К.С. Басниев, А.М. Власов, И.Н. Кочина, В.М. Максимов - Подземная гидравлика (1132331), страница 21
Текст из файла (страница 21)
На плоскости течения г возьмем линию тока и направленный вдоль нее элементарный вектор сЬ = Ых + Иу с компонентами йх и ду. Так как скорость фильтрации ш направлена по касательной к линии тока, то Ых!ш, = Нуйоу, или шах — ш,х(у = О. (4.123) Уравнение (4.123) представляет собой дифференциальное уравнение линии тока. Подставляя в него выражения для компонент скорости фильтрации (4.121), получим — Нх+ — ду=~(Ч' =О, (4.124) дх ду Рис. 4.89.
Взаимное расположение зквипотенциалей и ли. ний тока в плоском фильтрационном потоке Рис. 4.40. Схема фильтрационного потока на плоскости к выводу формулы о= р,— р,=с — с г. е. вдоль линии тока Ч" =- сопз1. Изменяя значение константы, будем иметь семейство линий тока; точно также полагая Ф (х, у) = = сопз1 с разными значениями констант, получим семейство эквипотенциалей (рис. 4.39). Покажем, что эквнпотенциали и линии тока взаимно ортогональны. Пусть касательная к эквипотенциали Ф = С, в точке М образует угол ат с осью х, а касательная к пересекающей ее линии тока — угол а„тогда 1д аг = — (г1уЯх)ф с„но так как вдоль эквипотенциали дФ дФ ду дФ!дх — г(х + — с(у = О, то ==- 1да„ дх ду . дх дФ!ду а вдоль линии тока Ч' = С, (в силу (4.!24)), поэтому ду 1 дч'/дх 10 аз = дх /ж —.
с, дч'1ду =(' 1 Рассмотр;нм произведение дФ!дх дчг!дх (4.125) дФ1ду дЧ'/ду Из условий Коши — Римана (4.122) следует, что правая часть равенства (4.125) равна — 1, т. е. 1д сс, 1д ав = — — 1, а это имеет место, если из =- ест + Ы2, т. е. для прямых, пересекающихся под прямым углом. Таким образом, действительно, линии тока и эквипотеициали взаимно перпендикулярны.
Определим теперь физический смысл функции тока. Возьмем две линии тока, на которых функция тока принимает значения Ч" (х, у) =- С и Ч" (х, у) = С' (рис. 4.40), и соединим их линией А В. Пусть и — единичный вектор нормали к элементу этой линии Л, который составляет угол О с осью х; тогда проекции вектора и на ~ оси координат равны соз (и, х) = з(п О, соз (и, у) = соз (н — О) = = — соз О. 107 Найдем расход через сечение АВ (считая, что толгцина пласта равна единице) в в (г = ( в„г(1 = ~ ( вп) Ж = в = ~ [в„соз(п, х)+в„соз(п, у)] г(1 = А .= ~ (в„ып8 — вусоз8)г(1= в в дЧ' дЧ' (в„к(у — в„г(х) =- ~ ( — — ду — — г(х) = ду дк в = — ' Л'= Ч'.
— к(г =С вЂ” С'. (4.128) А Таким образом, расход между двумя линиями тока равен разности значений функций тока на этих линиях. Найдем производную г(РЫг. Так как значение производной по г одинаково по любому направлению, то возьмем производную дЕ дФ . дЧ' от Р вдоль оси: — = — +1 —, но так как дк дх дх дмпдх.= — в„, дЧ'!дх = ву, то дР— = — в„+ 1ву =- — (в„— (ву) = — в, дк (4.127) где в = в,— (ву — комплексно-сопряженное значение скорости фильтрации. Поэтому производная дРЫг называется комплексной скоростью.
