К.С. Басниев, А.М. Власов, И.Н. Кочина, В.М. Максимов - Подземная гидравлика (1132331), страница 10
Текст из файла (страница 10)
дд дг 41 (3.3) Таким образом, общее изменение (накопление) массы в объеме йхг(у3г за время д( будет д (Ртх) г д (Ртг) 1 д (Ртг) ~ 1 ( ((1 (3 1) дх ' ду дг С другой стороны, масса флюида, находящегося в рассматри- ваемом элементарном поровом объеме, М = ртг(хг(уг(г, где и — коэффициент пористости пласта. Изменение массы флюида за промежуток времени Ш записы- вается в следующем виде (объем элемента г(хйуг(г фиксирован): г(1= г(хг(удгг(1. (3.2) д( д( Приравнивая выражения (3.1) и (3.2) и сокращая их иа дхг(уг(гг(1, получим уравнение неразрывности: [ д (рмх) д (ртг) д (рггг) 1 д (рт) дх ду дг ) д( Отметим, что уравнение (3.3) справедливо только в том случае, если внутри выделенного элемента породы нет источников или сто- ков, выделяющих или поглощающих флюид (химических реакций, фазовых превращений и т.
д.). Выражение в левой части уравнении (3.3) представляет собой дивергеицию вектора массовой скорости фильтрации рв и кратко записывается так: д(РФх) + д(Ртг) д(Ртг) 1. ( ) (3.4) дх ду ' дг Поэтому уравнение (3.3) имеет также следующую запись: йч(рщ) + р =-О.
(3.5) дг й 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ Рассмотрим фильтрацию флюидов в пористых средах, принимая в качестве закона движения линейный закон фильтрации Дарси (1.7). Можно получить дифференциальные уравнения движения, используя другие законы фильтрации, например законФорхгеймера (1.12). Закон Дарси в виде (1.6) или (1.7) записан в конечном виде, т. е.
для пласта или образца с постоянной площадью сечения, где Ар"— разность приведенных давлений на конечной длине Е. Для трубки тока с переменной площадью сечения по длине трубки закон Дарси записывается в дифференциальной форме. Выделим два сечения: первое — на расстоянии з от начала отсчета, второе — на расстоянии с(з от первого (рис. 3.2).
Пусть движение флюида происходит в направлении возрастания координаты з. В сечении с координатой з обозначим приведенное давление р* (з, 1), 42 в сечении с координатой з + дз давление р (з-)-дз. ()=-р*(з, ()+ — "' Ь. да Используя формулу (1.7), получим Ь р'(Ь Г) — р*(4+дг, Г) г га —— в Х Р дг р др* р*(а б — ~р*(а б+ — дг ~ д4 Х гр =— (3.6) и дз Знак минус появился в' правой части формулы (3.6) потому, что приведенное давление уменьшается в направлении движения жидкости, т.
е. градиент приведенногоо давления отрицателен )г др~/дз(0. г(4 Формула (3.6) справедлива только для изотропной сре- () ды, для которой характерна постоянство проницаемости А д по всем направлениям в ок- 1 рестности рассматриваемой точки. Однако с переходом от точки к точке пласта про- ряс д ~ Руьха тоха ницаемость, вообще говоря, может изменяться, т. е. й = й (х, у, г) (модель изотропного неоднородного пласта).
Запишем уравнение (3.6) в проекциях на оси координат х, у, г. > Если обозначить через (, )', Й единичные векторы вдоль осей координат, то вектор скорости фильтрации можно записать так: гр = ггрх + !год + Атр . В правой части (3.6) др*/дз представляет собой градиент приведенного давления, т. е. вектор с составляющими др~!дх, др"lду, др")дг: др' др" др* вагаб р' = ( +) — + й дх ду дг Тогда ь ш= — ягаб р*, Р (3.7) 43 или в проекциях на оси координат Ь др" Ь др* Ю грр = — — — ~ в дх " н ду Если ось г направлена вертикально ные уравнения движения примут вид Ь др Ь др эрх гру дх " р ду У др' в, =- — — —. (3.8) дх вверх, то дифференциаль- или в векторной форме в = — — (агаб р — рд). (3.10) При изучении движения жидкости во многих пористых материалах обнаруживается, что существуют некоторые преимущественные направления, при течении по которым наблюдаются более интенсивные фильтрационные потоки, т.
е. фильтрационные характеристики изменяются в зависимости от направления потока. Пористые среды, в которых коэффициент проницаемости зависит от направления потока, называются а н и з о т р о п н ы м и. Анизотропия фильтрационных течений однородных ньютоновских жидкостей обусловливается только геометрическими характеристиками породы. В этом случае закон линейной фильтрации имеет более сложный вид, чем закон Дарси (3.10), так как оказывается, что векторы скорости фильтрации и градиента давления не совпадают по направлению. На практике часто встречается анизотропия естественных пористых сред специального вида.
