К.С. Басниев, А.М. Власов, И.Н. Кочина, В.М. Максимов - Подземная гидравлика (1132331), страница 20
Текст из файла (страница 20)
А. Чарным получено выражение дополнительного фильтрационного сопротивления с использованием формулы Маскета (4.100) в виде Сравнивая дебиты совершенной скважины (формула Дюпюи) н несовершенной скважины (4,102), получим выражение коэффициента совершенства скважины в следующем виде: ок 1и— б=- !и — +о Рк Рис. 4,бб. Линии тока к несовершенной скважине Иногда бывает удобно ввести понятие о приведенном радиусе скважины г„т. е. радиусе такой совершенной скважины, дебит которой равен дебиту данной несовершенной скважины: — с и,=- г,е Тогда формулу (4.102) можно заменить следующей формулой: 2ийй (ре — Рс) Р» 1т!и = тс И. А.
Чарный предложил следующий способ определения дебита скважины несовершенной по степени вскрытия, если величина вскрытия пласта Ь мала (Ь (< 6). Область движения условно разбивается на две зоны (рис. 4.3б). Первая находится между контуром питания и радиусом )се, равным или большим толщины пласта Яе > Ь, в этой зоне движение можно считать плоскорадиальным. Вторая расположена между стенкой скважины и цилиндрической поверхностью Р„где движение будет пространственным. Обозна- 100 чим потенциал пРи г = йоо чеРез Фо.
Тогда длЯ зоны )та ~ г < йок можно записать формулу Дюпюи 2иа (Ф» — Фа) (4.103) кк 1и— )со Для зоны г, ( г ( )т'„считая здесь приближенно движение радиально-сферическим между полусферами радиусами г, и 1(„ имеем Я = ' ' ' = 2пгс(Фа — Фс) (4.104) 1 1 гс Юа Из формул (4.103) и (4.104) по правилу производных пропорций получается формула для дебита скважины 2и (Фк Фс) ик — !и +— )со гс Принимая 11оо = 1,5 6, имеем окончательную формулу для дебита несовершенной скважины„вскрывшей пласт на малую глубину: 2и (Фк — Фс) ! кк ! — !и — +— Ь 15И ' гс Задачи притока жидкости к скважинам, гидродинамически несовершенным по характеру вскрытия пласта, и к скважинам с двойным видом несовершенства еще сложнее для исследования, чем приток к несовершенным по степени вскрытия пласта скважинам.
й 7. УСТАНОВИВШИЕСЯ БЕЗНАПОРНЫЕ ФИЛЬТРАЦИОННЫЕ потоки жидкости Безнапорное движение жидкости — это такое движение, при котором пьезометрическая поверхность совпадает со свободной поверхностью фильтрующейся жидкости, над которой давление постоянно. При неподвижном состоянии жидкости ее свободная поверхность горизонтальна, в процессе движения она искривляется, понижаясь по направлению потока.
Безнапорное движение в добыче нефти встречается при шахтной и карьерной разработке нефтяных месторождений. Задачи безнапорного движения интересуют в большей степени гидротехников, например при фильтрации воды через земляные плотины, притоке грунтовой воды к скважинам и колодцам и др. Крометого, задачи безнапорной фильтрации представляют большой теоретический интерес. Они значительно труднее, чем аналогичные задачи напорного движения.
Главная трудность точного решения задач без- 101 напорной фильтрации заключается в том, что неизвестна форма области, занятая грунтовым потоком. В напорной фильтрации форма области потока известна, так как непроницаемые кровля и подошва пласта фиксированы. В работе П.
Я. Полубариновой-Кочиной (!б) приведены некоторые точные решения задачи о движении через прямоугольную перемычку и дается подробная библиография по этому вопросу Рассмотрим приближенную теорию безнапорного установившегося движения жидкости по закону Дарси, которая известна под названием гидравлической теории Дюпюи — Форхгеймера. Возьмем прямоугольную перемычку (плотину), через которую происходит фильтрация жидкости (рис.
4.37). Рме. 4,37. Схема безиаиориого течения через прямоугокь- иую перемычку Уровень жидкости Н, называется верхним бьефом, уровень Н, — нижним бьефом. Свободная поверхность жидкости, фильтрующейся через тело плотины, называется депрессионной (пьезометрической) поверхностью (кривая АВС). Свободная поверхность выходит на правую грань всегда выше нижнего бьефа. Величина ВС называется промежутком высачивания. Гидравлическая теория безнапорного движения основывается на следующих допущениях: горизонтальные компоненты скорости фильтрации распределены равномерно в любом поперечном сечении потока; давление вдоль вертикали распределено по гидростатическому закону, т. е. напор определяется по формуле Н=г+ ~ =Н(х, у).
рз (4. 105) Таким образом, напор вдоль каждой вертикали предполагается постоянным. Считая давление на свободной поверхности атмосферным, т. е избыточное давление равно нулю, из (4.105) получаем, что напор 102 равен глубине потока Н =й. Горизонтальная компонента скорости фильтрации постоянна вдоль вертикали нь и =- — с— Их где с =- йрй7р — козффициент фильтрации. Вертикальная компонента скорости фильтрации равна нулю. Расход жидкости на единицу ширины потока д, т. е.
