К.С. Басниев, А.М. Власов, И.Н. Кочина, В.М. Максимов - Подземная гидравлика (1132331), страница 25
Текст из файла (страница 25)
из аргументов, от которых зависит давление, можно составить один (безразмерный) комплекс. Обозначим через Р = (р — р„)l(р„— р„) безразмерное давление, которое, как следует из соотношений (6.16) и (6.17), зависит от времени 1, координаты х и коэффициента пьезопроводности х, т. е, Р=1(х, Г, х). Размерности этих аргументов таковы: (х! = 7., (1] = Т, (к) = 7'Т ', и из них можно составить один безразмерный комплекс х! ~~х~ . Приняв за новую переменную величину и = =х/(2 ~/к(), сведем задачу к нахождению безразмерного давления 133 Р, зависящего только от и: Р = ! (и).
При этом условия (6.17) переходят в следующие: Р=О при и=О; (6.18) Р=! при и=. ао. дР д'Р— =Х вЂ”. д! дх~ (6.19) По правилу дифференцирования сложных функций находим дР дР ди дР ди ! где дх 2 З/х! дх ди дх ди 2 З/х! дР дР ди дР х ( 1 дР и дР д д д дР дхх дх ( дх ) дх ( ди 2 З7х~' 1 д'Р ди 1 д'Р 2 З7х! ди~ дх 4х! ди~ Подставляя найденные значения производных в уравнение (6.19) получим обыкновенное дифференциальное уравнение д'Р дР +2и — =О, ди' ди (6. 20) которое должно быть решено при условиях (6.18). Для решения уравнения (6.20) обозначим ЙР!йи =- $, тогда уравнение (6.20) принимает вид — +2и$= О. ди (6.21) Разделяя переменные в (6,21) и интегрируя, получаем дР— и $= — =С,е ди (6.22) где С, — постоянная интегрирования. Интегрируя (6.22), будем иметь и Р = Сх ~ е "Ни.
Здесь использовано первое из условий (6.18). 134 (6. 23) В силу линейности дифференциального уравнения (6.16) для функции Р имеем такое же уравнение Второе условие (6.18) дает ! с,= В )" е и но о но из интегрального исчисления известно, что — и~( 'оп о . 2 поэтому 2 к 2 о/м Р= ~ е "йи. (6.24) о Интеграл в (6.24) называется интегралом вероятности и является табулированной функцией, изменяющейся в пределах от О до 1: "Т е "Йи=ег1( ). Таким образом, Р=ег1( ). Тогда закон распределения давления в неустановившемся прямолинейно-параллельном фильтрационном потоке упругой жидкости имеет вид к р = р„+ (р„— р„) ег11 ~. 2 1/и1 ) (6. 26) () А (дР) Й В~,(~Р) (б. 26) где В, й — соответственно ширина и толщина пласта.
135 Типичные кривые распределения давления в различные моменты времени в неустановившемся прямолинейно-параллельном потоке упругой жидкости к галерее, пущенной в эксплуатацию с постоянным забойным давлением р„= сопз1, показаны на рис. 6.1. Найдем дебит галереи Я. Будем считать положительным дебит, отбираемый из галереи (х = О, см. рис. 6.1), когда поток движется против оси Ох.
Согласно закону Дарси, имеем Рис. б.2. Графики зависимости дебита и добычи жидкости от времени после пуска галереи при условии сопзт Рис. 6.1, Кривые распределения давления в различныемоменты времени в неустановившемся прямолинейно- параллельном фильтрационном потоке упругой жидкости Дифференцируя выражение (6.26), получаем 1 = (Рк — Рг) (6. 27) Дебит галереи в любой момент времени найдем, подставив значение градиента давления дР/дх из (6.27) в выражение (6.26): (6. 28) р З/янт Из формулы (6.28) следует, что дебит галереи убывает с течением времени как 1/т/ /и при 1-ь оо стремится к нулю. В начальный момент времени решение (6.28) равно бесконечности, что является следствием скачка давления на галерее (от Р, до Р„) в этот момент времени.