Так как большинство пород- коллекторов образованы осадконакоплением, пористые среды в этом случае имеют отчетливую слоистую структуру. Фильтрационные свойства такой среды одинаковы для любого направления, лежащего в плоскости слоя, и изменяются для направлений, не лежащих в этой плоскости. Если систему координат худ выбрать специальным образом, а именно плоскость ку совместить с плоскостью слоя, а координатную ось г направить перпендикулярно, то закон Даров можно записать в виде Ь др Ь др Ь» др Шх ю р дх " у ду в дг Выбранные таким образом осн координат называются главными осями породы. При изучении фильтрации в такой слоистой пористой среде для упрощения часто рассматривают две предельные схемы: й, =- О и й, = оо.
В случае й, =- 0 скорости, перпендикулярные к напластованию, отсутствуют и движение происходит вдоль тонких параллельных прослоев. В случае й, = — оо из условия конечности ш, следует др!дг = О, т. е. давление в каждом поперечном сечении распределено гидростатически, а компоненты скорости, параллельные плоскости ху, распределены равномерно по поперечному сечению потока. й 4.
ЗАВИСИМОСТЬ ПАРАМЕТРОВ ФЛЮИДОВ И ПОРИСТОЙ СРЕДЫ ОТ ДАВЛЕНИЯ Выведенные дифференциальные уравнения (3.3) и (3.9) содержат плотность флюида р, а также коэффициенты пористости т, проницаемости й и вязкости флюида р. Для дальнейших расчетов надо знать зависимость этих коэффициентов от давления. При изотермическом процессе зависимость плотности однородного флюида от давления представляет собой уравнение состояния.
При установившейся фильтрации капельной жидкости можно считать ее плотность не зависящей от давления, т. е. рассматривать жидкость как несжимаемую, тогда р = сопя!. (3.11) В неустановившихся процессах часто большое количество нефти можно отобрать за счет расширения ее объема при снижении давления. В этих процессах необходим учет сжимаемости жидкости. Считая капельную жидкость упругой, можно записать закон сжимаемости ее в виде (3.12) Рж— рж нр где 1/ — начальный объем жидкости; Н'г' — изменение объема при изменении давления на ор; рж — коэффициент объемного сжатия жидкости, который обычно считают постоянным для данной жидкости (не зависящим от давления и температуры).
Для различных нефтей отечественных месторождений коэффициент объемного сжатия составляет р„= (7 — 30) 10 —" Па ',.для пластовых вод (2 7 5) !О-м Па '. В формуле (3.12) перейдем от объемов к плотности. Подставляя 1' = М/р и Н11 = — Мс(р(р', будем иметь Мдр/р' Ыр (М(Р) жр Ржр откуда Нр(р = рждр. Проинтегрируем последнее равенство от фиксированных значений р, и ро до текущих значений р и р, соответственно Р Р ) (р(р = ~ .( (р, р. Ро отсюда 1п(р)ра) =- Р (р — рэ) или р расрж (Р— Ра) 3.!3 Показатель степени р„ (р — р,) обычно много меньше единицы. Действительно, если р = 10 — 9 Па-', а р — р, = 10 МПа, р (р— 45 — Р,) = 0,01.
В этом случае можно, разложив функцию ев в ряд Тейлора, ограничиться двумя первыми членами ряда езж(Я Я') ж 1+ рж(р — р ). При этом получаем линейную зависимость плотности от давления Р = Р. 11+ 1-(Р— Ро)) (3.14) Для больших перепадов давления р — р, надо использовать уравнение состояния (3.13). Иногда вместо коэффициента объемного сжатия вводят модуль упругости жидкости К = 11р, Формулы (3.13) и (3.14), выраженные через модуль упругости К, примут вид Рэе(Я оо)/кж (3.15) Р = Ро (1+ (Р— Ро)(К~) (3.16) Природные газы можно считать идеальными (совершенными), если пластовые давления газовых месторождений невелики (до 6 — 9 МПа) и газ отбирается при депрессии до 1 МПа. Уравнением состояния идеального газа является уравнение Клапейрона — Менделеева Р1Р=КТ, (3.17) где Я вЂ” газовая постоянная для газа с молекулярной массой р, связанная с универсальной газовой постоянной )т зависимостью 17 = )т/р.
Если Т = Т„, = сопз(, а р„— платность газа при атмосферном давлении Р„и пластовой температуре Т„„то Р„(Р„= Р.Т. (3.18) Приравнивая левые части соотношений (3.17) и (3.18), получим уравнение состояния идеального газа, которым будем пользоваться в дальнейшем: Р Рютр1Рат. (3.!9) В настоящее время в практике все чаще встречаются газовые месторождения с высокими пластовыми давлениями (до 40 — 60 МПа), которые иногда эксплуатируются с большими депрессиями (порядка 15 — 30 МПа).
В этих условиях следует использовать уравнение состояния реального газа, которое в отличие от уравнения (3.17) записывается в виде Р1Р = хКТ, (3.20) где г — коэффициент, характеризующий степень отклонения состояния реального газа от закона идеальных газов (коэффициент сверхсжимаемости) и зависящий для данного газа от давления и температуры г = г (р, Т). Значения коэффициента сверхсжимаемости г определяются по графикам Д. Брауна в зависимости от 46 приведенных величин абсолютного давления р„= р/р,р,„и температуры Т, = Т)Т„,,„, где ркр,м и Т„,,„— критические давление и температура для природного газа, представляющего собой смесь различных компонентов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
