И.А. Чарный - Подземная гидрогазодинамика (1132329), страница 54
Текст из файла (страница 54)
6. 2) дС пс (с) Яс 60 и г" — (г — дг= — г дг. С' и с д l ди) С' ди дг ~ дг/ ~ де (ЧП1. 6. 5) ло СС) Обозначая объемный расход 2я йй др С,)=С,) (г, С) = — г —, р дг' (ЧП1. 6. 6) и пользуясь формулами интегрирования по частям и дифференцирования опре- деленных интегралов по параметру, вместо (ЧП1. 6. 5) получаавс О~ — с;) (В.) В -с с;) -О~ (В ) В -С („ )(В -с 2я СеЬ Р о 2сс Сс)с ! с с Сс Рсо пс — [Ро — Рат(Ва)[)+(и — 1) [ [Р(г С) — Рот(г)! г" дг=- Яа Яс а дВс н дВа) — — — р(г, С)г ссг — Р — +р В и [дС дс ао дс~ на (Ч1П.
6. 7) где Ро=р(Во ')' Рс=р(Вс С)' С)а-=()(Ва, С); С)с=()(Вс С). на г" (н=О, -)-1, -+2,...) и проинтегрируем в пределах от г=В, до г=В,, где Ва. В,— произвольные величины, постоянные или функции времени, 286 Гл. У!11, Нестационарноя фильтрация однородной жидкости и газа Согласно условию (Ч1П 6 3) (!ст(Во) =()ст(В~) =(!ст. так как при (=0 режим стационарный, Полагая н=1, из (Ч1П.
6. 7) получаем условие сохранения массы в виде рн — (('.)о ('.!з) + рг — ' — Ро — ] = — ~ Ргдг. (ЧП !. 6. 8) 2я (сй 2 [, от дг 7] дг Предположим, что рассматривается неноторое возмущение, начавшееся при г ~ О. Тогда под Вг можно подразумевать, как обычно, условный радиус воны влиянии, подчивяемый условиям гладкости кривой давления р (г, () в точке г = Вг — условиям (сзг=(еъ(Вп П=()ст Р(Вг И=Рот(вг) (ЧП1. 6.
9) и при желании равенствам нулю желаемого количества производных в случае 1)ст = 0: =О, !с=2, 3,... Тогда из (ЧШ. 6. 8) получим о о вг рн 2ч йй (()о ссст)+ — Рот(Вг) — Ро — ргдг. (ЧП1. 6. 10) 2 , „! „Г во Интегрируя формально по Г, получаем в, '(О оо (О 2"„1, (!о(() — ()ст(!+ 2 [ / Рот(В)ОВ,— ] Ро(во, ()дВ' ,[= в',(о! В (О> вг(о вг(О! / р(г, С)гдг — [ р(г, ()гдг, (ЧП1. 6. П) во (О Во (О> ( где Уо(П= ](')од! — сУммаРный объем, пРотекпшй чеРез гРаницУ Во.
Последа ний интеграл правой части (ЧП1, 6. 11) равен нулю, так как по самой идее метода Вг (0) = Во (0). В пределах зоны влияяия задаются для давления функцией желаемого вида, обычно полнномом, с параметрами, зависящими от времени. Вод параметров устанавливается из граничных условий типа (ЧП!. 6.
9) и одного пли несколькпх интегральных соотношений (ЧП!. 6. 10) или (ЧП1. 6. 7), причем для Вг и в зависимости от условий задачи для Во получаются обыкновенные дифференциальные уравнении (Лт. ЧП. 37). Иногда предпочткгельнез задаться условиями для расхода в виде (!(г. () (!от=.!()(Во с) — ()ст] Р (г, Во В ), (ЧП!.6. 12) где функция Р (г, Во, Вз) выбирается не содержащеи нано время. Самое грубое приближение, тем не менее в ряде случаев дающее вполне удовлетворительные результаты, получается, если положить Г (г, Во, Вг) = == сопзс .— — 1, — зто будет метод последовательной смены стационарных состояний (1 1,5).
