К.С. Басниев, А.М. Власов, И.Н. Кочина, В.М. Максимов - Подземная гидравлика (1132331), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Умножив правую и левую части уравнения (5.!3) на плотность флюида р (р) и использовав соотношение (5.12), имеем 1,1,„= — — р (р) — а (з):.= — — — в (з), Я == сопз!. ь нр ь ыу и СП Р ~й (5. 1 4) Нетрудно видеть, что выражения (5.13) и (5.14) являются однотипными дифференциальными уравнениями, в которых объемному расходу несжимаемой жидкости Я соответствует массовый расход сжимаемого флюида 1~, а давлению р в уравнении (5.13) соот- 1!5 ветствует функция Лейбензона У в уравнении (5.14). Об этой же аналогии свидетельствует тот факт, что уравнению Лапласа (5.9) при установившейся фильтрации сжимаемого флюида удовлетворяет функция Лейбензона ма (5.11), а при аналогичной фильтрации несжимаемой жидкости этому уравнению удовлетворяет давление р из (4.4). Уравнения движения (5.2) для несжимаемой жидкости связывают скорость фильтрации ш с давлением р, а для сжимаемого флюида — массовую скорость фильтрации ртц с функцией Лейбензона э.
из (5.5). Отсюда следует вывод, что все формулы, полученные для установившейся фильтрации несжимаемой жидкости по закону Дарси, можно использовать и для установившейся фильтрации сжимаемого флюида в пластах той же геометрии и при тех же граничных условиях, заменив переменные по аналогии между установившейся фильтрацией сжимаемого флюида и несжимаемой жидкости. Несжимаемая жидкость Сжимаемый флюид Объемный расход Массовый расход Давление Фуякция Лейбенаона Объемная скорость фильтрации Массовая снорость фильтрации Подчеркнем, что при фильтрации сжимаемого флюида под давлением р понимается абсолютное давление.
(5 15) Если р (р — р,) (< 1, то можно взять уравнение состояния упругой жидкости в виде (3.14). Тогда из (5.15) получим следующее выражение для функции Лейбензона У вЂ” -- РЯ (1+1 ( — ра))+С=рар+Сы рж Подставив (5,16) в дифференциальное уравнение (5.9), получим т1алт =- Т'я (р р + С ) = р г1яр =- О. (5.1?) Из соотношений (5.15) и (5.17) следует, как отмечалось ранее (3 4, гл. 3), что при установившейся фильтрации упругой жидкости плотность можно считать постоянной.
Следовательно, при решении практических задач, связанных с установившейся фильтрацией упругой жидкости, можно пользоваться формулами, выведенными для установившейся фильтрации несжимаемой жидкости. Заметим, однако, что этот вывод может оказаться неверным, если рассматривается фильтрация упругой жидкости в пласте с 11Б й 3. УСТАНОВИВШАЯСЯ ФИЛЬТРАЦИЯ УПРУГОЙ ЖИДКОСТИ Найдем выражение функции Лейбензона для упругой (слабосжи.маемой) жидкости, описываемой уравнением состояния (3.13): У= ) рддр+С вЂ”.
~роев (и ~а)с(р+С= = — е +С=- — -(-С. ре рж (я яе) Р рж рж очень высоким пластовым давлением и при большой депрессии. В этом случае соотношение (5.16), вообще говоря, дает большую погрешность, при расчетах следует использовать функцию Лей- бензона в виде (5.15). $4. ПРЯМОЛИНЕЙНО-ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ФИЛЬТРАЦИОННЫЙ ПОТОК ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА Исследуем установившийся прямолинейно-параллельный фильтрационный поток идеального газа. Предварительно найдем функцию Лейбензона для идеального газа, используя уравнение состояния ,у=-~рт(р-РС= ~ Р" Рт(р+С= Р" рк+С. (5.18) Рат 2Р»т Газовый пласт показан на рис.
