И.А. Чарный - Подземная гидрогазодинамика (1132329), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Выделим в пласте мощностью Ь столбик пористой среды с площадью, равной единице. В этом столбике объемом Ч =- Ь . 1 = Ь одну часть т)г = тЬ занимает жидкость, а другую часть Чт = (1— — т)Ь вЂ” твердый скелет пласта. При повышении давления жидкости на ЕЕр твердый скелет незначительно сожмется, чем сам Джейкоб пренебрегает. Можно не пренебрегать этим обстоятельством и учесть изменение объема твердого скелета формулой 226 Гл.
)ег!1. Нестациоиариая фильтрация одкородкой жидкости и газа а затем, как показано было выше, к уравнениям (У?11. 1. 7) к (Ч111 . 1. 8), Отметим, что рассуждения Джейкоба в своей основной части являются развитием представлений о так называемом грузовом ре- жиме работы нефтяных и газовых месторождений, высказывавшихся ранее И. Н. Стрижовым. Рассмотрим теперь вопрос о влиянии неподвижных газовых вклю- чений на величину приведенного модуля упругости К и козффи- циента пьезояроводности к. Обозначим газонасыщенность, т. е.
часть объема пор, занятую газом, через о. Тогда нетрудно показать при помощи уравнений неразрывности и движения, что для давления жидкости вместо (Ч111. 1. 1) теперь будет [тт (( — о)1 ж г7ор го[еж гго (ЧЦ? 1 19) дс )гж )гж где йж — фазовая проницаемость жидкости в присутствии непод- вижного газа; рж — вязкость жидкости. В главе 1Х будет показано, что йж значительно (прпмерно на 30 — 35ого) ниже проницаемости [г пористой среды, занятой однородной жидкостью. Формулу (У111.
1. 19) целесообразно представить в виде д [т у (1 — о)1 др то зги др дз откуда Р / го ж / [т г(1 — о)1 ) з7з к,7ар (У!1! 1 20) д" ~ р / е(р где обозначено то ь / д [т т (( — о)1 (Ч111. 1. 21) )еж [ ар Далее, учитывая (У! П. 1. 6), имеем д[тт(( — о)[ (1 ) д(тт), до Ир др др то т~ ао (Ч11!. 1. 22) Производная г[о/г?р в предположении, что газ неподвижен, мо- жет быть найдена следующим образом.
Обозначим Рг объем газа в столбике пористой среды мощностью л с поперечным сечением, равным единице. Очевидно, Рг = лг о Ь. Так как по условию газ неподвижен, то его вес в объеме Рг не изменяется. Отсюда, считая режим изотермическим, согласно закону Бойля — Мариотта имеем т и йр = сопеь. (УН1. 1. 23) Логарифмируя и дифференцируя последнее равенство, получаем дт ос да Нр — -[- — + — + — = О, т о Ь р д 1. Уравнения движения унругой жидкости в нористсй среде 25г откуда — — = и ~ — — + — — + — ) (У1П. 1.
24) дг 11 дт 1 да 11 др ( др и др р ) или, учитывая (У111. !. !4) и (Ч!11.1. 4), — — = о ~ — — + — + — ! . (Ч111. !. 25) др 1 т Кс К, Р / Таким образом, согласно (Ч111. !. 22), учитывая (Ч1П. !. 7), д (ту (1 — о)! то г'о 1 1 1~ др = (! — о) ' +туп! — + — + — ~ = К 1тКс К, р/ ' ' — лооуоо~ + — )+туп( — + —,+ — )= ! 1 шо г'о( К о'1о (ЧП! ! 25) К К„р! К где Н вЂ” приведенный модуль упругости пластовой системы с включениями неподвижного газа.
