И.А. Чарный - Подземная гидрогазодинамика (1132329), страница 43
Текст из файла (страница 43)
10. 49) фильтрационное сопротивление между сечениями з„ег при движении однородной жидкости. Для нашей системы трубок тока (рис. ЧП. 32, о) (ЧП. 10. 50) 1 — 5 1 — 3+ 3 — 3+ 3-4+111 — Ь' (Ч11. 10. 51) Согласно условию о гидростатическом распределении давления (рнс. ЧП. 32) Рь= Р,+У (г,— гл)+У,(ги — га). (ЧП. 10. 52) (Рг+У, г,) — (Рт+У (г,— гн)+Уз(гч-г,)+У, г,)+(У,— Ун) г, Д Н где ВУ Уе Увь и га ггг Фильтрационные сопротивления, в сумме составляющие ))1 ь, согласно (ЧП.
10. 49) и рис. ЧП. 32 определяются формулами (ав — и) 2н где дг = " (йн — у — ггй аь), рн 2н йт Иг 113 — 3= й Ььн тга аь (ЧП. 10. 55) 2яй,д, ("г+У вЂ” г13") (аз+ "1 Ро Яз Ь= — — ( дг= й 2я гдг т га аг (рА Ут А) (1ьВ+Уз В)+(Уг Уь) о й— '(АО + ОВ ь ь- Р де Н (еь, гь) = й ~ 1(г) (Рь+Ун гь) (Рь+Уе гь)+(Уе — Ун) гь й Л Подставляя рь из (ЧП. 10. 52) в (ЧП. 10. 50), получаем ь5У У 1 — 5 Во Я рн ( дг рн 11о 1в— 1 — 3 й ) 2л гдгь 2яйдгь г ° т Ве Ь й ) 2ятдгг 2л йдгг (ЧП.
10.53) (Ч П. 10. 54) д 10. Выравнивание равде*а двдв жидкостей 229 Выразим теперь расход д через изменение ух У= — 2л гт йг— ду дх (ЧП. 1О. 56) =ау = — 2пгтдг— буу у ду 1 — ь В1 — ь(г у) Нх ЛЧ у (Ч1!. !О. 57) 2я тг дг В(1 ) (г, у) в где В1 ь=В1 ь(г, У) — суммарное фильтрациониое сопротивление, согласно (ЧП. 1О. 55) аависящее от У. Замечая, что Ых,=светка,, йхо=йг!я о, получаем 1 Г Во йв — у — г 1и ах В, — рвссбо, ° 1н — +рн + Ьв + у — г 16 соо +рв г +Ро с!6 вх 1в — ~= (Ив е!6 вх+ г ~ гпй.йг Г Во +Рв с12 пх) 1п — + — (Гоа йв+Гов йз)— г г — (Рвтб пх+)хв 16 оо) — йхв Рз) г ~ ° у1 (ЧП.
10. 58) Подставляя в дифференциальное уравнение (ЧП. 1О. 57), будем иметь ду дну (ЧП. 10. 59) йх т 1 (г) — ()хн )ов) У Рааделяя переменные, получаем "1=- — 1( — Р()-(р -р.)~ у т Г 1 дйу) У (ЧП. 1О. 60) тдв для краткости обозначено Во Р (г) =(рв схб их+(хв схб ох) г 1п — +()онйв+Гов "в)— (ЧП. 1О. 6!) г(Рв 1И ох+ Уз 16 сх) Интегрируя (ЧП. 1О.
60), получаем 1= — ~р (г) 1в — +(р — рв) (У вЂ” Уо)~ ° т Г Уо ЛД~( у (Ч!1. 1О. 62) Формула (ЧП. 1О. 62) дает закон двноквния ординаты у границы раздела, находящейся иа заданном расстоянии г от осн скважины. По поводу обеих расчетных схем — схемы дв — — оо и указанной вылив схемы течения с жесткими 220 Гл. У11. Двискеиие раздела двух жидкостей в користой среде воображаемыми перегородками — необходимо сделать следующее аамечакне.
Истинное движение, по-видимому, ближе подходит к схеме Л„=- оо, в то время как закон движения той илн иной точки границы раэдела по формуле (ЧП. 10. 62) может существенна отличаться от действительнога. Значение обеих схем для оценки предельных эначепий сверху и снизу эаключается в том, что расчетвый объем, пройденный границей раздела аа одно и то же время, в схеме Ло = са будет эаведомо больше действительно пройденного объема, а в схеме жестких трубок или перегородок заведомо меныпе.
