И.А. Чарный - Подземная гидрогазодинамика (1132329), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Пг! Ю Рис. Ч111. 6. Р = Ро+ (Ри Ро) (ЧП1. 4. 1) (рис. Ч1П. 8, б), т. е. давление распределено по зинону прямой линии. Расстояние1 следует рассматривать как некоторую функцию времени 1, 1 = 1(1). Заметим, что в точном решении эпюры давления не должны иметь и не имеют угловых точек, что физически совершенно ясно. При методе последовательной смены стационарных состояний предполагается, что существует стационарная эпюра давления— прямая (рис. ЧП1.
0, б), перемещающаяся вдоль пласта с течением времени, с угловой точкой х .=-- 1(1). Расстояние 1 (1) мо;кно назвать условным переменным радиусом влинния галереи, длиной, на которую распространилось понижение давления. Мы идем на такую погрешность по следующим причинам. Сопоставление приближенного репсения, которое получается таким методом, с точным решением дает для дебита галереи вполне удовлетворительное согласие. 27а Гл. Уеее. егестацианарнаа филътрациа однородной жидкости и гага Например, для рассматриваемой задачи о прямолинейном притоке к галерее расхо'кдение между точным и приближенным значениями дебитов равно приблизительно 11% [15[. Для радиального притока расхождение еще меньше (порядка 5 аео) [16 [.
Вычисления же По методу последовательной смены стационарных состояний оказываются гораздо более простыми, нежели расчеты по точным формулам. Для решения задачи поступим следующим образом. Найдем отобранное количество жидкости из пласта на каждую единицу площади его поперечного сечения. Для этого выделим элемент длиной е?х н площадью сечения, равной единице, и определим вес жидкости в этом элементе. Очевидно, этот элементарный вес равен ту с?х ° 1 = ту е?х.
На длине ? (г) =- ? вес жидкости в пласте на единицу площади сечения равен интегралу [ туг?х. о Найдем теперь вес жидкости, отобранной из пласта за время ? Очевидно, отобранное количество жидкости 6 равно первоначальному количеству жидкости минус то, что осталось, т. е. 6 = (ту)и? — [ туг?х. о (ЧП1. 4.
2) Для вычисления интеграла (ЧП1. 4. 2) воспользуемся связью между величинами т у и р для упругого режима фильтрации. Для переменного произведения т у мы имели уравнение (Ч1П. 1. 6) у) ?1+ -Р. 1 (ЧШ. 4. 3) Найдем теперь весовой расход жидкости л, вытекающей из пласта через единицу площади сечения галереи. Очевидно, с 6 = [ д (г) ?г. а Произведение ел у по длине пласта будет распределено точно так же, как давление р. На рис.
Ч111. 6, б приведен график распределения ту по длине пласта согласно схеме последовательной смены стационарных состояний, причем (ту)„соответствует давлению рю (т у), — давлению р, (штриховкой показано отобранное количество жидкости). Для прямолинейной эпюры давления согласно рис. Ч1?1. 6, б площадь треугольника 6 равна 6 =- ~ [(ту) — (ту),[Х(г). (Ч?11.4.4) е О. Приток к нрямолинейной галерее 275 Из этого интеграла следует, что весовой расход и равен Согласно закону Дарси весовой расход можно выразить еще таким образом: (ЧП1. 4. 5) где уе — объемный вес жидкости при давлении р,. Дифференцируя по времени уравнение (Ъ'1П. 4. 4), получаем — [(т у)„— (т у)е) — = — " Р' уо.
(ЧШ. 4. 6) Согласно уравнению (Ъ'П1. 4. 3) (гя у)и — (гя у)о = (гя у)о ~. (Ч1П. 4. 7) йуо — (т у) — = —. 2к аж вс Разделим переменные: 1 ц ока уо,(1 р(т у)г (Ч? П. 4. 8) (ЧП1. 4. 9) В этом уравнении ввиду большой величины модуля упругости жидкости Кт можно принять у,— у, и без практической погрешности считать пористость постоянной (вг = то = сопзь).