4.6. Используя аналогию между течением несжимаемой жидкости и течением газа (см. стр. 116), найдем характеристики фильтрационного потока газа по аналогии с соответствующими характеристиками потока несжимаемой жидкости, описанными в З 2, гл. 4. 1. Распределение давления в прямолинейно-параллельном фильтрационном потоке несжимаемой жидкости р=р — х Ек (5.19) При фильтрации газа аналогичное соотношение справедливо для функции Лейбензона: У= — У вЂ” " " х (5.20) Ек Подставив в (5.20) выражение (5.18) функции Лейбензона и имея в виду, что — рк+ С; 2Рат У„= Р" р„+ С, (5.21) 2Рат найдем распределение давления в прямолинейно-параллельном потоке идеального газа 2 а к Рк Рг Р ='Ц Рк— х Ек (5.22) КР Р» Рг Ек (5.23) ПТ Следовательно, давление по длине пласта изменяется по параболическому закону (рис.
5.1, кривая 1). Зависимость р' =- 1'(х)— прямолинейная. 2. Градиент давления в потоке несжимаемой жидкости имеет вид (5.25) откуда т 2 — — — * " —, (5.26) Х кк 2Ек р где давление р определяется по формуле (5.22). График распределения градиента давления в фильтрационном потоке газа изображен на рис. 5.1, кривая 2. Градиент давления не остается постоянным, как в случае несжимаемой жидкости, а возрастает при приближении к галерее.
3. Объемный расход несжимаемой жидкости в рассматриваемом одномерном потоке Рнг. о.1. Крнвые распределения давленая (1) н граднента давления (2) в прямолинейно-параллельном потоке газа — " Вй (5.27) )а Ек где  — ширина потока; Ь вЂ” толщина пласта. Подставив в (5.27) вместо объемного расхода Я массовый расход газа 9 и вместо давления функцию Лейбензона, получим Рат ( з е) Ю = " " ВЙ =- — Р" Вй. (5.28) и 1-к Ек Объемный расход газа, приведенный к атмосферному давлению, выражается формулой Аналогично (5.23) градиент функции Лейбензона для поток газа можно записать в виде як ~г (5.24) и Лифференцируя по х выражение (5.18), подставляя в (5.24): н используя (5.21), получим распределение градиента давления, в фильтрационном потоке газа '!Ф г« 2 2 Рат Рк Рат Рг — Рат 2 Рат 2 Ек (5.29) жидкости (5.30) 11В Р'„— Р~ Рат РРат 2Ек 4.
Вместо скорости фильтрации для несжимаемой Рк пг ге=в Ек 2 2 Рат Рат Р» Рт или — рпт = — — ", (5,31) Рат и Рат 2Е» откуда Р» Рт ! (5.32) 2Р Ек Р Так как скорость фильтрации пропорциональна градиенту давления (5.26), то ее график аналогичен графику градиента давления (см. рис. 5.1, кривая 2). Физически возрастание скорости фильтрации вдоль газового пласта происходит за счет расширения газа при снижении давления.
5. Определим средневзвешенное по объему порового пространства, занятого газом, пластовое давление. По определению (5.33) в нашем случае У, = ВАВ»т; ДУ, = Вйт3х. Тогда р = 1 ~/ р„— ' " х Вйтг!х. (5.34) ВаЕ»тк ~ Ек о После интегрирования (5.34) получим з з 2 Р» Рт 2 3 Р2 — Р2 к г (5.35) 4 3. плоскОРАдиАльный ФильтРАционный пОтОк ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА ПО ЗАКОНУ ДАРСИ Плоскорадиальный фильтрационный поток имеет место в круговом пласте радиусом !с„в центре которого имеется совершенная скважина радиусом г, (рис.
4.4). Характеристики такого потока найдем, зная характеристики подобного потока несжимаемой жидкости (см. 2 2, гл. 4), заменив искомые функции в соответствии с аналогией на стр. 116. 1. Распределение пластового давления в потоке несжимаемой жидкости определяется по формуле (4.3!): (5.36) 1п— кк та 119 при фильтрации газа аналогично определяется массовая скорость фильтрации, т. е. рта ==- Е.к По такому же закону будет распределяться в фильтрационном потоке газа функция Лейбензона Я Я.
