И.А. Чарный - Подземная гидрогазодинамика (1132329), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Отсюда Ь= (Ч11. И. 44) з ! Ьо Преобраауем сначала (Ч!1. И. 34) для ре — — 0 и выразим Ь череа з и б, учлпывая согласно (Ч1!. И. 7) и (Ч! !. И. 34), что при )го=О, а=О 2а 2уе Ь= — = —, Ре 4 4 Ьо = — — — Ь, 3+ се-— з — — — Ь. з з (Ч11. И. 45) Найдя из (Ч11. И. 40) 5„из (ЧН. 11.
39) можно вычислить затем з, а из (Ч11. И.ЗЗ) Зл=5е+з. Выбор нужного корня в этих уравнениях производится из следующйх очевидных физических соображений: 1) Ьо должно быть положительно (5 ) 0), причем должно быть че > 5л, о<0; 2) производные и и и в точках $=$з, и=О и а=ел, и=1 в (Ч11. И. 28) при нашем условии Ьу=ул — Чз ) 0 должны быть всегда отрицательны; 3) в интеРвале 5л < з < $о должно быть 0 < и < 1. Рассллотрим частные случаи. 1.
Пусть )ге=О, ЬфО. Согласно (Ч1!. И. 19) сохраняется постоянный по- перепад давления на длине, запятой жидкостью 1. Учитывая (Ч!!. И. ЗЗ), из (Ч11 И. 19) имеем 288 Гл. У11. Деисиеиие раздела двух лсидиостей е лористой среде Иэ (ЧП. И. 44) имеем Ь= . Отсюда 26 Ь* — (з — — 1 Ь+ 26 = О, 41 з 2 Г~з 2 Ь= — — — -1- ~ — — — ~ — 26. (ЧП. И 46) (ЧП, И.
47) Подставляя это значение в (ЧП. И. 42), находим 26=( — — — ) — ~ ~, ) (ЧП. И 48) При 6=0, когда напор в сечении з=О равен глубине Ь (рнс. Ч) . 35), получаем случай, рассмотренный П. Я. Козиной [Лт. Н. 2) и Г. И. Баренблаттом [35, 37[. Иэ (ЧП. И.44) имеем з+$о=О, $о= — з; „=0 при 6=0. Иа (ЧП. И.48) будет зз — 4з зз-[-12з 2з 2зз+48 (Ч11. И. 50) Отсюда прн знаке плюс имеем ее=12, з= — )с(2 я согласно (ЧП.
И. 49) Ь=О, что не имеет фианческого смысла. При анаке минус в левой части (ЧП. И. 50) имеем зз = ~ Рс112 — 8=.+10,583 — 8 Знак минус перед корнем не годится, При знаке плюс за=10,583 — 8=2,583, з= — 1,607, 5о — — 1,607, при этом получаем иа (Ч11. И.49) 48 — 4 2,583 — 24,1607 1,6073 — 0882) О, что удовлетворяет условиям задачи. Точные решения дают фо=1,614, что очень блнако к найденному выше значению 5о = 1,607. Найдем уравнение свободной поверхности для этого случая.
Согласно (ЧП. И 26), (Ч11. И. 28) и (ЧП. И.ЗЦ при а=О, 5о=1,607, учитывая (ЧП. И. ЗЗ), получаем $е 1 607 а, = — — = — ' = — 0,8035, 2 2 1 ($е Ь) Ь 1 0882 25о ( 2 2 / 45о 4 4 1 607 0,25= — 0813, Уравнение (ЧП. И. 48) следует решать графически. График нужной области (ЧП. И. 48) приведен на рис. ЧП. 34, причем имеет смысл з ( О. Таким обрааом, если задано 6, то иэ графика (рис. ЧП. 34) для (Ч11. И.
48) сначала следует найти з, а затем из уравнения (ЧП. И. 42) Ь 48 — 4 24 с+ аз ' Г 11. Задачи о вытеснении одной жидкости друеой и(6)= — — о (6 — ео)+ — ~ — 1) ($ — $о)е= — 0 8035($ — 1607) — ОЛ13Х 6о 1 /Ь х (Ь вЂ” 1,607)з. (УП. 11. 51) Прн Ь» 1, е « 1 приближенно иа (УП. П. 48) и (УП. И. 40) 25 —, е — — у —. Ь вЂ” — — "- = Ч 26 ° (ЧП. И. 52) 4 т/2 2 — —,е. --Уд Из (ЧП. И. 45) и (УП. И. 52) Ьо= — — — У26 =у'25 =Ь, 6г=$е+х= У26 — ~/ — ° (ЧП И 53) Таким образом, при большом перепаде давления б ~ 5 граница равделв мело отклоняется от вертикали, что совпадает с результатами С.
