И.А. Чарный - Подземная гидрогазодинамика (1132329), страница 46
Текст из файла (страница 46)
61) и (ЧП. 11. 62) добавляется условие и(Ь,)=а,(Ь,— Зо) =1. (ЧП. 11, 63) Из системы (УП. И. 61), (ЧП. 11, 62) и (ЧП. 11. 63) можно найти а,, тм Р,. Получим длл со квадратное ураввевие — з — Ь(1-(-Р ) оь +Ь Р вЂ” 1=0. (УП. !1. 64) (УП. 11. 65) Отсюда (1+до) Ь т/ (1 — Ро)зьо Здесь вужло выбрать знак плюс, так как иначе при р = 0 получим йо < О, что ве имеет смысла. Таким образом, $о= П+~)'+ 2 у(1-ро) 5+4. 2 (ЧП.
11. 66) ПРи (1 — Ро)оьо » 4 иа (ЧП. 11. 66) полУчии но= ' + — )! 1 — ро (Ь+ (1+О,)ь 1 г 4 2 2 г(1 — р,! ь (1+0)ь ь 1 2 2 + (1 ро(+ (1 — р,) ь' (УП. 11. 67) При )«о > 1 ( +!"о) + (Ро ) + =Роь+ (ЧП 11 68) 2 2 (р,« — 1) Ь Р' (ро — 1) Ь При достаточно большом Ь, т. е.
при достаточном темпе закачки, отсюда получаем согласие с формулой (Ч11. 11. 58), выведенной из параболической аппроксимации. При ро < 1 (1+до) + (1 !«о)Ь + 1 Ь+ (««П «1 60) 2 2 (1 — Ро) Ь (1 — Ро) Ь и искать параметры ап зо, З«иа условий (ЧП. 11. 10) балавса расходов и одного из уравнений (Ч11. 11. 13) или (ЧП.
11. 14) для касательной в точке з = — $о, и =- 0 или о = зи и =. 1 и условия и ($«) = 1. Учитывая (УП. 11. 33), из (УП. 11. 10) получаем гп Ьр =Ь='ь«) иди=о«) ао(ь ьо)дс=з« вЂ” — (зо — зо)о (УП. П 61) 2а д а, ро .) ) 2 Ьо Ьо В аависимости от того, движение какой точки иас интересует, выбираем уравнение (ЧП.11.13) или (ЧП.11.14). Предположим, что иас шпересует сначала движение точки $=ео, и=-0 (точка А, рис. ЧП. ЗЗ, а). Тогда берем уравнение (ЧП.
11. 13) и =а — — $о — — а,. 1 (ЧП. 11. 62) о 2 о 1 1 11. Задачи о еитеснении одной жидкости другой Иэ формулы (УП. 11. 19) получаем 6= —" = —,' = — (ЗЬо — Ь ')ггьо+ 4 ). (УП. 11. 71) )го 2 4 Для случая 6=0 — фиксированного уровня з беанапорном бассейне— ич (УП.
11. 71) будет ЗЬ вЂ” )г Ьо+4 =О, Ьо=0.5, Ь=0,709 (УП. 11. 72) вместо Ь=0,882 для параболической аппроксимации (УП.11.49), т. е. почти на 20оь меньше. При Ь=0 709 для Зо согласно (ЧП. 11. 66), где полагаем до=О Ьо= — Ь+ — )' Ьо+4 = ' + — '=1,414 =)г 2 1 1 0,709 уг 4.5 2 2 2 2 (ЧП.
11. 73) вместо точного звдчения за=1,614, т. е. на 12о4 меньше. Возьмем тепеРь за опоРнУю точкУ 4 = йг, и = 1 и вместо УРавневиЯ (УП. 11. 62) уравнение (ЧП. 11. 14): до~, а и = — — — = — ОгД, — Ь) = и,. 2 ро 2 (У ! !. 11. 74) Из уравнений (ЧП. П. 61) (ЧП 11. 63) и (ЧП. 11. 74) получаем для 5, нвадратное уравнение з =2а — $ з с+ =О. ро (Ч ! !. 11. 75) Отсюда +- — Ьг(! — ро)'Ь'+ 4рч.
(1+8,) Ь 1 2ро 2ро (Ч1!. 11. 76) При (1 — р )оЬо » 49, из (ЧП. 11. 76) получаем Ь,= — (~!)1-ро) Ь (1+9,)Ь 1 Г 4ро !чго 2ро г 2(1 ро!Ь (1+до) Ь ~1 — Р,~Ь 2!го 2ро ! 1 — Ро ! Ь (Ч1!. П. 77) При достаточно большом Ь отсюда следует согласие с формулой (УП. 11, 53). Интересно отметить, что формулы (ЧП. 11. 68) и (УП.