Накопленная к моменту 1 добыча 11к,а определяется по фор- муле р т/ям,! ~уе о о 2й (р» — рг) ВЛ т, е. сразу после начала отбора из галереи она быстро возрастает, а в дальнейшем растет очень медленно (рис. 6.2). С л у ч а й !1. В таком же палубесконечном пласте, что и в случае !, в момент времени 1 = 0 пущена в эксплуатацию галерея с постоянным объемным дебитом 9. Требуется найти давление в любой точке пласта в любой момент времени, 136 Математически задача заключается в интегрировании уравнения (6.14) при следующих начальных и граничных условиях: р(х, 1)=-р, при 1=0; ш(х, 1)= — = — — =ш =сопз1 при х=-0; (6.29) й др и И дх р(х, 1)=р при х-~-со.
Умножая обе части уравнения (6.14) на й/р и дифференцируя по х, получаем д й др д й д~р ) дх (и д1) дк (и дк' или й дзр й дэр = — и— И дка откуда, меняя порядок дифференцирования, получаем (6.30) Так как в нашем случае — — =ш(х, 1), й др Нх то уравнение (6.30) можно перепйсать в следующем виде: дв(х, 1) дЧр(х, 0 (6.31) — х д) дхч в=Стег1 +Се 2 з(и1 (6. 32) При атом следует иметь в виду, что начальное и граничное условия для ш имеют вид ш(х, 0)=0; ш(0, 1)=шь Отсюда С, =. шм С, = — э, и, следовательно, ш(х, ~)=шт(1 — ег1 х х й др 2 З(и1 ) р дх (6.33) 137 Полученное уравнение (6.31) по форме совпадает с уравнением теплопроводности (6.14).
Следовательно, решением уравнения (6.31) будет решение, аналогичное (6.26), с заменой давления р на скорость фильтрации аи Для того чтобы найти закон изменения давления на галерее р„(1), подставим в (6.36) граничное условие р (х, 1) = р, при х-+- оо; так как при х-+. ао, ег1 (х/2 ~/я( ) — э- 1, то произведение х (1 — ег1(х/2~/х( )) дает неопределенность вида оо Х О. Раскрывая ее по правилу Лопиталя, можно показать, что зто произведек' иие стремится к нулю; учитывая еще, что — „щ -+-0 при х — э со, получаем р (1)=р — ~ — ' 1/я(, х з/я или р (1)= р —— О~» 2 л1я1 ва (6.37) Плоскорадиальный фильтрационный поток упругой жидкости. Основная' формула теории упругого режима фильтрации (6.38) Начальные и граничные условия задачи таковы (см, гл.
3, 5 4) р(г, 1)=р„при 1=0; р(г Г) =- р, при 1 — со. (6.39) Я= — (г — ) =Я,=сова( при г=О, 1 О. 2яаа Г др ~ дт г=о Последнее условие запишем в виде (6.40) Так же, как в предыдущем случае, проведем анализ размерно- стей. Искомое распределение давления в пласте зависит от пяти 139 Пусть в неограниченном горизонтальном пласте постоянной толщины л имеется добывающая скважина нулевого радиуса (точечный сток). Начальное пластовое давление во всем пласте одинаково и равно р„. В момент времени 1 = 0 скважина пущена в эксплуатацию с постоянным обьемным дебитом ©„.
В пласте образуется неустановившийся плоскорадиальный поток упругой жидкости. Распределение давления в пласте (в любой его точке в любой момент времени) р (г, 1) определяется интегрированием уравнения (6.14), которое для плоскорадиального движения запишется в виде определяющих параметров г, 1, н, Р„, 9,[т((2нйй), размерности которых следующие: [г) =.[.; [11 =Т; [н1 =ОТ ', [Рк) =И. ~МТ 1; ЯРУ(2пМ)] =И.