Расчетные объемы в обеих схемах могут быть определены по указанным выше формулам, позволяющим построить конфигурацпю границы раздела в любой момент времеви при помощи графического, а иногда и аналитического интегрирования. Ряд таких расчетов приведен в работе А. П. Телкова [24 !. Эти расчеты показывают, что прп обычных средних условиях заметная осадка конуса подошвенной воды происходит эа 1 — 2 года и более. й 11. Автомодельные решения задачи о прямолинейном н радиальном вытеснении одной жидкости другой в предельно аннзотропном пласте йу = са Род д у Л Ау д Г у(Л вЂ” у) ду 1 ду Л 1 (Ра — 1) У т ]с, дх 1Л+(]с — 1) у дх ~ д! Ро= Ау=у«уэ Ре Р» (ЧП.
11. 2) причем нижняя жидкость 1 считается более тяжелой, д = д (1) — суммарный объемный расход, равный известному расходу жидкости 1, эакачнеаемой в пласт в некотором начальном сечении. Если эакачввэемая жидкость 1 болев легкая, чем нытесняемая 2, лапрпмер, когда аакачквается гаэ в нефтяной нлв валяной пласт, то, как потрудпо вздеть, рнс. ЧП. ЗЗ, п, где ось л направлена вверх, Уравнение (ЧП. 10. 10] в общем случае праиэвольной эависнмоств суммарного расхода 2 (г) Ф О, и Ьу ~ 0 являетгя весьма сложным нелинейным уравнением параболического типа, аналитическое решение которого аатруднительна. Покажем, что прп некоторых частных видах зависимости д (с), ! д (с) = А 1 2 при прямолвнейяом двнженвин д (г] = сопэ1 при радиальном можно эамевой переменных вида $ = ви ед уравнеяве в частных аронзводиых свести к обыкновенному нелинейному двфферевцнальному уравнению второго порядка, которое, вообще говоря, допускает численное интегрирование с любой желаемой степенью точности.
Такие решения навываются автомодельными и, как правило, представляют большой ивтереы так как в дальнейшем могут служить «эталоном» для оценки различных приближенных методов расчета. Авто- модельные решения обычно могут быть получены иэ соображенвй теории размерностей и подобия, чему посвящена широко известная книга Л. И. Седова [34], содержащая многочисленные примеры применения этого метода к раэлнчным аадачам механвкп. Автомодельные решения ряда задач нестацнонарной фильтрация газов и грунтовых вод были получены Г.
И. Баренблаттом [35! и П. Я. Кочиной [Лт. П, 2!. Рассмотрим прямолинейное вытеснение одяой я<ндкости другой в горнэантальнам пласте постоянной мощности Л (рис. ЧП. ЗЗ], В дальнешпем изложении жидкости будем считать несжимаемыми, пористую среду недеформнруемой, движение следующим закону Даран. Пусть жидкость 1 в своем прямолинейно- поступательном дввжении вытесняет жидкость 2. Тогда, считая напоры равномерно распределенными вдоль вертикали, для вертикальной координаты у = у (х, 1) границы раздела нэ уравнении (Ч П. 10.
10) получаем д 11. Задачи о вытеснении одной жидкости другой 231 (УП. И. 4) Рис. УП. 33. Рассмотрим случай, когда расход о=о(г) излленяется по закону д== д.й у г (УП. И. 5) где до — некоторая постоянная. Тогда (Ч1!. И. 4) обращается в обыкновенное нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка (— а ) ди д [ и(1 — и) ди ~) 2 [1+()ло Ц и[в) 33 'ц~ ) 1+Зло 1) и дь 1' Здесь безразмерный постоянный коэффициент а согласно (УП.
И. 5) имеет вкдл Р.УУ г р.е. (У1!. И. 7) т)л у~к Умножим сначала уравнение (ЧП. И. 6) на 3$ и проинтегрируем в некоторых пределах от 3=юг до "="„где 3ои $л — пока любые величины. Получим 1л Ь 1 (" ди [' ди 33 и(1 — и) ди [ 2 / до ) 33 [1+(ро — 1) и)л ) 1+(ро — 1) и <ц~)1 1о Ь и(1 — и) ди 1 (ЧП. И.