Вычислим модуль комплексной скорости —," '=~Я+ ~ =~ ~. (4.128) дхЫ1 =- о„=- в,!т, ду!д( = о„= = ву1т, или (г(х — Ыу)Ф=(в„— 1вуут, но дх — (ду=г(г, дк 1 дР в„— 1в = в == — г(РЯг, значит к у дГ т дк ~ов т. е. модуль комплексной скорости равен модулю скорости фильтрации. Найдем закон движения частицы вдоль линии тока з. Пусть дх и г(у — проекции элементарного вектора йя, направленного вдоль линии тока.
Можно написать или откуда (4.129) Заметим, что комплексные потенциалы потоков можно суммировать по принципу суперпозиции, так как функции Ф (х, у) и Ч' (х, у) удовлетворяют уравнению Лапласа (см. 2 1). Рассмотрим комплексные потенциалы простейших потоков на плоскости. Для прямолинейно-параллельного потока комплексным потенциалом является функция г (г) =- аг+ Ь, (4.130) где а и Ь вЂ” комплексные постоянные: а = а, + (а„Ь = Ь, + (Ь,.
Отделим в г" (г) действительную часть от мнимой: г (г) =- (а, + (а,) (х+ Ьу) + Ь, + 1Ь, = = а,х — а,у+ Ь, +1(а,х+ а,у+ Ь,). . Следовательно, Ф .—. а,х — а,у+ Ь„Ч' — — а,х+ а,у+ Ь,. (4.131) Полагая а,х — а,у+ Ь, = С и а,х+ а,у+ Ь, = С', видим, что эквипотенциали представляют собой прямые линии с угловым коэффициентом а,!а„а линии тока — с угловым коэффициентом — а,!а,. Компоненты скорости фильтрации равны ш, =- — дФ(дх =- =- — а„ш„= — дФ!ду — — а„т.
е. движение — прямолинейное с постоянной скоростью фильтрации ) ы) =- 'т' а!+ а2 = ) а) (рис. 4.41). Рассмотрим комплексный потенциал точечного стока, располо- женного в начале координат: г (г) = — 1п г+ Ь, (4.132) 2п где а, как и в 2 5,— расход на единицу толщины пласта (при д(0 — источник, при д)0 — сток). Отделим действительную часть от мнимой, представив комплекс- ное переменное г в полярных координатах: г = х+ (у = г (сов ~р+ 1 э)п ~р) = ге'ч, (4.133) где г — расстояние точки от начала координат; ~р — полярный угол. Тогда г (г)= — 1п(ге™м) -1-Ь=- ~ 1пг+Ь+1 ~ <р, (4.134) 2а 2п 2п Рис.
4.4/. Фильтрационпое поле для прямолинейно-параллельного потока Рис. 4.42. Эквипотенциали и линии тока для источника и стона па плоскости г (х) = 1п (7 — зв)+Ь, 2п (4.136) т. е. особой точкой будет точка г„и перейдя к полярным коорди- натам г — ср, получим и — го —— гесч. Рассмотрим одновременную работу в пласте равнодебитных стока и источника, помещенных в точках с координатами х = а, х = — а, у = 0 (рис. 4.42). Комплексный потенциал стока по формуле (4.136) равен — 1п(г — а), а источника — соответственно — — 1п(г+а). Скла- 4 Ц 2п 2п дывая эти потенциалы по принципу суперпозиции, получим Р (г) = ~ 1п (г — а) — ~ 1п (г+ а) = ч 1п .
(4.137) 2п 2п 2п 2+а 110 откуда следует, что Ф= ~ -1пг+Ь, Ч'= ч ~р. (4.135) 2п 2п Естественно, что мы получили то же выражение для потенциала скорости фильтрации 61, что и ранее (см. й 5). Из формул (4.135) следует, что эквипотенциали представляют собой концентрические окружности с г == сопи(, а линии тока — радиальные прямые с <р = сопз1.