Согласно (У1П. 1. 2!) теперь для к получим той>» и' У К' Х (УП1. 1. 28) Рв» то ус егор н Так как обычно по порядку величин К, Кт, Ег в сотни раз больше р, то нз (УП1. !. 27) следует,что при весьма малых о величина К' может оказаться значительно (в несколько раз и более) ычньше К. Поскольку модули упругости пористой среды обычно выше или того же порядка, что и модуль упругости пластовой жидкости Кт, приведенный модуль упругости К в формуле (Ч!11. 1. 7) оказывается меньше модуля упругости жидкости К примерно в 2 — 5 раз. Для условий Вудбайна, как упоминалось, оказалось К~ 0,1К т. е. кажущаяся сверхсжимаемость пластовой воды в Вудбайне более чем в 2 раза превосходит вероятное значение этой величины., Поэтому нельзя считать исключенным присутствие газовых включений в данном случае, хотя, по всей вероятности, они занимают значительно меньше 5% объема пор, указанных в свое времн американскими авторами, Вообще же К или К' и оо следует рассматривать как физические характеристики данного пласта или района пласта и определять их из наблюдаемой связи между отбором или закачкой жидкости и пластовым давлением.
гдд Гл. з111. Нгстациоыарыая фильтрация одыородыол жидкости и газа й 2. Вывод формул для притока упругой жидкости к прямолинейной галерее и к точечному источнвку на плоскости Перейдем к нахождению решения основного уравнения фильтрации упругой жидкости (ЧП1.
1. 8). В случае ограниченной области решение обычно находят методом Фурье, т. е. решение ищется в виде произведения независимых функций р =- Х (х) 1'(у) Т (г) Т (1) с последующей суперпозицией частных решений для удовлетворения начальным и граничным условиям, Ряд решений для ограниченного пласта приведен в [Лт. 1. 11; 6, 7).
Для бесконечного пласта можно поступить иначе. Приводимый ниже вывод формул (ЧП1. 2. 31) и (ЧП1. 2. 60) для притока упругой жидкости к прямолинейной галерее и к точечному источнику на плоскости несколько отличается от обычного, даваемого в курсах математического анализа и в руководствах по теории теплопроводности. Интегрирование дифференциальных уравнений в частых производных, к которым принадлежит уравнение (Ч111.
1. 8) упругого режима фильтрации, является, как правило, более сложной задачей по сравнению с интегрированием обыкновенных дифференциальных уравнений. В уравнениях с частными производными искомая функция зависит от нескольких аргументов, в то время как в обыкновенных дифференциальных уравнениях она зависит только от одного аргумента.
Как правило, проще найти функцию, зависящую от одного переменного, чем от нескольких. В связи с этим возникает естественная мысль попытаться ввести некоторое новое независимое переменное З = $ (х, у, г, 1) таким образом, чтобы уравнение в частных производных др 1 дзр дгр дгр 1 (ЧП1. 2. 1) обратилось в обыкновенное дифференциальное уравнение, где искомая функция — давление р — зависела бы только от этого одного нового аргумента Непосредственной проверкой ьюжно убедиться, что, например, 1 для одномерного движения р = р (х, 1) при $ =- х1 формула (Ч111. 2.
1) обратится в обыкновенное дифференциальное уравнение. Вывод этой подстановки в руководствах или не дается (читателю предлагается непосредственно убедиться в ее правильности) или дается весьма сложным путем. Относительно проще выводы, основанные на соображениях теорий размерности (Лт. Ч11. 10, 35). Из соображений методического характера, а также по существу, целесообразно изложить последовательно замену переменных х, у, ~ в формуле (ЧП1. 2.
1) одной перел1енной $, после чего станет г 2. Ваоод форпул длп притока упругой агидкоопги д, = х — Р- . (ЧШ. 2. 2) Новое переменное $ также будет функцией х и Ф: $ = ~ (х). По правилу дифференцирования сложных функций имеем Рис. Ч11!. 2. Распределение давлеиия в пласте прв вестациопараом притоке к прямолинейной галерее, др др д1 др др д1 де=«~ д1' да=уз дл (ЧП1, 2. 3) дгр Выразим теперь вторую производную — через новую передке менную: По правилам дифференцирования произведения получаем д*р д 1 др ) дгг др дгб длг да (,д$/ дх д1 длг ' д 1др1 Множитель в первом члене — ( — ) преобразуелт по правилу дк (,д1 / дифференцирования сложной функции: Ий)=Ф(Ф вЂ” '-! = 'й дгр Таким образом, для —,, окончательно имеем (Ч1П.