8) 1+()л — П и должен быть заменен рис. УП. ЗЗ, б, где ось у направлена вина, а под Ьу подразумевается разность объемных весов более тяжелой и легкой жидкостей, т. е. Уг — уь При бу = О получается задача, рассмотренная А. М. Пнрвердяном [16). Введением безразмерных переменных и= — ', 3==в х= у а 1 ВАЧА! (ЧП. И.
3) Ух!' (! Р~ ) ' уравнение (ЧП. И. 1) приводится к беэраамерному виду Род )~Г 1 ди д [ и(1 — и) ди ) т)л фс'„[1+()л,— 1) и[г 3$ дл„~1+(р,— 1) и 33 ) ди + —, — =О. 2 с($ 232 Гл. У11. Двиаеекие раздела двух жидкостей в пористой среде Здесь второй интеграл вычисляется в конечном виде, первый интеграл преобразуется интегрированием по частям. В результате соотношение (ЧП. И. 8) можно представить так: Ь 1 (' а ~ 1 1 (оьо ио — $оио) — — ~ идь 2 „! Ро 1 ( 1+(Ро 1)ио 1+(р„,— 1) и + 1о зо 2а $е+ ~ вас=в Ро Ь (УП И.10) Отметим, что бесконечное значение первой производной и' = ди/дз = со согласно уравнениям движения (ЧП. 10. 7) и (УП. 10. 9) соответствует бесконечной скорости фильтрации и, таким образом, при т)0 исключается из рассмотрения.
Нетрудно показатгп что уравнение (ЧП. И. 10) есть просто уравнение материального баланса для вошедшей жидкости 1, когда ири с = 0 начальная граница раздела является вертикальной плоскостью й = О. Таким образом, задача сводится к нахождению некоторой интегральной кривой для уравненяя (УП. И. 6), проходящей череа неизвестные точки з = зо, и .=- 0 и з = зм и = 1 при выполнении условия (ЧП. И. 10). В зтих точках можно найти, вообще говоря, производные всех порядков последовательным дифференцированием самого дифференциального уравнения (УП.
11. 6), которое представим в развернутом ваде: и (1 — и) ив [1+(ро — 1) и! (1 — 2и) — (и — ио) (ро — 1) 1+(р — 1) и (1+(ро — 1) и!' (ЧП. И. И) Из (ЧП. И. И) можно найти первые производные ио и и в точках 1 и =О, $=$м и=1, считая с=ее и=О, 1(га (ии')=О, а=бе и=1, 1!гл (1 — и) и'=О, (УП. И. 12) (УП. И. 13) (УП. И. 14) ь=$о, и=О, и =а —— зо о и=1, и=— 2 ро где ив=и($в); ид —— и ($ ). Пусть теперь зо и $, будут безразмерные абсциссы точек А и В пересечения границы раздела (рис.
УП. И. ЗЗ, а) с подопшой и кровлей в пласте, т. е. согласно (ЧП. И. 3) имеем ио — — и ($о) =О, ив=и(бг) =1. ди Тогда из(ЧП. И. 9) и(УП. И. 3), предполагая и (1 — и) — =0 в точках и= дс =О, и=1, получаем Г 11. Задачи о оитеононии одной жидкости другой 283 Дифференцируя (ЧП. П. 11) по г для второй производной в точке 5=5„ и=О, после упрощений, считая также 1(ш(ии"')=0 при 5=5„и=О, полу- чаем и =(и ) — — + з и = а — — а — — —. (ЧП.11.15) г о ! 1 Ро 1 '~ ! $о1! Ро5о1 1 о о (4 2 о о/ ~, 2/(, 2 / 4 Дальнейшее решение задачи можно получить следующим путем.
Зная параметры о и Ро, аадаемся некоторым значением (5о)г. Условия (ЧП. 11. 11) и (УП. 11. 15) позволяют выполнить численное интегрирование уравнения (УП. 11. 6). После выполнения численного интегрирования нужяо по найдеяному первому приближению и Я) вычислить левую часть соотношения (УП. 11. 10): Фо Ф ао) = $1+ /' «% зз Меняя "о, можно добиться выполнения условия (УП..!1. 10). Контролем может служить выполнение уравнения (УП.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
