К.С. Басниев, А.М. Власов, И.Н. Кочина, В.М. Максимов - Подземная гидравлика (1132331), страница 8
Текст из файла (страница 8)
В общем случае 0(А(п. Размерность определяемой величины а должна выражаться в виде произведения степеней размерностей величин а,,..., ал. Следовательно, должны существовать числа р,..., г, такие, что [а] = [а,]" .. [аь]'. (2.7) Если бы это было не так, размерности величин а, а„..., а были бы независимыми. Тогда, согласно свойству, доказанному в предыдущем разделе, можно было бы, изменяя систему единиц измерения внутри данного класса, менять величину а во сколько угодно раз, оставляя неизменными все величины а„..., аы Т[ри этом оставались бы неизменными и все остальные определяющие параметры аь+„..., а„потому что их размерности выражаются через размерности величин а„..., ал формулами (2.6).
Таким образом, определяемая величина а могла бы меняться как угодно при неизменных значениях всех определяющих параметров, чего не может быть, если список определяющих параметров полон. Введем теперь параметры (2.8) П= ч ае ... а' ! й 32 Здесь показатели степеней определяющих параметров с независимыми размерностями выбраны так, чтобы все параметры П, Л„..., Лл, были безразмерными. Перепишем теперь основную зависимость (2.5), заменяя все параметры а, а»,.„..., ал с зависимымн размерностями через безразмерные величины Л, Л„..., Лл ы определенные соотношением (2.8), и параметры а,,..., а». Получаем П 1(а1 ал) аа а' ал 1» 1 Х) (аь .
° ., а», П»а»1»»1... а»»~.з, 1 Х Г а1 ., П, »а1лл... а»л) (2.9) так что П = Г (а„..., а», П„..., Пл „), (2. 10) где г" — некоторая функция. Теперь — самое главное. Как было показано, всегда можно перейти к такой системе в рассматриваемом классе систем единиц измерения, что любой из параметров а„..., а», например а„ изменится во сколько угодно раз, а остальные размерные параметры останутся неизменными. Ясно, что неизменными при таком переходе останутся также и безразмерные аргументыфункции Р и ее значение Л.
Но отсюда следует, что на самом деле функция г от аргумента а, не зависит. Точно так же доказывается, что она не зависит и от аргументов а„ ..., а». Следовательно, зависимость (2.10) на самом деле выражается через функцию не и аргументов, а и — й аргументов, т. е. на й меньше: П=Е(Л„,:... Лл,). (2.11) Вспомним теперь, что П = )У(а)'... а»). Тогда из (2.11) следуетчто всякая функция ), определяющая ту или иную физическую закономерность, обладает свойством обобщенной однородности, т.
е. представляется через функцию меньшего числа переменных: з Л зл~ а»»1 ал 1'=а1... а»Ф '( аа»+1... а»+1 аал... акл 1» 1» (2. 12) Эти факты составляют содержание основного утверждения анализа размерностей, так называемой п-теоремы. Важность этой теоремы связана со следующим. Для определения зависимости той или иной величины а от каждого определяющего параметра надо измерить или вычислить функцию Г, скажем при 10 значениях соответствующего аргумента. Конечно, число 10 условно, например, для гладких функций может хватить и меньшего числа измерений или вычислений, для других не хватит и ста. Тем не менее остановимся на числе 10.
Тогда для определения функции Т надо провести всего 1Ол измерений или вычислений. 2 Заказ И 218 33 После применения анализа размерностей дело сводится к определению функции Ф от и — й безразмерных аргументов Л„..., Л,, Для нахождения этой функции уже достаточно 10"-х опытов или вычислений, т. е. в 10» раз меньше. Мы приходим к важному выводу: трудоемкость определения искомой зависимости благодаря применению анализа размерностей сокращается на столько порядков, сколько среди определяющих параметров величин с независимыми размерностями.
Теория подобия а=>'(аь..., а>ь а,э„..., а,). (2. 13) При этом функция ) для обоих явлений одна и та же, поскольку они подобны, хотя численные значения определяющих параметров а,, а„и определяемого параметра а могут различаться.