Н. Бузиновае полученными другим путем. 2. Рассмотрим теперь общий случай ро фО, Ь ~ О, для чего обратимси к уравнениям (УП. И. 35) и (ЧП. И. 40). Этн алгебраические уравнения 4-й степени всегда ыогут быть решены с любой желаемой степенью точности в каж2а дом конкретном случае прп заданных ро и Ь = —, причем отбор нужных )ео корней производится, как было указано выше для случая ро = О. В реальных условиях, как указывалось, величина а может быть опенена вз известного объема закачки )1' заданное время Т из уравнения (УП.
И. 21), откуда для Ь получаем 2о оо ЬеТ Ь= — = Найдем сначала $о и з = 5е — $о, не учитывая влияния разности объемных весов йу = уе — уо на процесс вытеснения. Этот случай может считаться д~ статочно исследовенным (15, 16). Как было покааано в $7, при атом скорость точки А границы раздела вдоль подошвы (рис.
УП. 33, а) в ро раа больше средней скорости, а точки В вдоль кровли в )ео раз меньше. Такам образом, без учета влияния из уравнения (УП. И. 5) получаем (рис. ЧП. ЗЗ, а) дз, 1 д(г) 1 д, т д1 р~ Ь ро Ьенг 1 2оо Рее ро т р"Х (Ч1!. И. 54) Отсюда согласно (УП. И.З), учитывая (ЧП. И.7) и (УП. И.ЗЗ), имеем зо И) 2)евдо $0= == — — =2 =5ре рек г т и ее (Е) 1 2ео 2а Ь е ро тк „е р. о р'н е Сравним $о и е, получающиеся из (УП. И. 35) и (ЧП. И. 40) при учете йу, с их значениями по формулам (ЧП.
И. 55), в которых Лу не учитывается. дзо а а(Г) а — =Р.— =Р. =, ат Ь рене х 2)евдо Р Г т феи 1 1 е=Ье Ьо= Ь(ре ~ (УП И 55) ро/ 240 Гв. ЧП. Движеиие равдева двух жидкостей в иористой среде са= Ь ~ро р.~ (ьо)о = Ь Ро Для уравнения (ЧП. И. 56) получим 3 ()со Ц Оса+ Ц Ь 12 8 56ро+4 а.),=ь(р.— ц+ ' ' „ц, ' ', + — 3 (р — Ц Ь +(104 р +16 8 +8) Ь вЂ” 3)а (р — Ц Ь вЂ” (80 8 — 16 р ) Ь +648 + 3 (ре ца ьа ° = )со Г 4)ао(ро 4) 20 8 ( 8 )1 ЧП И 58 Ьп,) (и,— ца +(~ — ц З(и,— ца~,(3+ Ьа )1 При ра ) 1 и достаточно большом значении Ь (ьа) г тв (ьо) а = Ь ро = зи Этому соответствует следующий физичесгспйюмыгл: прн ро ) 1, как указывалось в 4 7, частицы жидкости 1, попав в вону движения жидкости 2, где градиент давления в ро раз больше, соответственно убыстрягстся.
Если при этом закачиваемый расход достаточно велик, аакачка идет в быстром теаше, то вклипиваяие жидкости 1, обусловленное гравитационными силами, будет весьма незначительным по сравнению с вклиниванием, обусловленным непосредственным вытеснением. Аналогично для уравнения (ЧП.
И. 57) )ао 1 + 4(уа+Ц Ро 24 Ь(уе — Ц Ро Ро Ро Ь()с — Ц Ра Ь (р„— Ц + 48 Ра Ь Ро 4 24 Ра Ро Ь (р — Ц ь (р,'— ц(р,+ц ро Ь(ра-ц + 48 )с Ь'(р -Ц (ЧП. И. 59) Для этого уравнения (ЧП. И. 40) и (ЧП. И. 35) представим в следующем виде для решения их итерационным методом: 3(ра Ц ()'е+ЦЬ' — 12)со 55Ро+4 ~ — Ц~ — Ц+ 3(уо Ц* — 3 за — Ц Ь +(1048 +168 +8) Ь з(р,— ц а' + о — Зре(ра Ц'Ь' — (80ро 168 ) Ь'+64ро 1 3 (р — ц' а о Ро 40аа+Ц 1 24Ь Оса Ц 1 48 1 ( И ра Ро ре р Для решеаия уравнений (ЧП. И.