2. 4) и уравнение (ЧП!. 2. 2) упругого режима согласно уравнениям (ЧП1. 2„3) и (ЧП1. 2. 4) принимает вид; ИР дб ~ Нр 1д1 1 др дг11 дг ( д1г (, да,) д$ длг ~ ' (ЧП1. 2. 5) ясно, как следует выбрать $, чтобы формула (ЧП1. 2. 1) перешла в обыкновенное дифференциальное уравнение. Для этого заменим переменные в уравнении (ЧП1. 2. 1), не делая пока никаких предположений о характере зависимости ~ .—.. $ (.г, у, з, 1).
Начнем с одномерного прямолинейного движения — притока к галерее (рнс. ЧП1. 2), когда двпженп зависит только от одной координаты х и времени 1, р .= р (х, 1). Уравнение (ЧП1. 2. 1) принимает вид: Рг Здд Гл. У!!3. Нсстационарная фильтрация однородной жидкости и гага каждая из которых зависит только от одного аргумента — соответственно х и г. Тогда дб = Х'Т, —; = Х"Т, д — — ХТ'. (ЧП1. 2. 7) Подставим эти значения в уравнение (ЧП1.2. 5): или (ЧП1. 2. 8) Но из уравнения (Ч1П. 2.6) 'Г (ЧП1.
2. 9) Уравнение (ЧП1.2.8), таким образом, можно еще представить так: — $ —, =к~ — Х + — — ). др "гн !Ир,г др Х 1 д1 тг (дог др т )' (ЧП!. 2. 10) Теперь ясно, как следует выбрать функции Х (х) и Т (г) (пока произвольные), чтобы уравнение (ЧП1. 2. 10) обратилось в обыкновенное дифференциальное уравнение от одного аргумента $: очевидно, коэффициенты при производных должны быть постоянными или явно зависеть только от одного аргумента З, но не от старых переменных х и 1.
Это достигается при (ЧП1. 2. 11) Х =а, где а и б — постоянные. Из первого уравнения (ЧП1. 2. 11) следует Х= ах+ С„Х" = О, (ЧП1. 2. 12) где Сг — постоянная интегрирования. Интегрируя второе уравнение (ЧП1. 2 11), получаем Посмотрим теперь, нельзя ли так подобрать зависимость = $ (х, г), на выбор которой пока ие наложено никаких ограничений, чтобы уравнение (ЧШ. 2. 5) обратилось в обыкновенное дифференциальное уравнение, зависящее от одного аргумента $, Для этого будем искать $ (х, г) в виде произведения двух функций Х (х) и Т (г): $ (х, Г) = Х (х) Т (1), (ЧП1. 2. 6) у 2. Вывод формул длк притока упругой.гкидкогти откуда Ьг(г = —,, Ьг= — 2г, +С, дг ! где С, — постоянная интегрирования. Отсюда получаем ! Т = 2 (Со — 61) (УП1.2.
1З) Х=х, Т= ! з, $=х! з. (УП1.2.14) К такому же результату можно было бы прийти, полагая У, = х" гд и отыскивая а, (3, при которых (Ч1П. 2. 5) обращается в обыкновенное дифференциальное уравнение. Мы получили бы, как нетрудно видеть, условие вида х' ау — <!+д! !,Я) =1(хайд) Чтобы зто условие удовлетворялось, следует положить 2 — а=йа, — (1+р) =йр, откуда 2-ау — (!+ Р) — Ъ где й — некоторая постоянная.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