11. 69) отчетливо выявляют эффект разности объемных весов в отличие от формул (ЧП. 11. 58) и (УП. П. 59), где он несколько завуалирован. Если рааность объемных весов не учитывать, то получилось бы Ьо = ро Ь = 2 а прн ро ъ 1 и зо = Ь при ро ( 1. Формулы (УП. 11. 68) и (УП. 11. 69) показывают, что эффект сил Архимеда сказывается в дополнительном воарастании со тем меньше, чем больше ро и Ь. Практически при ро р 2, Ь з 5, как указывалось вьппе, этот эффект почти ве играет роли. Таким образом, грубая аппроксимация границы раздела прямой линией дает довольно правильные реаультаты для движения одной иа граничных ~очек — той, которая взята эа основную при составлении исходной системы уравнений. Для дополнительной оценки рассмотрим случай ро = О.
Из (УП. 11. 64) и (УП. 11. 66) имеем = — Ь вЂ” — )'"Ьо+4 . 2 2 (ЧП. 11. 70) 244 Гл. УП. Движение роздали двух акидеостей в пористой среде В (ЧП.11.76) и (ЧП.11.77) нужна выбрать знак минус, так как кри знаке плюс получается 5, > Ь, что вевоаможио. Таким образом, 5а= (1+де) Ь вЂ” 1 П вЂ” га а .Гас (УП.
РП 78) 21"а 21'а Следовательно, при (1 — р,)аЬ' » 4р, имееи (1сида) Ь ) 1 — ра) Ь 1 2ра 2ра )1 — ра)Ь При р, > 1 иа (ЧП. 11. 79) имеем (1+да) Ь (ра — 1) Ь 1 Ь 1 2ра 2ро (ра — 1) Ь ра (ра 1) Ь ' что достаточно близко при Ь » 1 к (ЧП. 11. 55) и (ЧП,11. 59). (У11. 11. 79) (ЧП ° 11 ° 80) Рис. ЧП.
36. При да<1 (1+9,)Ь (1 — р,) Ь 1 1 П П 29, 2р, П вЂ” р,) Ь= (1 — р,) Ь' что также достаточно близко согласуется с (УП. 11. 55) и (УП. 11. 59). Таким обрааом, весьма грубая аппроксимация гравяцы раздела прямой линией при задавиом Ь, т. е, задавном темпе закачки, дает весьма хорошие реаультаты для движения точек гравицы раздела вдоль подошвы и кровли пласта. Н. И. Алихашкин показал, что при ра = 1 — вытеснение жидкостей различной плотности, но одинаковой вязкости, например пресной воды соленой,— граввца раздела в точности есть прямая = — ~+ с+ — ~а = 2е+1, ~а = 2с — 1.
(ЧП. 11 ° 82) 1 1 2 2 — )аЯ(1)/2л ай+Ау (Ь вЂ” у) ду)дг 1 тр, ду — гу — — ~ = — ' г — ', (ЧП. 11. 83) Ь+(р,— 1) у — 1= ' Легко проверить, что (УП, 11. 82) точно удовлетворяет дифферепциальному уравнению (ЧП. 11. 6) и условиям (ЧП. 11. 10), (ЧП. 11. 13) и (УП. 11. 14). Вполне аналогичным образом может быть рассмотрена аадача о радиальном вытесвеяии. Пусть жидкость 1 вагнетается в скважину и вытесняет радиальным образом н<идкость 2, ранее находившуюся в пласте (рис. ЧП, 36). Предполагая, как й выше, давлевия распределенными гидростатически вдоль вертикали, для ордвваты у (г, 1) границы раадела получим из уравнений движения и яераарывности для скважикы-источиика у 11. Задачи о вытеснении одной эсидности другой 24б где Я(с) — дебит нагнетаемой жидкости в скважину, согласно несжнмаемости жидкостей равный суммарному расходу в любом цилидрнческом сечении (рис. ЧП.36) радиусом г. Замена переменных н на г в (ЧП.
11. 3) приводит уравнение (ЧП. 11. 83) к следующему беараамерному виду: д ( — Аы и(1 — и) ды1 ьо ды де~1+Ого — 1)и 1+(ро — 1)н ~1Ц 2 =А. роО (с) (ЧП. 1!. 84) 2п )ей у )го В отличие от уравнения (ЧП. И. 4) длн прямолинейного движения уравнение (ЧП. 11. 84) обращаетсн в обыкновенное дифференциальное уравнение прн О(с) =47=сонат, что и будем предполагать в дальнейшем. Умножая (ЧП.11. 84) на де и интегрируя в некоторых пределах от с=со, ы(со) =но до $= с„н(с,)=нв получаем [ 1 1 1 +Г 1 Аи 1 1' Ан 1 ( си(1 — и) дн1 1+Ого — 1) ы)н но (1 ч Ьо — 1) и1н и (1+[)го Ц и дч 14 ййг Вг $ и (1 — и) дн 7 — + — ! ~о — д~=-О. (ЧП.11.85) 1 Г ди 1+(Ро-1) н "~16-йо н но ао ди Полагаем, как н раньше, и(со)=но — — О, и(сг)=ив= — 1, Считая ~ ос в точках йг, ив=1 н ьо, но=О и интегрируя по частям, будем иметь ~о $1 — = — — ~ ь ид4.