Тогда уравнение (ЧП1. 4. 9) примет вид: 1г11 = — г(г. тр йгг Замечая согласно уравнению (ЧШ.1.8), что — = к, последтр нее дифференциальное уравнение можно записать в таком виде: 1гИ = 2хгМ. (Ч П1. 4. 10) Интегрируя, получаелг —,, 1з = 2мФ+С, (Ъ'Ш. 4. 11) где С вЂ” постоянная интегрирования. В начальный момент 1 = О при 1 = О. Следовательно, согласно уравнению (Ъ'П1. 4. 11) С вЂ” — О. Подставляя это значение в уравнение (Ч1П. 4. 6), получаем дифференциальное уравнение для длины 1(1): Хтб Гл. крее'.
Нестационарная фильтрация однородной жидкости и оаеа Отсюда получаем окончательно 1 = 1 (8) = 2 )еех ь' . (ЧП1. 4. 12) Формула (Ч1П. 4. 12) выражает закон движения условной зоны депрессии. В действительности же, как уже говорилось, зона депрессии захватывает сразу весь пласт. Яайдем теперь расход в зависимости от времени. Для этого можно воспользоваться формулами для дебита при стационарном режиме движения, подразумевая под [ (1) расстояние между сечениями с давлениями р„и рс.
Это непосредственно следует из самой сущности метода последовательной смены стационарных состояний. Согласно формулам (ЧП1. 4. 5) и (УП1. 4. 12) объемный расход жидкости д на единицу площади пласта, т. е. скорость фильтрации, равен и — с ' Рм — Рс (Ч[П 4 $2) ) (е) 2 Таким образом, дебит жидкости будет изменяться обратно пропорционально ) е ь' . Отметим, что точная формула для д (ЧШ . 2 . 32) имеет вид: 1 к Ри — Рс Таким образом, приближенное решение отличается от точного приблизительно на 11%.
Решим теперь ту же задачу, когда задан отбираемый дебит. Для простоты примем этот дебит постоянным: д = сопз1, Весовое количество отобранной жидкости по-прежнему, с учетом (ЧП1. 4. 4) и (УП[. 4. 7), выражается формулой (УШ. 4. 14) 6 — — (т т) Х (ь). Объемный же дебит, как и раньше, равен Рн — Рс е[ =— (УП1. 4. 15) Обозначим объем отобранной жидкости за время 8 через е): Отсюда (ту)о Рк — Рс 1 ()) «ь Рн — Рс[ (1) тс В то )е 2 ее так как в этой фоРмУле можно пРинЯть Уо =-Ч„т — сопз[. е к.
Приток к крялолкмеймой галерее й Рк — Рс 1= —— ч Отсюда согласно (УП1.4. 16) находим т Рк — Рс м Рк — Рс мт (Рк — Рср р ч зри ч 1 (У111. 4, 17) 1хкейй Н Рк — Рс = ( (УП1. 4. 18) При сопоставлении с точными расчетами [16) обнаружено, что формула (Ч111. 4. 18) дает погрешность около 25%.
Для выяснения причины такого большого расхождения найдем закон изменения длины 1 = 1(1). Подставляя значение депрессии из уравнения (УП1. 4. 18) в уравнение (ЧП1. 4. 17), получаем 1/20йд 1я вй $' йт ° / 20 АК к /21'1 (ЧП!. 4. 19) о тр д В нашем случае, когда о постоянно, 1л = 171 и формула (УП1.4.19) принимает вид: 1= ! 2кг. (У1П. 4. 20) Таким образом, смотря по условию задачи, зависимость 1 = 1 (1) оказывается различной: когда задана постоянная депрессия, .= 2)л х г согласно (У1П. 4.12); когда задан постоянный дебит, - — )лл2х е согласно (УП1. 4.
20). Дело заключается в том, что нельзя слишком сильно искажать эпюру давления. Эпюру давления, являющуюся некоторой кривой, мы сильно исказили, заменив прямой. В первом случае получилось сравнительно удовлетворительное согласие при расчете дебита— погрешность около 11оло. Прн расчете же депрессии погрешность оказалась около 25%.
Следовательно, методом последовательной смены стационарных состояний для прямолинейного движения можно пользоваться при расчетах дебитов тогда, когда задана постоянная депрессия. При постоянных дебитах результат получается хуже. е В нашей задаче Ге — известная величина, 1л = ) дг(1. Неизвесто ными являются депрессия и длина 1(г). Для определения их из уравнений (У111. 4. 15) и (УП1.
