К.С. Басниев, А.М. Власов, И.Н. Кочина, В.М. Максимов - Подземная гидравлика (1132331), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Если бы вектор скорости фильтрации составлял конечный угол с вектором градиента давления, то при повороте малою элемента пористой среды вокруг направления вектора градиента давления он тоже должен был бы повернуться вместе с элементом. Но поскольку при таком повороте свойства течения не должны меняться, так как среда изотропна, вектор скорости фильтрации должен оставаться неизменным. Это может быть только в том случае, если вектор скорости направлен вдоль вектора градиента давления. Таким образом, получаем Егад р= — сгв, (2, 19) где с — скаляр, зависящий только от модуля Вектора скорости, а также от величин г(, гп, р, ц.
Закон Дарси справедлив для медленных фильтрационных процессов, для которых силы инерции несущественны. Поэтому для таких процессов несущественна плотность жидкости р, определяющая свойство ее инерции. Таким образом, для медленных безынерционных течений ньютоновской жидкости в изотропной пористой среде справедлив закон фильтрации (2.19), причем коэффициент пропорциональности с = а может зависеть только от определяющих параметров в = а„ д = ам ц = а„т = ам Размерности определяемого и определяю- 36 щих параметров, как нетрудно видеть, записываются в виде [с] =, [в] = —, [4 = Ь, [р] = —, [т] = 1. (2.20) Первое из этих соотношений следует из того, что размерности обеих частей уравнения (2.!9) должны быть одинаковыми.
Как видно, в данном случае и = 4, и = 3, так что и — Ь = 1. Размерности параметров в, Ы и р, как читатель легко проверит сам, независимы; безразмерным параметром подобия здесь оказывается четвертый определяющий параметр — ' коэффициент пористости т. Имеем, очевидно, [с]=[в]'И 'М, (2. 21) так что П = с/(рс[ — '), ]7, = т (2.22) и анализ размерности дает окончательно с= рФ(т)Й]э. (2.23) Заметим, что в данном случае независимость с от скорости получилась из одного анализа размерностей. Обозначим величину г['/Ф (т) через А. Данная величина называется коэффициентом проницаемости. Закон фильтрации (2.19) приводится при этом и виду ь в= — — угад р.
и ]7, = (р79, (2.25) называемый числом Рейнольдса фильтрационного движения в порах. Соотношение (2.19) согласно анализу размерностей переписывается в более сложном виде йтадр= — — вФг~ —, т). и Г эч[р (2.26) При малых значениях параметра ]7, функцию Фт согласно формуле конечных приращений Лагранжа можно представить в виде Фт( —, т1=Фт(0, т)+ — ~О(т). (2.27) и ) р Согласно сказанному в п. 1 величина Ф, (О, т) должна быть равной единице.
Подставляя (2.27) в (2.26) и вспоминая, что я = 37 2. Если инерция жидкости существенна, что обязательно будет при больших скоростях фильтрации, например в призабойной зоне скважины, то к числу определяющих параметров добавится плотность жидкости р, а к числу безразмерных параметров подобия— параметр = вм/Ф (т), находим р дгабр= — — ш — р =ш, (2.28) з/ь где р — также некоторая функция пористости.
Выражение (2.28) представляет собой двучленный закон фильтрации. 3. Вернемся снова к безынерционным течениям, однако теперь будем рассматривать фильтрацию неньютоновской жидкости, характеризующейся предельным напряжением сдвига т„до достижения которого жидкость ведет себя как твердое тело, а после— как вязкая жидкость под действием избыточного напряжения сдвига т — т,. Таково поведение многих нефтей, в частности нефтей на месторождениях Прикаспия. Тогда к определяющим параметрам п. 1 добавляется параметр т~ и появляется новый определяющий параметр )йгадр1= ~ Ф,( ', лг). (2.
31) Заметим теперь, что если мы будем устремлять скорость фильтрации к нулю, то в пределе должна получиться величина градиента давления, не равная нулю, как в случае ньютоновской жидкости, а конечная. Эта величина называется предельным градиентом давления у. Поскольку предельный градиент давления от скорости ш ие зависит, ясно, что при ш -э. О, т. е. при больших значениях параметра тм//рш, функция Ф, должна быть пропорциональна этому параметру: Ф, ж 6 (т) — ' тр~/ им Отсюда предельный градиент давления представляется в виде у== Фз (лг) (2.33) ч/Г а закон фильтрации рассматриваемой неньютоновской жидкости (такие жидкости называются вязкопластичными) принимает вид игам р= — — ш — у —, м ь Ю ш)0 (2.
34 ) (йгабр( ( у, в=О. 38 П, =- т,й(пш), (2. 29) так что соотношение (2.29) записывается для таких жидкостей в виде игам р= — — "Ф,( ', ш). (2. 30) и ~,им Переходя в соотношении (2.30) к абсолютным величинам, на- ходим В нефтяной подземной. гидравлике этот закон был применен А. Х. Мирзаджанзаде. В последующих главах (см. гл. 6, 7) теория размерностей используется при выводе законов распределения давления для неустановившейся фильтрации упругой жидкости и газа. Глава 3 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФИЛЬТРАЦИИ ФЛЮИДОВ В НЕФТЕГАЗОНОСНЫХ ПЛАСТАХ й Е ВВОДНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ Для процессов, происходящих в нефтяных и газовых пластах, зависимость от времени существенна. Такие процессы называются неустановившимися (нестационарными).
