И.А. Чарный - Подземная гидрогазодинамика (1132329), страница 42
Текст из файла (страница 42)
ЧП. ЗО. Вели в (ЧП. 10. 17) заменить н (у) на его макснмачьное значение нома я толковать ю как теьшературу, то, очевидно, зго будет соответствовать более быстрому выравниванию температуры. Верхний предел скорости выравнивания целесообразно рассчитывать по максимальному значению 1н (у)1шах Исследуя н(у) на максимум, после простых вычислений получаем (н (у)1тах = н =— ауй е ег (уег — )' ег)г. т (е, — ег)г 222 Гл, )ЕП. Двихееееие раздела двух хеидхоотед в аориетои среде При а,=со=а вместо (ЧП.
1О. 18), как легко видеть, будет (и(уи .,=и= — '" — '. буй с еа 4 (ЧП. 1О. !9) ю (У) = — ° — ~ ~ 1+ — ~ ~ т) — — 1в (! т бт)) ~ — — ), (ЧП. 10. 20) где обозначено у вт — сз — Ь= й ' св (ЧП. 1О. 2!) Таким образом, для заданного у иа (ЧП.10. 20) можно найти ы и наоборот. Последнюю операцию проще всего выполнять графичесии по заранее построенному графику правой части (ЧП. !О. 20). Нри 6=0 и сд— - во=с из (Ч1!. 1О.
2!) получим )вз 1 ! ! ))з т)з ) с ~ 2 3 (ЧП, 1О. 22) Проводя аналогичные рассуждения для случая двухмерною растекания, получаем (ЧП. 10. 23) где хп хв — прямоугольные координаты на плоскости. Начальные условия зададим в виде е ы(х, 0)=1(х) — линейный случай, при )=0 ю (хи хз, О) =У (хи хз) — двухмерный случай. Дальнейшие расчеты будем производить, предполагая к=сипаи Из теории теплопроводности известно (31), что для линейного случая решение уравнения (ЧП.
1О. !7) в атом случае имеет вид: СО (х — и) о ю(х, 8)= ~ 1(и)е " ди, 2)впит,) (ЧП. 10. 24) а для двухмерного решение (ЧП. !О. 23) будет со «о [хг — и)з + (хз — о)в ю(хи хв, ))= ( ~ 1(и, о) е дида. (ЧП. !0. 25) 4яиг ) При линейном растекании, вводя подстановку =з, и=х+2з)еи З, 2Уи) диоо2)ем Гдв, (ЧП.
10. 26) Раавернутое выражение ю(у) получим после выполнения интегрирования согласно (ЧП. 10. 14) что дает после простых вычислений д 70. Вираеииеаиие раздела деди жидкостей перепишем (ЧП. 10. 24) в виде оо оо(х, с)= ~ у(х-)-2з Уис)е зздз. (ЧП. 10. 27) -( а х Р . ЧП. 31. (О, — оо« вЂ” (, г (х) = (о'о С < х < ( 0,(<и<со. (ЧП. 10. 28) Это условие на основании (ЧП. 10. 26) можно переписать в видо ( (+к О, — оо<з<— р Ф (+х ( — х ооо, — < з <, (ЧП, 10. 29) 2Уис 2Унс у(-+2 У с)= с — х О, <з< оо. 2 )г и с Тогда из (ЧП.
10. 27) следует, что Уй( о луис — ео,( ~о [ ~ — зз ~з ( ~ е-зо дз ге* о а а(гк с (+ х ( — х 2УхГ 2 Уи( то ~ ~ з'(з.(- ~ е езде~ = Усс о о $ ет(а==) о Ии — интеграл вероятности. (ЧП. 10.31) 2 г „г Усе о «о(х, с)=— го о Уп С+х 2 Уис Рассмотрим пример (рнс. ЧП. 31), когда начальное распределение имеет вид прямоугольника: 22!( Гл.