Таким образом, соотношение (2.13) соответственно для натурного и модельного явлений имеет вид а<о> — ' 'аы> ам> аы> ам>). (2.14) (л~> (т> (т>> , аь , а>+>, . . ., а, ), индексом (р) обозначены величины, явлению, а индексом (и) — вели- (п~> ) ( (т> Здесь и дальше верхним соответствующие натурному Зч В подземной гидравлике очень часто прибегают к моделированию явлений, в том числе к физическому моделированию процесса фильтрации властовых флюидов, о чем подробно рассказано в предыдущих параграфах. Ясно, что надо знать, как пересчитывать результаты опыта на натуру; если этого не знать, моделирование бесполезно.
Для правильного моделирования основным является понятие физического подобия явлений. Понятие физического подобия, естественно, обобщает понятие подобия геометрического. Например, два треугольника подобны, если они отличаются только численными значениями параметров —- длин сторон, а углы при вершинах для обоих треугольников одинаковы. Аналогично физические явления называются подобными, если они отличаются только численными значениями размерных определяющих параметров и притом так, что для них величины соответствующих безразмерных параметров совпадают.
В связи с принятым определением подобных явлений величины Л„..., Л„>, называются параметрами подобия. Рассмотрим теперь некоторое явление, которое предполагается моделировать, будем называть его натурным. Потребуем, чтобы модельное явление, которым мы хотим воспользоваться для определения нужных характеристик натурного, было подобным натурному. Следовательно, для обоих явлений имеет место зависимость определяемой характеристики а от определяющих параметров а„..., а„: чины, относящиеся к модельному явлению. Используя анализ размерностей, находим для обоих явлений Л(г) =Ф(П()"),..., Л',")»); (2.15) П(т) Ф (П(ла) Л(т) ) Здесь функция Ф в обоих случаях одна и та же, так как она одинаково выражается через одну и ту же функцию 7.
Далее, поскольку модельное и натурное явления подобны, согласно определению подобных явлений должны выполняться условия (2.16) Условия (2.16) называются критериями подобия. Следовательно „ Ф(Л(( ),..., П(„")»)=Ф(Л,'",..., Л'„")»), и, согласно (2.15), имеет место равенство безразмерных определяемых параметров для натурного и модельного явлений Л(ю= П( ). (2.17) Возвращаясь в соответствии с (2.8) к размерным переменным а, а„..., аы получаем простое правило пересчета результатов измерений с подобной модели на натурное явление: аы) = а(~) ' .
. . » . (2.18) Именно для того, чтобы можно было пользоваться этим правилом, нужно было потребовать, чтобы модель была подобна натуре. Заметим теперь, что параметры модели аГ,..., а» можно выбирать произвольно, имея в виду максимальную простоту и удобство моделирования. Условия подобия модели натурному явлению (2.16) — равенство параметров подобия для модельного и натурного явлений — указывают, как надо выбирать остальные определяющие параметры а„'+',,..., а(, ', чтобы обеспечить подобие модели натуре. Раскрывая эти условия, находим / а(~) ')»»+1 П, =П(, а»+) =а»+) ~— (т) (»), (т) (») ") О) П'„"'» = П(„")»., а„"~ =а(„') Приведенные простые определения и утверждения исчерпывают содержание анализа размерностей и теории подобия. Подчеркнем специально, что больше в этой теории ничего нет. И тем не менее исследователям удавалось, используя ее, получать важные результаты.
35 й 7. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТЕЙ В ПОДЗЕМНОЙ ГИДРАВЛИКЕ 1. Методы теории размерностей часто применяются в подземной гидравлике. Они оказываются полезными уже при выводе основного закона фильтрации — закона Дарси. Основное предположение при выводе этого закона заключается в том, что вектор скорости фильтрации в данной точке пористой среды в определяется вектором градиента давления угад р и характеристиками пористой среды и жидкости. Пористая среда считается однородной и изотропной и характеризуется следующими параметрами: средним размером пор й, безразмерным коэффициентом пористости и и некоторыми другими характеристиками, которые также можно считать безразмерными, например кривой распределения пор по размерам.
Фильтрующаяся жидкость, которую мы сперва считаем одно- компонентной и ньютоновской, характеризуется только вязкостью м и плотностью р. Таким образом, мы принимаем, что скорость фильтрации ы зависит от параметров втаб р, и', и, р, р, а также от других безразмерных характеристик пористой среды, влияние которых мы здесь обсуждать не будем. Среди перечисленных параметров только одна величина (угад р) является вектором. Отсюда следует, что направления векторов скорости фильтрации и градиента давления должны совпадать.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