через прямоугольник высотой Ь и единичной шириной, будет равен: д=ий!= — сй —. (4.106) йх Из формулы (4.106) найдем уравнение свободной поверхности. Разделяя переменные и интегрируя, получаем са2 дх = — + сопз1. 2 Здесь постоянная интегрирования сопз1 находится из граничного условия Ь = Н, при х = 0 и равна 2сНь 1 2 Тогда уравнение свободной поверхности принимает вид дх=с(Н~~ — Ь )!2. (4. 107) Отсюда легко найти глубину потока Ь в любом сечении х. Пре1(варительно найдем расход жидкости Ф Подставляя в (4.107) второе граничное условие й = Н, прн х = 1, получим Ч"' М Н2) (4.108) 21 и расход жидкости Я через плотину шириной В будет (Н~~ — Н22) =- ( ' 2) (4.109) 21 2!и Форму депрессионной поверхности (пьезометрической линии АС) найдем по формуле (4.107); подставив в нее выражение (4.108) для расхода д, получим й= Н вЂ” ' 'х.
(4.1 10) 1 Таким образом, согласно гидравлической теории безнапорного движения, пьезометрическая линия АС является параболой, что, строго говоря, не отражает реальную картину течения. Это ясно нз следующих соображений. Из формулы (4.110) прн Н, = 0 у выхода в нижний бьеф (при х = 1) получаем Ь = 0 и„следовательно, бесконечную скорость фильтрации и = фй, что физически не- 103 а расход жидкости через боковую поверхность цилиндра Я = ~ сп, ~ 2игй =- с — 2пгй. ой кх (4.111) Рис. 1.оа.
Схема беэнапорного притока к совершенной сква- жине Разделяя в (4.111) переменные и интегрируя, получаем О 1п г = исйв+ сопз1, где постоянная интегрирования (сопз1) находится из граничного условия на контуре питания й = Н„ при г = )т,. Тогда имеем Я1п —" = пс (На — й ), (4. 112) Г откуда найдем дебит жидкости, подставив второе граничное условие (на забое скважины) Ь =- Н, при г = г,, В результате по(Нк — Вс) паря (О' — Н') (4.113)~ А'» 1и— гс р 1п— йк го 104 возможно. Следовательно, в действительности должно быть Ь ~~Н„т.
е. должен существовать промежуток высачивания ВС, и пьезометрическая кривая будет иметь вид АВС, а не АС. Рассмотрим теперь схему установившегося безнапорного притока жидкости к совершенной скважине (или колодцу) (рис. 4.38). Пусть на расстоянии )ск уровень грунтовых вод постоянен и равен Н„в скважине установлен постоянный уровень Н,. Скорость фильтрации на расстоянии г от оси скважины будет оа сн = — с— Г й Разрешив уравнение (4.112) относительно й, найдем уравнение депрессионной кривой АС Н„вЂ” — " — '1п —" .
(4.114) Пк г 1п— гх Формулы (4.109) и (4.113) называются формулами Дюпюи. В дальнейшем (в гл. 5) увидим, что теория безнапорного движения грунтовых вод имеет аналогию с совершенно другой задачей подземной гидромеханики — задачей фильтрации газов в пористой среде.
Если движение жидкости в пласте подчиняется нелинейному закону фильтрации в=С( — — ), 1«п«2, да ~1 х дх то формулы для дебитов будут иметь следующий вид: 1) при фильтрации через перемычку -~" ") (л + !) 1 2) при притоке к совершенной скважине д-ис(" ' " * ). й 8.
РЕШЕНИЕ ПЛОСКИХ ЗАДАЧ ФИЛЬТРАЦИИ МЕТОДАМИ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО Задачи установившейся фильтрации несжимаемой жидкости на плоскости можно решить при помощи методов теории функций комплексного переменного. Следует отметить, что этими методами некоторые классы задач можно решить проще и полнее, чем другими методами. Напомним основные понятия теории функций комплексного переменного.
Функция Е (г) комплексного переменного г = х + гу описывается выражением г (2) = М +1111, (4. 115) где М и Л' — функции двух действительных переменных х и у; М = — М (х, у), АГ = )х' (х, у); 1 — мнимая единица. Необходимым и достаточным условием того, чтобы функция Е = — М + 1АГ была функцией комплексного переменного г„является выполнение соотношений Коши — Римана (в некоторых руководствах эти соотношения называются условиями Д'Аламбера— Эйлера) дМ дУ дМ дУ (4.116) дх ду ' ду дх 105 При выполнении условий (4.116) функция Е (г) имеет производную по г, т. е.
производная йГЫг имеет одно и то же значение независимо от того, по какому направлению выбирается бесконечно малый отрезок х(г. Кроме того, функции М (х, у) и й! (х, у) удовлетворяют уравнению Лапласа, т. е. являются гармоническими функ- циями дйМ д~М д~У, д~У вЂ” + — =0; + =-.о. дх' дух дх' ду' (4.117) Рассмотрим плоский установившийся поток несжимаемой жидкости. Компоненты скорости фильтрации запишем через потенциал скорости фильтрации Ф (х, у) (см.
5 1): ш„= — дФ/дх, шу = — дФ!ду. (4.118) Из уравнения неразрывности, которое в данном случае имеет вид + д"Ъ 0 дх ду (4. 1! 9) следует, во-первых, что потенциал Ф удовлетворяет уравнению Лапласа (это уже было показано в э 1) — + =О, дЧВ дэФ (4.!20) дх' ду~ и, во-вторых, что существует функция Ч' (х, у), называемая функцией тока, такая, что ш„= — дЧг1ду; ш„= дЧ"!дх. (4. 121) Сравнивая соотношения (4.!18) и (4.121), видим, что функции Ф и Ч' удовлетворяют условиям Коши — Римана (4,11б): дФ дЧ' дФ дЧ' (4.122) дх ду ду дх Это означает, что функция Г = Ф т !Чг — характеристическая функция течения, или комплексный потенциал,— является аналитической функцией комплексной переменной г =- х + !у, Покажем, что функция тока Чг сохраняет постоянное значение вдоль линии тока.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
