И.А. Чарный - Подземная гидрогазодинамика (1132329), страница 39
Текст из файла (страница 39)
15. Распределение потенбудет возрастать. циала вдоль стенки скважины, ее Нетрудно показать, что потенциал продолжении и поверхности водя- вдоль оси будет ноарастать так, как ного конуса. показано нз рнс. ЧП. 15, т. е. выпуклостью вправо. Действительно, вертикальная составляющая скорости фильтрации определяется формулой о>в =-.
— д Ф>до. Вершина конуса по условию неподвижна. Следовательно, скорость нефти на этой вершине обращается в нуль, откуда вытекает, что касательная в этой точке должна быть вертикальной. К оси сквансины подтекают струйки. Поэтому скорость вдоль оси скважины монотонно возрастает от нуля до какого-то максимума на донышке. Таким образом, ~ д Ф!дх( вдоль осп з скважины монотонно возрастает и кривая распределения потенциала Ф = Ф (О, о) должна быть обращена выпуклостью вправо, как показано на рис. ЧП. 18.
Очевидно, высота конуса определяется положением точки пересечения прямой КЬ и кривой Ф = — Ф (О, о). Т>чный вид распределения потенциала при наличии конуса обводнения неизвестен. Поэтому нужно исходить из какнх-то других предпосылок, которые позволят оценить хотя бы приближенно величину подъема конуса и наиболее интересную для практики величину — предельного безводного дебита. Заметим попутно, что эта задача имеет лшого общего с некоторыми вадачами безнапорной фильтрации, о частности с задачей о гравитационном притоке жидкостей к несовершенной скважине (рис.
УП. 16). Предположим, что водоносный пласт с открытой поверхностью эксплуатируется прн помощи сиза>вин, которые перфорировавы в нижней части, Гл. Р11. Доижснис раздела двух акидкоетеа о ььористой среде 'Од Прямая ЛВ изображает статический уровень грувтовых вод. Если скважияа совершенная и вскрыла пласт полностьв, — мы имеем задачу о безкапорком притоке к колодцу (сч. гл. Ч1), когда дебит выражается формулой Двпюи. Если же скважина перфорировака в нижней части, то поверх- вость депрессии — поверхность грунтового потока .
— будет иметь впд кривой АСС'В, т. е. кад филь- 4 тром будет. как говорят гидротехники, некоторая величина яависания у. Г При слишком болыпом дебите с ( с' повсрхььость депрессии понизится до верхнего отверстия и туда прорвется почвенный воздух. Эта аадача и задача о конусе подошвсяпой воды в нефтяной скважине совершенно зквивалектвы.
Роль подошвениой воды здесь играет почвенный воздух. Рпс. Ч11. 16. Схема газового конуса. Рассмотрим приток жидкости с обрааованием неподвижного устойчивого конуса подошвспной воды и проведем две цилиндрические поверхности, сооспые со скважиной: первую некоторым радиусом го (в частности, это может быть радиус скваживы); вторую радиусом Во (рис. Ч11.
17, а). Направим ось е вниз и иа произвольном расстоянии с (го ( г - Во) опишем цилиндрическую поверхность вокруг скваживы; найдем расход нефти через эту цилиндрическую поверхность. (д,.г) г) д(у) (ьЮ ьво (ев у) Рис. ЧП. 17. Обозвачим высоту этой цилиндрической поверхности А. Ока будет переменкой величиной: 1ь = А (г). Напомним вывод одного иа ивтегральвых соотяошевий для расхода ($ 6, гл. Ч1) применительно к нашей аадаче.
Дебит жидкости (иефти), протекающей через нашу цилиндрическую поверхность, можно определить следующим обрааом. Выделим бесконечно малый элемевт поверхности — цилиндр — высотой дз и радиусом г и найдем элемеитарвый расход через боковую поверхность этого цилиндра. гоу о 8. Конус нодошоснной ооон Расход находится путем уопюжевия радиальной составляющей скорости фильтрации ич па площадь боковой поверхности 2пгс(г и интегрировании пропэводешгя по э в пределах от нуля до Л: О.= ( ( ого (2п гс(э. о (ЧП. 8. 11) Радиальная составляющая скорости фильтрации ю, в нашем случае будет направлена в сторону уменьшения г и, следовательно, отрицательна, причем сот = — д Ф(дг.