Модуль скорости фильтрации дЕ д 1 ! 1=( — = — — = —. да 2п 1а( 2лг Из последней формулы следует, что в начале координат (г = 0) функция (4.132) не будет аналитической, поскольку эта точка является особой точкой плоскости. Если сток расположен в точке с комплексной координатой аа = = х„ + су„ то комплексный потенциал примет вид В (4.137) отброшено постоянное слагаемое. Выведем уравнения для зквипотенциалей и линий тока этого течения. Возьмем произвольную точку г = х + ру на плоскости течения, обозначим г — а = г,е' ', г + а = гееезн и подставим еч в формулу (4.137): г"'(г) = — 1п = — 1п + 1п е г,е'е' ,1 (' г! е (ч,-е.1 2а г еьи 2а 2 2 =- — 1п — + — ! (ф,— фе). а и ч1 2а ге 2я Отсюда Ф Ч 1и 1 Ч 1 (ф1 фе) (4.
138) 2а г, 2а а уравнения зквипотенциалей и линий тока запишутся соответст- венно в виде г,!ге = — С1 или г!(гх =- С1 = С, (4. 139) фт — фе = Се (4.140) В соотношении (4.139) перейдем к декартовым координатам г!=(х — а) +у; ге=(х+а) +у. Тогда (х — )'+ у' С (х+ а)'+ у' или (х — а)'+у'=С [(х+а)'+ух[.
Раскрывая скобки и перенося все члены уравнения в ле- вую часть, будем иметь (1 — С) х' — 2а(1+С) х-[-(! — С) у'+(1 — С) а'= О, или, деля на 1 — С, х' — 2а х+у'+а'= О, С~ 1. !+С 1 — С !+С ье Прибавим и вычтем выражение (а — ' ), чтобы получить 1 — С) квадрат разности (х — а ) +у' — (а — ) +а'+О. Окончательно получаем ( 1+ С )е+ е 4аеС 111 !рг агс1я Д х — а !р, =- агс1й х+а Подставим эти выражения в уравнение (4.140): агс1й " — агс1д =- С„ х — а х+а н используем формулу для тангенса разности двух углов агс1д — — агс1д — — = у х — а х+а Д Д х — а х+а — =Со ух )+ (х — а)(х + а) = агс1й из которой следует ( х — а х-)-а )/( (х — а)(х-',.а) ) что можно привести к виду 2а х х +у — — у=а, Сз нли Таким образом, линии тока представляют собой окружности с центрами, лежащими на оси у (ха = О, уа = — а(Сх), и радиусами, 7 2 равными а'у С~ +1/~Сх~, проходящие через точки х = а, х = —, а (сток и источник).
Эквипотенциали и линии тока показаны на рис. 4.27. !!2 Последнее уравнение представляет собой уравнение окружно)+с 2а Ч'С сти с центром в точке ха=а ', у,=О и радиусом Из! — с' (! — с! меняя значения константы С от нуля до единицы, получим семейство окружностей в правой полуплоскости, не концентричных со скважиной-стоком, с увеличивающимися радиусами. Значение С = 1 соответствует окружности с бесконечным радиусом, т. е.
оси у. В левой полуплоскостн х(0 получим симметричную картину, полагая 1(С - ао (см. рис. 4.42). Как следует из рис. 4.42, В заключение найдем модуль скорости фильтрации, используя формулу (4.128): у — 2а 2аь) аь) 2а 1 (г — а) (г+ а) ( 2пгггь ггьгь Глава 5 УСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ УПРУГОЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА В ПОРИСТОЙ СРЕДЕ й 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ УСТАНОВИВШЕЙСЯ ФИЛЬТРАЦИИ УПРУГОЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА ПО ЗАКОНУ ДАРСИ Запишем дифференциальные уравнения фильтрации однофазного сжимаемого флюида в однородной пористой среде, выведенные н гл. 3, пренебрегая силами тяжести и инерции: уравнение неразрывности потока д ((ках) д (рмд) д (раьг) д (раь) (5.1) дх ду дг д( уравнения движения др ьа р дх а др пьг = — — — ь Р ду др ньг = — —— р дг (5.2) 113 Если рассматривать только правую половину плоскости течения х ) О, то комплексный потенциал (4.!37) описывает приток к одному стоку, расположенному в точке х =- а, у = — О вблизи прямолинейного контура питания, которым является ось у.
