И.А. Чарный - Подземная гидрогазодинамика (1132329), страница 50
Текст из файла (страница 50)
(Ч1П. 2. 15) (УП1. 2. 16) Из (ЧП1.2.15) получаем 2 ! а= 1+у ' $+/с г т. е. а= — 2(3. Без нарушения общности можно теперь положить а = 1, откуда ! 2 ' Уравнение (ЧП1.2.10) при таком выборе переменных при ус- Т' лозин, что —, = 6 = — —, обращается в следующее обыкновенное дифференциальное уравнение: (ЧП1.
2. 17) Чтобы Т принимало любые вещественные значения при Г>0, следует положить Со = 0 и потребовать, чтобы 6 было отрицательно. Для простоты без нарушения общности можно положить 6 = — —. ! 2 Тогда полагая также в уравнении (Ч1П. 2.12) для простоты а = 1, С! = О, получаем 262 Гл. Р111. Нестационарная фильтрация однородной жидкости и гага которое легко интегрируется. Для етого обоаначим (УП1, 2.
18) Тогда уравнение (УШ.2.17) примет вид: 1 д11 — — $0е=н— 2 й1' откуда, разделяя переменные и интегрируя, получаем 4 д11 — — 5А~ = —, 2» 11 Кья и — — =- 1п 0 — 1п с, = 1п —, 4» сг (УШ. 2. 19) где 1п са — постоянная интегрирования. Потенциируя и учитывая уравнение (УЛП. 2. 18), будем иметь 1 Ц вЂ” Р— до Ьн (УП1. 2. 20) Интегрируя еще раз, получаем ая1 Р=с,) е '" сьЦ+ск=Р($) =Р(х, 1). (У|П.2.21) ье р» = с,(/ е 4" с|5) + ся.
(У1П. 2. 24) Вычитая уравнение (УП1. 2. 21) из (У1П. 2. 24) и учитывая (УП1. 2. 14), получаем со $а со ге рк — р=с, ( е ькс(~=с, ) е ь» с|Ц. е к гсГ (У1П. 2. 25) Постоянные са и са должны быть определены из начальных и граничных условий, которым долясны соответствовать два аначения $. Пусть в нашей задаче задан скачок давления в сечении х = 0 (галерея) с начального пластового р» до давления в галерее р„которое поддерживается постоянным. Таким образом, начальные и граничные условия следующие: Г = О, р(х, 0) = р„= сепз1, (УП1.
2. 22) х = О, р(0, 1) = р, = сопз!. (УШ. 2. 23) Согласно уравнению (УП1. 2.14) ~ = со при г = О, $ = 0 при х.— О. Тогда пз решения уравнения (У|П. 2. 21) получим два уравнения для с, и с,. Сначала напишем условие для р»: д 2. Вывод формул длл притока упругой жидкости Тогда с(з = 2 усх с!и и уравнение (ЧП1. 2. 25) примет вид: Р— Р=2)гх с, ) е Ни=с, ) е" Ни, (У111.2.27) х х 2 усхг 2 ухо где с, = 2Чх с,. Последний интеграл обычно представляют в виде разности интегралов: со 2 ~/хг Ы~ — ) е " с(~.
о о е Ни 2 у'хг Из интегрального исчисления известно (Лт. 1П. 71, что — хг г )гси ом 2 е (ЧШ. 2. 28) Интеграл в уравнении (ЧП1. 2. 28) называется интегралом Пуассона. Тогда уравнение (ЧП1.2.27) можно представить в виде х 2 у'но Ри Р= с~( — ) е с2п) = — ив о х 2 у хг с, — (1 — ) е г)и ) = с, ~1 — ег1 ), (ЧП1. 2. 29) 2 )Схг где ег1 = ) е " с!и. Табулированный интеграл 2 )Гй В ег! $ = = ) е с!и У (Ч!П. 2.
30) называется интегралом или функцией вероятности. Перед нахождением с, для удобства заменим переменное интегрирования $ другим: и= (ЧШ. 2. 26) 2рх 2)'хУ ЗИ Ра. 7111. Нестачионарнаа сдиаьтраииа однородной зеидности и еаза Постоянная с, находится из граничного условия (ЧП1. 2. 23), которое с учетом уравнения (Ъ'П1.2. 29), принимает вид: р„— р, = с, (1 — ег1 0) = с, (1 — 0) = с,. Таким образом, окончательно получаем Рк — Р = (Рк — Рс) (1 — ег1 2 г'к// 2 )/нс = (рк — рс) ~1 — = ( е " с1и) . (ЧП1.
2. 31) /с /др т / 2 — зз/сне 1 ~ /с (ш~ = Ч = ( ) = (Рк Ро) (=е (, )си 2 )с к Е,/н=о Если задается постоянный отбор на галерее, то задача режается аналогично. Начальные и граничные условия имеют вид: при х=-О, ш(0, 1) = ш,; (ЧП1. 2. 33) при 1=-0, р(0, х) = р;, ш(0, х) = О. (Ч1П. 2. 34) Умножая уравнение теплопроводности (Ъ'|П . 2. 2) для р на (.1 /с — — и дифференцируя но х, а также учитывая, что /с др = — — —, получаем и да /с дзр /с дер — — х р даз р дед/ или т. е. дзв дт х — = —. даз д/ (ЧП1. 2. 35) Найдем теперь дебит галереи. Г>удем считать положительным дебит, отбираемый из галереи (рис. Ч1П.
