74) Для потенциала точечного источника знак дебита в формуле (4.74) заменяется на противоположный.
Как следует из формулы (4.74), потенциал точечного стока в пространстве обращается в бесконечность при г = О, а при г = со остается конечным (равным С). Модель точечного стока в пространстве будет использована в дальнейшем для решения задач о притоке жидкости к гидродинамически несовершенным скважинам. Отметим, что метод источников и стоков очень удобен, он широко используется при решении не только задач фильтрации, но и задач, связанных с обтеканием различных тел в потоке жидкости Применяется этот метод и в задачах теории теплопроводности, электричества и магнетизма. На основе свойств уравнения Лапласа, которым описывается распределение давления и потенциала в установившихся потоках жидкости в пласте (см.
~ 1), в подземной гидравлике разработан метод решения сложных гидродинамических задач, названный методом суперпозиции (методом наложения). Математический смысл метода суперпозиции заключается в том, что если имеется несколько фильтрационных потоков с потенциалами Ф, (х, у, г), Ф, (х, у, г),..., Ф„(х, у, г). каждый из которых удовлетворяет уравнению Лапласа, т. е. д2Ф; д2Ф; д'Ф; '+ '+ — '=О, 1=1, 2,..., л, дх~ ду~ дг~ то и сумма Ф = 2 С;Ф~ (где С; — произвольные постоянные) также ~=! удовлетворяет уравнению Лапласа.
Следует при этом подчеркнуть, что вариацией произвольных постоянных С; в суммарном значении потенциала можно удовлетворить всем граничным условиям. Гидродинамический смысл метода суперпозиции состоит в том, что изменения давления и потенциала в любой точке пласта, вызванные работой каждой скважины (добывающей или нагнетательной), алгебраически суммируются в каждой точке пласта. При этом суммарная скорость фильтрации находится как сумма векторов скоростей фильтрации, вызванных работой каждой скважины. В4 усть на неограниченной плоскости располо ков (рис. 4.23). Потенциал каждого из них я по формуле (4.73): Ф, = ч' 1пг,+с„Ф,= ча 1пга+Се н 2н П жено п источников и сто в точке М определяетс 2 Ф„=- ~" 1пг,+ С„, 2п где г„г„..., гв — расстояния от первого, второго,..., и го стоков до точки М; фф..., ф— постоянные.
Рис. 4.2З. Схема скоростей фильтрации в точке М при работе источников и стоков на неограниченной плоскости (а) н результирующий вектор скорости фильтрации в точке М (б) Каждая из функций Ф,, Ф„..., Ф„удовлетворяет уравнению Лапласа. Тогда сумма потенциалов а Ф.=Ф,+Ф,+ ..
„+Ф„== — ~ дг1пг,+С, (4.75) 2н С=С,+С,+... ~-С„ также удовлетворяют уравнению Лапласа. Физически это означает, что фильтрационные потоки от работы каждого источника или стока накладываются друг на друга. В этом и заключается принцип суперпозиции, или сложения течений Вектор скорости фильтрации гв в точке М (рис. 4.23, б) гв =- гвт + гва+...
+ гою (4. 76) где гв, =- дг((2пг,), гва =- да((2пга), ю, =- дв/(2пг„). Метод суперпозиции можно использовать не только в бесконечных пластах, но и в пластах, имеющих контур питания или непроницаемую границу той или иной формы. В этом случае для выполнения тех или иных условий на границах приходится вводить фиктивные скважины-стоки или скважины-источники за пределами 65 пласта.
Фиктивные скважины в совокупности с реальными обеспечивают необходимые условия на границах. При этом задача сводится к рассмотрению одновременной работы реальных и фиктивных скважин в неограниченном пласте. Этот метод называется методом отображения источников и стоков. Рассмотрим здесь использование методов суперпозиции и отображения источников и стоков на некоторых задачах, имеющих практическое применение в теории разработки нефтяных и газовых месторождений.