При помощи принципа суперпозиции можно решать различные задачи фильтрации в пластах с системой скважин. Например, можно показать, что комплексный потенциал скважины, эксцентрично расположенной в круговом пласте радиусом )т, с эксцентриг — 6 ситетом 5, определяется по формуле Р (г) = — 1п, а ком2а г — )1„/6 плексный потенциал кольцевой батареи пь скважин радиуса )г, в круговом пласте радиуса )х, — из выражения г(з)= ~ 1п 2а );ьгаь аь г г )(аь Введем функцию Уг следующим образом. Примем, что ее дифференциал У (Р) Р (Р) (5.3) )г (Р) тогда У (Р) Р (Р) б )г (Р) (5.4) Функция названа функцией Л.
С. Лейбензона. Так как функция Лейбензона У и давление р зависят от координат и времени, то равенство (5.3) можно записать в следующем развернутом виде„ используя понятие полного дифференциала функции от многих переменных: — г(х+ — бу+ — йг + — й = дУ дУ дУ дУ дх ду дг д( х(Р)Р(Р) Г др др ~ — ~(х 1- — г(у + — Дг + — ((1) . др , др Р (р) дх ду дг дт Из сравнения коэффициентов при Ых, г(у, Ыг, йг получаем дУ )г (р) р (р) др дУ х (р) р (р) др дх И (р) дх ' ду Р (р) ду (5.5) др' х (Р) Р (Р) дР дУ' и (Р) Р (Р) дР дг И (р) дг ' д( р (р) д( Запишем выражения для массовых скоростей фильтрации, умножив уравнения движения (5.2) на плотность флюида Р (р) и используя формулы (5.2): х др дУ х Ргах Р— Рши= Р (х дх дх М др дУ ду ду (5.6) х др дУ Ргаг =- Р )г дг дг Подставив выражения (5.6) в уравнение неразрывности (5.1), получим д'У д'У д~У д (рт) дх' ду' дг' д( или д(рт) (5.8) дг Дифференциальное уравнение (5.7) или (5.8) справедливо для неустановившегося движения однородного флюида в однородной пористой среде по закону Дарси.
114 В случае установившейся фильтрации д (рт)(дг = 0 и уравнение (5.7) будет иметь вид (5.9) илп ~~у =О. (5.10) Таким образом, при установившейся фильтрации функция Лейбензона У, определенная по формуле (5.4), удовлетворяет уравнению Лапласа. й 2. АНАЛОГИЯ УСТАНОВИВШЕЙСЯ ФИЛЬТРАЦИИ СЖИМАЕМОГО ФЛЮИДА С ФИЛЬТРАЦИЕЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ Введение функции Лейбензона в уравнения позволяет установить аналогию между установившейся фильтрацией сжимаемого флюида и установившейся фильтрацией несжимаемой жидкости, для которой законы фильтрации были детально разобраны в гл.
4. В дальнейшем изложении примем, что проницаемость среды и динамический коэффициент вязкости флюида постоянны: л = — сопМ, р = сопз(, плотность р = р (р). Тогда можно ввести функцию Лейбензона как У = ) р (р) др + С, (5.11) при этом дУ=р(,)др (5.12) Запишем закон Ларси для установившейся фильтрации несжимаемой жидкости в дифференциальной форме (З.б) через расход Я= — — — ы(з), а нр (5.13) а Д5 где 9 = сопз(; а (з) — площадь поперечного сечения струйки. При установившейся фильтрации сжимаемого флюида по всей длине струйки массовый расход сохраняется постоянным: Я = — рЯ =- сопз!.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