А (ЧП. 11. 86) ро 2 4о Нетрудно видеть, что (ЧП. 11. 86) выражает аналогично (ЧП. И. 10) баланс расходов. Раскрывая (Ч11. 11. 86) и предполагая, как и в (ЧП. 11. 12), и(1 — н) и =0 в точках с=со, и=О, ь=сг, и=1, получаем для первых производных ( ) .='= - ' ~'),='= (ЧП. 11. 87) д5 ~4-4о о йо 2 ' (,д5)4 4 ' г 2 )го3, ' Дифференцируя (ЧП.
И.84) по $ и предполагая ыы"=0 в точке и= О, получаем для второй производной ( донн . Š— 2А -о ~1 А+ о о1 й*,), „= = 22', и-о Решение для случая радиального вытеснения принципиально ничем не отличается от рассмотренного вьппе случая прямолинейного вытеснения. Ограничимся простейшей аппроксимацией границы раздела в виде прямой, даюшей, как было показано каппе длн прямолинейного вытеснения, удовлетворительную практическую точность при расчете движения граничных точек вдоль кровли и подошвы пласта. Аналогично (ЧП. 11. 60) полагаем и (с) = а, ($ — 6,).
(ЧП. 11. 89) нбб Гл. У11. Движение раздела двух жидкостей в пористой среде Определим Со, для чего воспользуемся первым уравнением (УП. И.87) в соотношением (УП. И. 86). Получим ог —— зо ьо 2 (УП. И. 90) — — — оое(З вЂ” $о)де= — ' — ог~ ~ ' — — '($ — Е )~, (ЧП.И.91) зио 2 2 ~ 3 2 3 о о 1 = ог (зг со).
(УП. И. 92) Отсюда буден иметь для с кубичное уравнеяие 2А 1 1 ВАо 45 ВАо ио — (4А + — + 2 ) ио+ ~4А о -)- — + 4А -)- — ) о — — = О, Ро )зо 3 1'о о=4. (ЧП. И. 93) Для решения методом итераций представим (ЧП. И. 93) так: и=(4А+ — + 2) — ~4Ао+ — -)-4А+ — ) — + — †. (УП. И. 94) 2А 1 ! ВАо 4 1 1 ВАо 1 р ) ~ р.
31 о )оо Нетрудно показать, что если не учитывать разность объемных весов, то о=с =2А. (УП. И. 95) о Подставим зто аяачение в правую часть (7. И. 94), рассматривая (ЧП ° И. 95) как нулевое приближение ио=2А; из=(4А+ — +2 — ~2А+ — +2+ — )+ — =2А — —. (7. И, 96) 2А 1 1 4А 2 т 2А 2 ро ~ ~ , ЗА ) ро ЗА ' Из (УП. И. 96) следует, что при достаточном значении параметра 2А корень (УП. И. 93) весьма блиаок к этому аначению. Таким образом, при А р 5 и ре ) 1 гравитационный аффект можно не учитывать.
Этот вывод также согласуется с реаультатами Я. И. Алихашкина [36). В табл. 3, 4 приведены Таблица д А =10 А =2,5 А=5,0 =1,0 0,73 1,41 0,20 056 0,04 0,28 0,00 ОА4 3,16 5,17 0,00 0,03 0,00 0,02 0.00 0,01 $1сИ 4,47 3,16 2,24 1,0 2,5 5,0 10,0 50,0 70,0 100,0 2,10 1,76 1,60 1,51 1,44 1,44 1,44 2,94 2,50 2,36 2,29 2,25 2,25 2,25 1,53 0,56 0,21 0,05 000 0,00 0,00 2,24 0,90 0,45 0,22 0,04 0,03 0,02 3,87 2,45 3,37 0,97 3,25 ОА2 321 0,16 ЗЛВ 0,00 3,17 0,00 3,17 0.00 1,26 0,63 0,32 0,06 0,04 0,03 4,62 4,53 4,50 4,48 4,48 4,47 3,76 1,54 0,71 0,30 0,02 0,00 0,00 4,47 1,79 0,90 0,45 0,09 0,06 0,04 б 11.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