Характеристики дзижения — давление, скорость фильтрации и т. д.— изменяются в пласте от точки к точке; говорят поэтому, что онн образуют поле. Для не- установившихся процессов элементы поля изменяются с течением времени. Задачи неустановившегося движения жидкости и газа в пласте решаются методами математической физики. Для этого составляются и интегрируются дифференциальные уравнения. Чтобы вывести дифференциальные уравнения, в пористой среде, заключающей в себе движущийся флюид (жидкость, газ), выделяется бесконечно малый элемент и затем рассматриваются изменения массы, энергии и т. д., происходящие в нем за бесконечно малый промежуток времени.
При этом используются законы сохранения массы, энергии и т. д., а также дополнительные результаты экспериментального изучения свойств и поведения флюидов в пористой среде и свойств пористой среды. Число уравнений в системе (дифференциальных и конечных) должно равняться числу неизвестных функций, характеризующих рассматриваемый фильтрационный процесс и подлежащих определению. Такая система называется замкнутой. В этой главе ограничимся рассмотрением процессов, для которых температура флюида равна температуре среды и неизменна: Т = сопзЕ Действительно, вследствие того что фильтрация представляет собой очень медленный процесс, изменение температуры, возникающее в ходе движения вследствие наличия сопротивления и расширения вещества, успевает компенсироваться теплообмецом с окружающими горными породами.
Для таких изотермических пРоцессов уравнения энергии рассматривать уже не нужно. Однако в некоторых случаях при разработке нефтяных и газовых местоРождений неизотермичность фильтрации проявляется локально в призабойной зоне скважин вследствие значительных перепадов 39 давления. Изучение неизотермических процессов имеет особо важное значение в связи с повышением нефтеотдачи при закачке в пласт теплоносителя (горячей воды, пара).
Особенности этих процессов будут рассмотрены в гл. 10. В число дифференциальных уравнений фильтрации обязательно входят уравнение баланса массы в элементе пористой среды— уравнение неразрывности, а также дифференциальные уравнения движения. Для замыкания системы дополнительно вводятся уравнения состояния рассматриваемого флюида и пористой среды. Для получения решения системы уравнений надо еще задать условия на границах пласта и в начальный момент времени. В результате интегрирования прежде всего определяется распределение давления и скорости фильтрации по всему пласту в любой момент времени, т.
е. р= р(х, у, г, (), ш„=ш„(х, у, г, г), "Ъ=ши(х у г ()~ п~=-~ь(х~ у~ г, г). Если рассматривается несжимаемая жидкость (р =- сопз() в недеформируемой пористой среде (т =-- сопз(, й = сопз(), то число искомых функций ограничивается этими четырьмя функциями (р, ш„, ц~„, и',). Для фильтрации сжимаемого флюида в сжимаемой пористой среде, кроме упомянутых функций, нужно определить плотность р, вязкость р, пористость и, проницаемость й как функции координат и времени.
В этом случае нужно иметь восемь уравнений — дифференциальных и конечных — для определения восьми характеристик фильтрационного потока, жидкости и пористой среды. Аналитическое (в виде формул) решение системы дифференциальных уравнений удается получить лишь в ограниченном числе простейших очень сильно идеализированных случаев, например в задаче о притоке упругой жидкости к скважине в пласте бесконечной протяженности с постоянным дебитом. В более сложных случаях система уравнений решается численными методами с применением ЭВМ.
В настоящее время хорошо разработаны численные методы решения самых разнообразных и очень сложных задач подземной гидравлики. При этом упомянутые аналитические решения играют очень важную роль: на них апробируются численные методы. Систему дифференциальных уравнений можно использовать также для качественного исследования процесса. Если полученные уравнения привести к безразмерному виду, то в качестве коэффициентов будут фигурировать безразмерные параметры подобия. Анализируя их строение и численные значения, можно судить, какие силы играют решающую роль в процессе, какие члены уравнения можно отбросить и т.
д. 5 2. ВЫВОД УРАВНЕНИЯ НЕРАЗРЫВНОСТИ Выведем уравнение неразрывности (сплошности) фильтрационного потока для однородного сжимаемого флюида в деформируемой по- ристой среде. Оно представляет собой уравнение баланса массы 40 в элементарном объеме пористой среды. Выделим мысленно в пористой среде, в которой происходитдвижение флюида, элементарный объем в виде параллелепипеда с ребрами с(х, Ку, ьгг (рис. 3.1).
Пусть точка М, совпадающая с центром левой грани аЬ, имеет координаты х, у, г. Тогда точка М' в центре грани а'Ь' имеет координаты х + с(х, у, г. Масса флюида, втекающего в объем через грань аЬ за малый промежуток времени И, записывается в виде (Р"Ъ)с ь"Уь(гг(г. Отметим, что в силу малости выделенного объема и его граней можно считать, что плотность и скорость фильтрации распределены на гранях аЬ и а'Ь' равномерно и равны значениям их в точках М и М' соответственно. хгс'Ь Рис. 3.1. Схема элемента пласта для вывода уравнения неразрывности Масса флюида, вытекающая из объема через грань а'Ь', равна (Ргах)с'ь' ьгус(гс(й Но так как при переходе от точки М грани аЬ к точке М' грани а'Ь' координата х изменилась на малую величину с(х, то можно записать (Ргих)а'ь' = (Ргс1х)аь+ д (Рых) дх. дх Тогда изменение массы флюида в объеме аЬЬ'а' за промежуток времени д1 за счет потока вдоль оси х: Ирщ )с — (Рщ ) ь ] '(У'(гс(à — сгхьгУсг™ Рассматривая фильтрацию флюида в направлениях вдоль осей у и г, получим аналогичные выражения для изменения массы в элементарном объеме за счет потока вдоль этих осей в виде — ") с(ггпу гс11 и — (1 ' г(хс)уг(Ы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