2), когда поток движется против оси х. Тогда, дифференцируя интеграл (Ъ'1П. 2. 31) по х, согласно закону Дарси получаем У 2. Выгод формул длх притока упругой жидкости Мы получили то же уравнение теплопроводности с той разницей, что здесь вместо давления р имеем скорость фильтрации иг, причем ж(х, 0) == н»о=О, иг(0, 1) = иг» =сопФ. (УШ.2.36) Подставляя (УП1.2.36) в уравнение (УШ.2. 31) и заменяя переменные, имеем соответственно »р=иг(х, С) = ' ( е "»»и, $=- . (УШ.2.37) Л г 2 1' »»» Чтобы найти закон изменения давления, обозначим = е»1и = Ф (х, 1).
(УП1. 2. 38) 1' »» 21 и» Тогда — — д = ж (х» Е) = кг» Ф (хэ С)» й др р(х, 1) — р(0, 1) =- — -"„' ) Ф(х, У)»1х. е (УП1. 2. 39) Интегрируя по частям и учитывая, что в (УП1. 2. 39)» фиксировано, получаем х р(х, 1) — р(0, 1) = — — "' 1Ф(х, $)х~о — ) х»(Ф1, (УШ.2.40) е ,1Ф 2 — хг»»х» дх — 1 — г»»х»,1 или, выполняя интегрирование, х р(х, ») — р(0, д) = — ~ „-'- [хФ(х, ») ~ + = ) хе ы»»х~ = е е — Ьг, — »1 — ег1$+=- — — — -~, $= .
(У1П.2.41) -( — ' — ) (УП1. 2. 42) Рассмотрим теперь радиальный приток к точечному стоку на плоскости, когда задан постоянный дебит (г стока. Уравнение упругого режима для радиального притока упругой л»ндкости имеет вид: Вдд Гл. 'г"Ш. Неетационарная филнтрация однородной зкидноети и газа Поступая, как в предыдущей задаче, введем новое переменное: (УП1. 2. 43) $ = В (г) Т (~), где В(г) и Т(з) — функции только одного аргумента. Можно сразу воспользоваться формулами (УП1.
2. 3) и (Ч1И. 2. 4), в которых Х (л) следует заменить на В(г). Получим др йр д$ др др дЬ дГ дй дг ' дг йз дг Подставляя зги выражения в уравнение (УИ1. 2. 42), будем иметь или +ВТ' = и[ — РТ'Я" ++ТГВ" + —,В'Я~ (ЧИ! 2 45) Учитывая уравнение (ЧИ1. 2. 43), последнее уравнение представим так: — — = х ~ — Р В'+ Р— ~В" + — В')1. (У1П.
2. 46) Чтобы уравнение (У1П. 2. 46) обратилось в обыкновенное дифференциальное уравнение, достаточно положить В' = 1, В =г, —, = сопз1. (УИ1,2.47) Учитывая второе уравнение (УП1. 2. 11), после рассуждений, аналогичных приведенным в предыдущей задаче, получаем —,з = ~, Т==, $ =. = ° (ЧИ1.2.48) )гГ уге Замечая, что при этом В" + — В' = — =— 1, 1 1 г гт получаем вместо уравнения (Ч1И. 2. 46) Для интегрирования уравнения (УИ1.2.49) полагаем (г й1 (ЧИ1. 2.
50) д д. Вывод Яорльук двк критока уиругой жидкости Тогда (У1П. 2. 51) Рааделяя переменные и интегрируя, получаем — == — ( — + — ), 1и сг' = — — — 1п $ + 1п с„(Ч1П. 2. 52) где !и с, — константа интеграции. Потевцируя, имеем 1п — ~ =-:, сг' =с,— е ~ ~'". (ЧП1.2. 53) с, 4Н Согласно уравнению (УП!.2.50) теперь находим $3 р = р (г, 1) = с, ~ —. е а" И$ + с,. (Ч1П. 2. 54) д Я гг р„= с,Д вЂ” е 4 с1$) +с,.
(ЧП1.2.55) Из уравнений (Ч1П.2. 55) и (Ч1П.2.54) фг $2 р„— р = с, ( — е окса = с, — е ои с!й. (УП1.2.56) l 5 ~/Г Для нахождения с определим расход ф,. Считая дебит скваяснны-стока положительным, получаем е,= '"„" ~ —,';~ (УП1. 2, 57) или согласно уравнению (Ч1П. 2. 56) гв 2ида У вЂ” — с )'~ ! т 2иди е.= с1 ге со, У~ ~ =-е откуда с 2я ка (У1П. 2. 58) Постоянную с, найдем из начального условия 1== О, р = ри, соответствующего значению 5 = сю: зггд Гл.
У111. Неетационарная фильтрация однородной жидкости и гага Подставляя значение с, в уравнение (Ч1П.2. 56), получаем ьо — — е с" с[5. (УШ.2.59) Р» — Р = Последний интеграл приводится к табулированному интегралу Со — Е1( — х) [8[ подстановкой — = и. Тогда 4х з = 2)г х и, с[$ = с[и. г' и Подставляя в уравнение (У!11.2. 59), получаем е — и 21'хи гг ьгг с с[и = гг сне (УШ. 2.
60) с[и = С'о" у'и 4н да Ссо р 2х lса Р« — Р = г«Со Сс Е
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