4. 16) составляют пару уравнений с двумя неизвестными, которые решаются очень просто: зед Гл. Г!13. Нестационарная фильтрация однородной жидкости и газа Другие примеры приложения метода последовательной смены стационарных состояний можно найти в [17, 18). Следует указать, что точность результатов расчетов по методу последовательной смены стационарных состояний сильно снижается при граничных условиях, отличных от рассмотренных выше (р),— о,эо = =- сопз1 или (д)я — з с~с — — сопз1.
В этих случаях следует пользоваться хотя и более громоздкими, но зато и более точными, ноя<ели метод последовательной смены стационарных ра — — — — — — — состояний, приближенными решенинми. Разумеется, когда это целесообразно и не связано с чрезмерными вычислительными трудностями, проще всего прямо исходить из точных решений уравнения тепчопроводности.
Фз Приближенные методы, являющиеся развитием метода последовательной смены стационарных состояний, были предлояеены А. М. Пирл ГЮ вердяном [19) и Ю. Д. Соколо- вым [20) Ряс. УП1. 7. А. М. Пирвердян также вводит условную длину 1 для зоны депрессии, но задается эпюрой давления на этом участке так, чтобы она не имела угловых точек. При этом распредечение давления в этой зоне уже не будет стационарным. Эпюра давления задается в виде параболы таким образом, чтобы в точке х = [ (г) касательная к параболе была горизонтальной (рис. У[Н.
7). дС Используя условия д = — и закон Дарси си можно получить дифференциальное уравнение для условной длины зоны депрессии. Параболическая эпюра давления блияее соответствует действительности, нежели прямая линия. При этом методе удается улучшить точность против метода последовательной смены примерно в 2,5 раза. Кще более точные приближенные методы были предложены Г. И. Баренблаттом [21[.
Эти методы основаны на выведенных Г. И. Баренблаттом некоторых моментных интегральных соотношениях, аналогичных тем, которые применяются в теории пограничного слоя. Некоторое видоизменение метода интегральных соотношений для задач упругого режима фильтрации приведено в $ 6. г д. Расчет радиального притока упругой жидкости 279 й 5. Расчет радиального притока упругой жидкости по методу последовательной смены стационарных состояний Значительно лучшие результаты дает метод последовательной смены стационарных состояний при радиальном притоке упругой жидкости к скважине. Рассмотрим радиальный приток упругой жидкости к скважине из пласта мощностью Ь (рис.
У111. 8, а, б). Когда из скважины начали отбор, вокруг нее образовалась воронка депрессии, которая теоретически захватывает весь пласт. Мы будем считать, что воронка депрессии распространилась на какую-то конечную длину, причем радиус Л (г) этой воронки депрессии условный. %" тзт' Нетрудно видеть, почему егг т.
для радиального двигкения метод последовательной смены стационарных состояний будет ,уй) к® давать лучшие результаты, не- а жели для прямолинейного. При тР прямолинейном движении кривая распределения давления аппроксимируется двумя прямыми линиями (см. рис. У111. 6). При радиальном движении ) кривая распределения давления ! аппроксимируется логарифми- з 1 ! ческой кривой. Расхол дение г между двумя кривыми оказы- й7с! — ( — РЮ вается меньше, чем расхождение между прямой и кривой. Найдем убыль жидкости Рвс, ЧП1.
8. из цилиндрического кольцевого элемента пласта внутренним радиусом г (гс(г~ Л (г)), мощностью Ь, толщиной сьг, считая„что первоначально скважина не эксплуатировалась и пластовое давление было всюду постоянным и равным ри (рис. У111. 8). Объем элелгента пласта равен 2л гЬ Ыг. Первоначальный вес жидкости в этом элементе пласта равен 2ягЬ (ту)„г17. Вес жидкости в нем в данный момент 2я гйт у. Убыль веса жидкости в элементе равна разности 2я гЬ ((т у)„— т у) Й . 2ВО Гл. ГИ1.
Неетационарная фильтрация однородной жидкости и еааа Весовое количество жидкости, отобранное из пласта, равно в и) 6 = /' 2 и гй (т у)» — т у] е(г. ('ЧП1. 5. 1) рк р» — " ', 1п —, га<г<Л(8), (Ч1П 5 2) ес где л(д) — радиус воронки депрессии в данный момент (. Очевидно, произведение ту, линейно зависящее от р, будет распределено по такому же закону: ту =(ту)„— ( У)" У)' 1п () (ЧП.5.3) Н (д) )а е ео или (ту) — ту =- (т у)„— (т у)о Н (С) Н (д) 1п —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