Нам для вычисления расхода нужно абсолютное значение скорости. Так как потенциал возрастает с увеличением г(скважина является стоком), то, учитывая направление скорости, можно записать ~сот) †-- д Ф('дг; формула (ЧП. 8. 11) для скважины-стока примет следующий впд: лп) Л (г] дФ , Р йФ вЂ” 2п гйэ = 2я ~ — — йэ, дг д1пг (Ч П. 8. 12) так как — =с(1пг. с)г г При помощи формулы дифференцирования определенного интеграла по параметру получим следующее выражение для дебита: Л (г) Я=2п ( Ф(г, г) пэ — Ф ()г, г) . (ЧП. 8. 13) ( й1пг ) ' ' и'!пг1 о Разделим переменные в последнем уравнении Л (г) — сПп г = о' / Ф (г, э) с(э, '— Ф (Л, г) г)Л 0 (ЧП. 8. 14) о Л (Но) Л (го) л (по) — 1и ') Ло 2я го Ф (Ло, с) йг — ~ !р (г„. о) сы — ~ Ф (Л, г) йл.
о о Л (гО) (Ч)(. 8. 15) Последнюю формулу можяо интерпретировать графически следующим образом. Возьыем оси координат Ф и э, как показаяо на рис. ЧП. 17, й, и построим графики функций Ф (го, э), Ф (Ло, э) распределения потенциала вдоль боковых поверхностей го и Ло (кривые ОР и М)У). Выясним, какой геометрический смысл имеет первый интеграл в уравнении (ЧП.
8. 15). Очевидно, он равен площади ОМ)ЧОэО. Второй интеграл, кок легко видеть, равен площади ООРОгО, третий интеграл — площади ОгРЛОэОь причем согласно формуле (ЬП. 8. 10) Ф (й, г) изображается прямой !ЧР. и проинтегрируем полученное выражение (ЧП. 8. 14) в пределах от г = го до г = Ло.
Учитывая, что первый член правой части после интегрирования в этих пределах обратится в разность интегралов, получаем Р д. Конус нодошвенной води ййу тикалью угол р = агсгй —. Граница раадела воды и нефти при этом будет заканчиваться острием (точкой возврата), что указывалось ранее Д. А. Эфросом (23) (рис. ЪП, 19, а). Распределение потепциала вдоль оси скважины при равяодебитпом певоэмущеяяом движении с тем же потенциалом Ф (Вв, в) согласно предыдущему будет происходить при ббльших потенциалах и графически пэобрая<аться пупктиряой кривой В'В" С'В', лежащей правее кривой ВС. Существенно отметить, что так как площадь треугольника РС'ХР должна быть равна площади ленты В'В" С'СВ (верхняя часть ленты пе покаэава) то, во всяком случае, площадь треугольника ВС'В'1) будет больше площади сегмента В" С'СВ". Юдева 1 г а г 5 Р .
И~. 19. Расслютрим теперь иевозмущевпое движение в пласте мощностью йв при том же распределепии потеяциала Ф (Вв, в). Предположим, что дебит при яевозмущенном движении начал увеличиваться и дошел до такого акачеяия (1ь когда кривая распределения потенциала Ф„(0. в) (кривая А'В'СЪ', рис. УП. 20) касается прямой ВВ", соответствующей потенциалу границы раздела воды и нефти пря возмущепаом дзшкепии, в точке С', Маскет (Лт.
1. 11) прикипает Сг за предельно возможный нефтяной безводный дебит. Докажем, что Св будет заведомо больше предельного дебита возмущенного движения (гирея, при котороы вачииается прорыв воды в скважину. Для этого обратимся к рис. УП. 18, т П. 19, УП. 20.
Если бы было воаможио устойчивое возмущенное движение с дебитом ()» то высота подъема вершины конуса должна была бы быть больше дс, (ус ) ус,), как зто следует из рис. УП. 18. Как указывалось выше, потенциалы возмущенного движения должны быть меньше потенциалов тех >ке точек при иевозмущеияом т.
е. Фневоэи (О в) ) Фнови (О в), причем потеициал вершииы кокуса должен при всех обстоятельствах лежать па прямой ВВ". Из рис. УП. 20 видно, что одновременное выполнение этих условий невозможно, откуда следует, что равновесие воды нарушится при предельно воэможяом дебите ()вред возмущеввого движения, меньшем Сь Таким образом, ~), > ) ('нэеа. 210 Гл. У11. Движемиа равдела двух жидкостей в парис ай среде Чтобы найти дебит, ааведомо меньший предельного, рассмотрим теперь невозмущенное движение с дебитом 0о, когда распведеление потенциала вдоль оси сиважины характеризуется кривой А"В"С''Р', прячем площадь сегмента В"С"С'В" равна площади треугольника РС"Р"Р.
Выше (см. рис. Ч11. 19) указывалосгм что перед прорывом воды в скважину рзвнодебитное невоэмущенное движение таково, что площадь треугольника РС'Р'Р больше площади сегмента В"С'СВ". Чтобы эти площади сравнялись, кривая распределения потенциала В'В"С'Р' должна быть сдвинута вправо, что соответствует уменыпению Ас А 11 дебита.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