Приток жидкости к группе скважин в пласте с удаленным контуром питания Пусть в горизонтальном пласте толщиной Ь расположена группа скважин А„А„..., Ал радиусами г,о работающих с различными забойными потенциалами Ф,г, где =-1, 2,..., и (рис. 4.24). Рис. 4.24. Схема группы скважин в пласте с удаленным контуром питания Расстояния между цен- трами 1-й и1-й скважин известны (гп = ггг). Так как контур питания находится далеко от всех скважин, то можно приближенно считать, что расстояние от всех скважин до всех точек контура питания одно и то же и равно 77,.
Потенциал Ф, на контуре питания считается заданным. Требуется определить дебит каждой скважины и скорость фильтрации в любой точке пласта. Потенциал в любой точке пласта М определяется по формуле (4.75). Поместив мысленно точку М последовательно на забой каж.дой скважины, получим выражения для забойного потенциала на них Фс, = — (4,1пгс, +Чз!пгтз+рз!пгтз+ °, + дл1пгит)+С; 1 2п 1 Ф,„= — (дт 1п г„+ дз 1п г„+ дз 1п г„+... + д„1п г,„) + С; (4.77) Фел = (с1т 1П гав+ тлз 1П газ + с(з 1П глз + ° ° ° + Чл 1П Гс л) + С ° 1 2п ,Зб Здесь приближенно принято, что расстояние от точки на стенке данной скважины 1 до центра любой друюй скважины 1 равно расстоянию между центрами этих скважин, так как г„. (( г„.
(1 Ф 1). Система (4.77) состоит из п уравнений и содержит и + 1 неизвестных (и дебитов скважин и постоянную интегрирования С). Дополнительное уравнение получим, поместив точку М на контур питания: Ф, — (п,1п)7л+дг1пй„+... +с)„1пй,)+С. (4.78). 2Л Вычитая почленно каждое из уравнений (4.77) из (4.78), исключим постоянную С и получим систему из п уравнений, решив которую, можно определить дебиты скважин 9„9„..., д„, если заданйзабойные Фс Фсс ° ° Фсл и контурный Ф, потенциалы Точно так же можно решить и обратную задачу определения потенциалов по известным дебитам с)г (1 = 1, 2,..., и).
Имеем: Ԅ— Ф,л = — 1 д,1п — + с)с 1п — +... + д„1п — 1 1 7 Я„ лл лл глс глс гсл Скорость фильтрации пг в любой точке пласта М определяется как геометрическая сумма скоростей фильтрации, вызванных работой каждой скважины: л сп ш= х шь шг =)агг! = г=1 2пп ш; направлена по радиусу от точки М к данной скважине-стоку. Если на месторождении находятся в эксплуатации десятки, а то и сотни скважин, то, очевидно, надо составить десятки или сотни таких уравнений, как (4.77).
Решение такой сложной системы уравнений возможно с помощью ЭВМ. Приток жидкости к скважине в пласте с прямолинейным контуром питания Пусть в полубесконечном пласте с прямолинейным контуром пи- тания, на котором потенциал равен Ф„, работает одна добывающая скважина А с забойным потенциалом Ф, (рис. 4.25). Необходимо найти дебит скважины д, потенциал и скорость фильтрации в лю- бой точке пласта. зт Фк — Фсс — — — Дс1П вЂ”, с)с!П вЂ” + 1 г ял, й„ 2з гсс гм г лл Фл — Фсс = — г)с!п — + с)с 1п — + 2п (, гм гсс . +с)„1п — ~; ял ~ гсл .. +4.1п — ~; ял х ггл (4. 79). Рис. 4.2б. Схема притока жилкости к ' скважине в пласте с прямолинейным контуром питания Рис.
4.2б. Схема пласта с различными . контурами питания Если бы пласт был неограниченным или контур питания был бы кругом, в центре которого расположена скважина, то потен- ', циал в любой точке пласта находился бы по формуле (4.73). При; этом условие постоянства потенциала на прямолинейном контуре, питания не выполняется, так как расстояние г разных точек контура питания от скважины А неодинаково. Для решения задачи используем метод отображения источников и стоков. Зеркально отобразим скважину-сток А относительно контура питания и дебиту скважины-изображения А' припишем противоположный знак, т. е. будем считать ее скважиной источником.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