~ — ~ 1п (5.37) ик !ив гс Подставив в (5.37) выражение функции Лейбензона из (5.18), получим закон распределения пластового давления в плоскорадиальном фильтрационном потоке идеального газа 2 2 2 Рк Рс к р = рй — 1п —. ик !и— гс (5.38) В случае установившейся плоскорадиальной фильтрации газа по такому же закону будет изменяться градиент функции Лейбензона: кк кс (5.40) йк г 1и— гс Переходя от функции Лейбензона к давлению, получим 1 Рат 2 1 Рат г Р— Р к с Рат г!Р 2 Рат Рат 1 р Ра йк г 1и— Гс откуда (5.41) 21и —" ~с Из последней формулы следует, что градиент давления вблизи забоя резко возрастает как за счет уменьшения г, так и за счет падения давления р.
120 Сравнение кривых распределения давления в пласте в случаях установившейся плоскорадиальной фильтрации газа и несжимаемой жидкости при одинаковых граничных условиях показывает, что в газовом потоке имеет место резкое падение давления вблизи .скважины и весьма малое вдали от нее (рис. 5.2). 2. Изменение градиента давления в зависимости от координаты г при плоскорадиальной фильтрации несжимаемой жидкости описывается формулой (4.32): (5.39) т!г !!к г !и— гс Раг Рг Рз Рис, о.2. Распределение давления в плоскорадиальном потоке несжимаемой жидкости и газа Ряс. о.а. Индикаторная линия при фильтрации газа по закону Ларси 3. Дебит газовой скважины получим, подставив ' в формулу Дюпюи (4.34) вместо объемного расхода несжимаемой жидкости Я массовый расход газа 1~ и вместо давления р функцию Лейбензона Я; г1 2пка ~н к'с 'сна аск 1п— гс (5.42) или и Рк Рс 1 пз =— Р А'к 1п— гс В плоскорадиальном потоке газа также будет изменяться массовая скорость фильтрации ргп = — э (5.45) 1п— гс (5.44) или Рат 2 1 Рат 2 — — Р— — — Р к с 2 Раз 2 Рат 1 Рат — )ка —— рат Р г 1и— я гс !2! ум "Дд Рк — Рс аа к с (5.43) Рат РРат 1п Йк гс Индикаторная линия при фильтрации газа строится в координатах ߄— (Рк — Дс) и, очевидно, в УстановившемсЯ плоскоРаг диальном потоке имеет прямолинейный характер (рис.
5.3). 4. Скорость фильтрации несжимаемой жидкости определяется по формуле (4.33): откуда "с тогда подынтегральное выражение в (5А8) равно и) 1 — х и при х<1 его можно разложить в ряд: 112 х х' хс 1/1 — х =- (1 — х) ' .= 1 — — — — — — —... 2 В 16 Удержав два первых члена ряда, будем иметь 2!п —" гс Тогда 1 — (и 1)2 )' 1 — '' 1п —" А'« гс я'.— ,' гй'. (5.49) Интегрируя по частям, подставляя пределы и пренебрегая членами, содержащими г„получим 1 — !яс рн)2 1— (5.50) 4 !ив ян гс Р» — Рс 1 ! г 2 1п,» гс 5. Определим средневзвешенное по объему парового пространства пластовое давление в плоскорадиальном потоке газа.
Оно определяется по формуле (5.33), в нашем случае )г„„, = яий (й„— г,); Л'пср —..-. 2пгЬпг(г, (5.47) а давление определяется по формуле (5.38). Подставив эти выра.жения в (5.33), получим 1 я К 2 Рн Рс Р = ( рн — 1п — 2лгЬЫг = ита(й„— г) ) 1 ян яс гс Ян 1 — ~'~" 1п — 'гс(г. (5.48) "» — с 3 я — г ) )и— ян с гс Полученный интеграл не берется в конечном виде. Поэтому расчет ведется приближенно. Обозначим х= ~~"Р'~ 1п ~", (О <х<1 при г, < г < )7,), Я» г !ив Если по формуле (5.50) провести расчеты для различных значений р„, р„)та, г„то можно убедиться, что средневзвешенное п.тастовое давление газа в круговом пласте р близко к контурному, р ж р„. Физически это объясняется значительной крутизной воронки депрессии при притоке газа к скважине. Средневзвешенное давление используется при определении запасов газа в пласте, а также для приближенного расчета гидродинамических характеристик; замена его контурным давлением значительно упрощает расчеты.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