У11. Движеиис равдела двум жидкостей в лориса»ой среде Рассмотрим поведение решения (Ч11. !0.30) в точках ! — е, !+ в, где е весьма мало. В точке и=! — а в(! — е, с)= — (ег! — + ег! — ) . (ЧП. !О, 32) вв / 2! — а е 2 (, 2рткс 2)гкс Следовательно, подходя к точке ! — з взнутри интервала при малых с и учитывая, что ег! ~ -» 1, получаем в(! — е, с) ив в . В точке и = ! + е в(!+е, С)ии — с(ег! — ег! ) . о», / 2!+з е 2)т'к! 2 ггх С /двв ! дв 1 дв к( — + — — )=— (дгв г дг ~ де (ЧП !О 33) а начальное условие прн с =0 в (г, 0) = ! (г).
(ЧП. !О. 34) Переходя к полярным координатам, мс=г сов 8, ив=г з!в 8, и=О созе, оти = р з!л в, получаем ди до = О дО дср. Перепишем (ЧП. !О. 25) в виде ах+ в тв + ов — вт о сов Оо — в! в (г, С)= — ),'! 1 (0) О е «и« НОд(Р (ЧП !О 35) 4якс о 'о или, вводя замену переменных «р=ср — 8 (ф — угол между векторами г и 0) «о тв + о« зи тесов ту в(г, С)= ~ С(О) Ое зхс дО ~ е Зкс дф. (Ч11. !0.38) 4ккс о 5 Из теории бесселевых функций известно (31, 32), что п ~ехоова до сс 1 (и) о В точках за пределами интервала ( — 1, !) в сначала повышается (при с = О, в = 0), а затем понижается. Из (ЧП.
!О. 27) следует, что авачение в(м, ') в момент с)0 аависит от аначений 1 на всея прямой интегрирования, т. е. скорость распространения возмущений бесконечна, что хорошо известно для классического уравнения тепе лопроводности. Однако заметные изменения в будут только при 0 с..= с., 2, 2)'кс откуда следует, что скорость распространения «яаыка» нижней жидкости практически равна е = 4У х с. Рассмотрим теперь радиальное растекание. Будем предполагать, что имеется радиальная симметрия, т.
е. все величины аавнсят только от радиуса г. Уравнение (ЧП. !О. 23) в атом случае принимает внд: С 10. Выравнивание раздела двух жидкостей где Уз — функция Бесселя мнимого аргумента нулевого порядка первого рода. Тогда ги о саво 2Я еоссзЗУ 2 С дф у ( ~~>)+~ 2хз О х я еосавф а( С)+ ) ф л а(2ССС )+ з(гх С) О а(2 с) (Ч11. 10. 37) Я (г С) с (9) 9 е си 1з ( ™ ) д0 (Ч!1 10 38) 1 2хС 0 ев аз о' )(9) 9 з"'У,( — )д0. (ЧП.10,39) 2сс с ~ 2хс) О В общем случае интеграл (Ч11. 10.
39) приходится вычислять приближенно. Если начальная функция С (г) может быть аппроксимирована в виде т (г, О) = С (г) = ~~~~ Ас е (Ч1!. 10. 40) где Ас, рс — изнестные постоянные, то интеграл (ЧИ. 10. 39) берется в конечном виде при помощи известной из теории Бесселя формулы аа тз ое-Р'о'1 („Е)39= —,е " (Ч11. 10. 41) О где рз и т — постоянные. После простых преобразований получим ов А.е — дсозе ах с р до С сот ах с С' ш (г, С)= — ) о,г 2хс дс з Ас ах с дс + с 4х С бе+1 =Х (Ч11.
10. 42) формулу (Ч11. 10. 39) можно преобразовать также к виду аз (е — ор го 1 л ы(г, с)ее — ~ 01(9)е е Ха( — )49, ЗхС гхз ! г91 2х С '(2х С ! о (Ч11. 10. 43) причем учтено, что сз(в) = Сз( — к). Таким образом, можно (Ч11. 10. 36) переписать в виде еа аз+се 226 Ге. УСЕ. Де»же»ее раздела деу» жидкостей е кориетой среде чтобы можно было использовать таблицы функции е»со(») (32), а при гй гй 2нС ,р 10заменить Со( — 1! его асимптотическим приблюкением ~2нс с е» е о (*) ~ г'2я* Вводя подстановку Π— г 2 ген С откуда 0 = г + 2» ген С, (У!1 10. 44) (У11.