56) и (ЧП. И. 57) методом итераций подставим в их правые части аначения (ЧП. И. 55), которые будем рассматривать как нулевые приближения: У 11. Задачи о витескекии одкой жидкости другой т. е. м ~в го при достаточно большом значении Ь ро = 2 а и ро ) 1. Отсюда следует важный практический вывод, что при )»о ) 1 и достаточном те»ше аакачкн характер вытеснения определяется только рааличием вяакостей. Раалнчие плотностей в этом случае почти ие окааывает влияния. Этот вывод полностью согласуетгя с результатами Я. И. Алихашкина. В табл.
1 и 2 (36) приведены значения $о и $», полученные в реаультате численного интегрирования уравнения (уП. 11. 11) на машине «Стрела» для разных а и («о при йу»а О. Эти аначения в таблице обозначены 5«, 5' м могут рассматриваться как точные. Для сопоставления рядом приведены значения 5«, 5», вычисленные для угловая * пу = О, т. е. одинаковых плотностей. Эти значения обозначены со, ф . о' !' Таблица 1 а=0,50 о = 2,5 а= — 5,0 а=О,ОО г»* 5» 51 5» гоо г»г 4, 00 5,00 11,00 0,39 0,80 10.07 — ОЛ5 0,20 10,02 — 0,25 0,05 10,01 — ОЛ6 0,00 10,00 1,00 — 1,00 0,87 — 0,69 0,76 — 0,51 О, 64 — 0,37 0,40 — ОЛ 7 0,36 — 0 15 0,32 — 0,12 — 0,14 0,00 10,00 — О,!2 0,00 10,00 5 О,ОО 1,00 10,00 Таблица 9 а= — 50 а =.
РО а=500 а=25 5» 5« 5* 5» т«» г* 5« г» 5* о го» Ро 100,0 1001 999,0 16,00 1000 160,0 4 001000 39,99 1, 001000 9.99 0,04, 1000 0,36 51,00 49,00 50,00 51 01 7,92 8,00 1000 160,0 40,0 !0,0 0,40 1,00 19, 00 20,03 3,02 20,0! 0,59 0,00 — 0,02 ,00 — 0,14 0,00 — 0,12 0,00 — ОЛ1 1,0 2 2,5 5,0 10,002 50.0 20 70,0 2 100,0 2 1,89 2,00 0,35 0,50 — О ЛИ 0,02 — ОЛО 0,01 — ОЛО 0,00 8050 00 50, 00 50, 00 50,00 0,02' 1000 0 166! 0,20 0,01 1000 0.05 0,10 5о 2000 50,00 100,0 1000 Из табл. 1 и 2 наглядно следует, что практически пря )»о > 2,5, а ) 2,5, гравитационный аффект при вычислении с«ве играет рели. При ае, 2,5 травитацновныи эффектом пренебрегать нельзя. Графпки заш«сивости и (5) для разных )«о н а приведены в статье (36).
Вы!не было показано, что аппрокснмацвя границы раздела крнвыин типа парабол дает достато «но близкие результаты к некоторыи иавестным точным решевили. 1,0 2,5 5,00 10,0 50,0 70,0 400.0 0,00 0,00 0.00 0,00 0,00 0,00 0,00 20,00 3,20 О, 0,20 0,01 0,00 0,00 2,00 1,56 1,34 1,19 1,06 1,05 1,05 — 0,00 1,00 — 0,44 ОЛΠ— 0,42 0.04 — 0,34 0,01 — 0,17 0,00 — 0,15 0,00 — 0,13 0,00 6,00 5.14 505 5,03 5,01 5,01 5,01 101,0 99,00 100,0 15,95 100,0 3,94 100,0 0,91 100,0 — 0,07 100,0 — 0,08 100,0 --0,08 9,00~ 10,00 1,31~ 1,62 ОЛ2~ 0,40 — ОЛО 0,10 — ОЛ5 0,00 — 0,13 0,00 — ОЛ1 0,00 242 Гл.
У11. Дви ение раедела двух жидкостей в пористой среде Представляет интерес оценка точвости более грубой аппроксимации границы раздела в виде прямой ливии. Вместо (УП. 11. 26) будем искать уравнение границы раздела в виде лииейвой зависимости и = ао(С вЂ” $о) (ЧП. 11. 60) К уравнениям (ЧП. 11.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