~МТ '1. Тогда давление, приведенное к безразмерному виду, Р = Рlр„ зависит от двух безразмерных параметров (так как из пяти параметров три имеют независимые размерности — г, 1, Р„: п = 5, 1=3, и — 1=2): (6.41) где т! = !2 т~н! . Таким образом, задача автомодельна и уравнение (6.38) можно свести к обыкновенному. Дифференцируя (6.41), найдем аналогично предыдущему .дР дР и дР дР ! д Р ! дтР дт - д» 21 ' дт дт! 2 Ч~яр дтт 4ат дт!т Подставляя зги выражения в уравнение (6.38), получим обыкновенное дифференциальное уравнение вида +( — +2т!) — =О, (6.42) (6.43) Воспользуемся подстановкой т(Р!т!т! = $, тогда вместо уравнения (6.42) будем иметь '~ +( — +2т))5=0, или — + — = — 2ЧсЬ~. ач дп $ Ч (6.44) Интегрируя (6.44), получаем 1п $+ 1п т! = — т!'+ 1п См где Ст — постоянная интегрирования.
Потенциируя (6.45), имеем дР $= — =С, —. дп (6.45) (6.46) 140 которое нужно проинтегрировать при условиях, полученных из (6.39) (Р = 1 при т! -э со): ( — ),= дР 1 !тки дч ./Ч 0 2аттаРк ) Интегрируя (6.46) и учитывая первое из условий (6АЗ), полу- чаем Ю е ч3 Р(п) = — С, — ~Ч+ Е (6.47) ч ч Умножая равенство (6А6) на Ч, устремляя ц — ~ 0 и используя второе условие (6.43), находим, что (Оон 2яйьли тогда нз (6.47) получим Оаи Г е" Р(Ч)= — ' ~ — 6)+(. 2ааилк я (6.48) Интеграл в последней формуле легко свести к табличному следующей подстановкой и=ч а 4яГ Тогда Перейдя от безразмерного давления Р к размерному р = Рр., получим Р(г О=Р.— — ' Оеи Г е-" (6.49) 4ааа ~ и Интеграл в формуле (6.49) называется интегральной показательной функцией, которая табулирована и обозначается СΠ— Е1 ( — — ') = ~ — ои. Качественное изменение атой функции представлено на рис.
6.3. Следовательно, давление в любой точке плоскорадиального потока в условиях упругого режима фильтрации определяется по формуле Р (г, () = р, — ~ — Е1 ( — — )1. Оои г (6.50) 4ааа ! (. 4а1 ) Формула (6.50) получила название основной формулы теории упругого режима фильтрации. Она имеет широкое практическое 14! применение, и в частности используется при интерпретации результатов исследования скважин. При малых значениях аргумента — гаг(4нг) г( 1 — интегральная показательная функция имеет простую асимптотику: — Е1( — х) 1п — — 0,5772. ! х При этом погрешность не превышает 0,25 %, если х —.. га/(4х1) ( 0,01; '(--) 1 %, если х ~0,03; 5,7 %, если х(0,1; 9,7 %, если х ( 0,14. Следовательно, для значений гЧ(4ааг) (( 1 давление можно определять по формуле р (г 1) = Р» — (1п — — 0,57721 . Рис.
о.з. График интегральной 4нйй показательной функции (6.51) Из (6.50) находим, что расход жидкости через любую цилиндрическую поверхность радиусом г и скорость фильтрации определяются соответственно по формулам г Я(г 1) = — — Р 2пгл == Дое анг (6.52) р гйк г' ге= 0' е он . (6.53) 2пгй Из последней формулы следует, что стационарная скорость ш„„= Яа!(2ягй) достигается очень быстро на небольших расстояниях от скважины, так как значение коэффициента пьезопроводности обычно велико. При теоретическом исследовании неустановившихся процессов перераспределения пластового давления удобно пользоваться безразмерными параметрами Фурье 1о и Ро, играющими роль «безразмерного времени» и определяемыми из следующих равенств: (о = н(1г,', (6.54) Ро =- кИг„, где г, — радиус скважины; Йн — радиус кругового контура питания, или радиус круговой непроницаемой границы пласта. В зависимости от специфики решаемой задачи удобно пользоваться тем или другим из указанных параметров Фурье.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