10. 43) можно переписать в виде ео (г, С) = — (г+2и рен с)1(г+2и )сне) е " е * 1 (з) ди, Ген с 2)'»С (У11. 10. 45) где гз ги з= — + —, 2нс юо, 0<г<Л, 1()= ' О, Л < г < оо. Формула (ЧП. 10. 45) в этом случае привнмает вид: и— 2 )С и С ю (г, с) =, о ~ (с+2и)си с)е и е 'со(е) ди. )си с I 2 У'кс (У!!. 10.
46) При г=О и 2У»С ю (О, с)=2юо )' ие и до=осе(1 — е си'). о (У1!. 10. 47) Полученные вьппе формулы позволяют, в частности, сделать расчет времени осадки водяного конуса после остановки нефтяной скважины, оценить времн деформации газового объема в водонасыщенной пористой среде под действием сил Архимеда и т. д. Так, можно повевать, что время деформации больших гааовых объемов в водоносных пластах под действием гравитационных сил весьма велико, что указывает ка прннципнальпуо возможность соадання подаемныт гааохравилиш в горизонтальных и пологопадающих водоносных пластах (33).
Расчеты по (Ч11. 10. 45) проиаводить легче, так как е " быстро затухает, а с — ограниченная функция. Рассмотрим случай У 10. Выравнивание раздала дауа жидкостей Приведенная выше методика, соответствующая схеме )су —— со и максимальному значению коэффициента и в линеаризованиом уравнении (ЧП. 10. 18), дает аавышенную скорость выравнивания границы раадела и, следовательно, нижний предел для времени. Заниженная скорость выравнивания и верхний предел времени выравяввання могут быть найдены, как укааывалось выше, путем мысленного введения в поток той вли иной системы непроницаемых перегородок, искажающих истинную картину течения и соответствующих увеличению сопротивления сверх действительного.
Для аадачи оседания конуса ато можно сделать следующим образом (рнс. ЧИ. 32). На цилиндрической поверхности, проходящей череа контур Вв, давление предполагается распределенным гидростатически. Пусть Оз, Оз — точни пересечения оси скважины с кровлей н подошвой пласта. Проведем теперь два покуса -с а Рнс. ЧП.
32. с обрааующими ОаУ и О,Л', основаниями которых является невоамущенная гос ризонтальная плоскость первоначального положения водо-нефтяного контакта Проведем систему перегородок 1 — 2 — д — 4 — $, показанную на рнс. ЧП. 32, по которой движения жидкости и осадка конуса будут происходить следующим образом: по системе 1 — 2 от Ва до образующей Озд' плоскорадиально, по системе 2 — д — 4 между образующими ОзЛ' и Оздс вертикально вниз и затем по системе 4 — д от образующей Оздс обратно до поверхности Ва. На участке 1 — 2 — д движется нефть, замещая воду, движущуюся на участке д — 4 — д Движение происходит под действием архимедовой силы, обусловленной подъемом воды у = у (г) над первоначальной горнаонтальной плоскостью водо-нефтяного контакта.
Расстояния между соседними бесконечно близкими перегородками показаны иа Ряс. ЧИ. 32 Прсдэаритолько расширим вывод формул для вытеснения одной жидкости другой с учетом различия плотностей (рнс. ЧП. 32, д). Пусть длина з трубки тока с сечением 1(в) занята жидкостью 1, 1 — в — жидкостью 2. В сечениях А, В н на подвижной границе раздела 0 заданы давления рю рл, рв и геометрические напоры з ,сн, за(рве.
ЧП. 32, д). Тогда расход каждой нз жидкостей может быть найден нз формулы, являющейся обобщением формулы (ЧП. 5. 5) на случай различных плотностей: (Уа+Чг са) (до+Уз зо) (Уз+уз зо) (Рн+Ут зв у— в [ о в 998 Ге. УХ1. Движение роедс.ье двух жидкостей е иористой среде или где (ЧП.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