г д. Видоизменение метода интегральных соотношений 287 откуда получаем, интегрируя последнее уравнение по г в пределах от г до В;. Вг Р(.() — (Н„() — [ .,И вЂ” т(Н,)]=[Ос(Во,() — Ес,] р Р Р(г,В.,Н,) 2л ЛЛ г г или. так как Р (Вм ()= Рот(Вс) р(г, () — Р (г)= —,[Яо(Но Π— ()ст])(г Но Нс) (Ч!!1 6'!5) р 2л ЛЛ где [(г Н В~)= ~ — Р(г, Но, Н~)дт (' ! г (Ч111, 6. 16) Подставляя Р(г, г) из (Ч!11.6. !5) в (Ч111.6. 11), получаем в,' (О ио «) —,„"" [~.() — Е ]+ —,' [ [ ~„(Вх)Ы', Х Р,(Н,, )Ы',[= В (0) В (0) В, (С) Вг (О = .] -()Рд+~Л.[)(Н')-)"] Г )(,Н..Н,) ' Во(О Во О) или, замечая, что В,(0)=Но(0), Вз (О в' (О [)го (() — ()ст(]+ [ [ Рот(г) дг — ) ро (Во, г) дв ]= в', (о) В (О) Вг (С) =,„"ЛЛ]Е.(йт ) — ()-] ] [(,Н.,В,) дт (~Ш 6 ~Л Во (О Учитмвая (Ч!11.6.
!5), правую часть (Ч111. 6. !1) можно представить также в виде Ро(йо Π— Рот(во)= 2„ЛЛ [0е(Но, Π— 0ст! [(Но Но Вь) (Ч)!1 6. !6) И где Вг Р(г Но Нь),(г г (Ч111. 6. 19) Ве Для большей точности можно положить Р(Во Во Вг)=1, Р(Нь Во, Вг)=0. Функцию Р (г, Но, Нг) можно подчинить любому количеству условий гладкости. Такой выбор вида функции (Ч111.
6. !2) дает хорошие результаты при монотонном характере возмущения. Согласно (Ч111. 6. 6) 2л ЛЛ ( др дрст) Я(г.г) — () =Но(йо,Π— дст]Р(г, Н,,Н,)= — — 'г~ — — — )! (Чю.б. !4) '1 дг дг )' 288 Гт Ч)И. Неетиционирнон фильтрации однородной жидкости и газа Отсюда В' (1) и (1) ()о(() Чст()+ ( ) рот(г)дг — / РоРо ОВВ )= В (О) В (О) РО 1(, В„В,) д. (ЧИ1.6.21) ((Во Во В1) Во (О Согласно (Ч1И.6.16) и (ЧИ1. 6.17) Нз у(г, Во, В1)= ( — дг= — ( — +1п — — 1), (ЧИ1. 6.23) В,-г В,(г В, В1 Во В1 Во(, е(1 г г 7(Во Во В1)= ' — +1п — ' — 1~)=='1и — 1 — 1, (ЧИ1 6.24) Во ( В1 Во / В1 Во Во В1(О 1(г, Во, Вг) г дг= — В + —,ВоВ1+ 12 1 12 Во (1) (ЧИ1. 6.
25) По методу последовательной смены, полагая Р(г, В„В,)=1, получаем более грубое приближение В1 1(г, В„В1)= — =1и— Г дг В1 г г т ) (Во* Во В1) = )п — ' (ЧИ1. 6. 27) Во В1 В1 2 2 о 2 1(г, Во, В1)гдг= ~ г1п — 'дг= — ~ 1, о — В21п — ') . (ЧИ.6.28) г 2( 2 о Во)' Во Во Рассмотрим два примера. 1. Нагнетание расхода Оо(() в скважину постоянного радиуса Во=соло( в неограниченном пласте. Нулевые начальные условия рот(г)=0, ()со=О. Условие (ЧИ1.
6. 17) принимает внд: 2л йй 2л )е)2 ! 12 8 2(В1 — 1(о) (ЧИ1. 6. 26) В зависимости от условий задачи можно выбирать интегральное соотношение в виде (ЧИ1. 6. 17) или (УИ1. 6. 21), в дополнение к которым следует использовать связь между давлением и расходами (Ч1И. 6. 15). Ниже рассмотрено несколько примеров нестационарной фильтрации упругой жидкости с неподвижными и подвижными граничными условиями.
2. Ограничимся простейжей аппроксимацией Р (г, Во, В1) в виде линейной зависимости Р(г, В„В1) =(В,—.),(В,— В,). (ЧИ1. 6. 22) 8 д. Видоизменение метода интеоральных соотношений 289 или, обозначая й=й(1)= —, Во Во и !'о(о) ! ! = — (Е'+о)+— 1н 9.
О (1) Во !2 -' 3 2(9 — 1) о о (ЧП1. 6. 29) (Ч1П. 6. 39) Р УЯ )9 йд )2 йО в ч,а ! е7 )( 9 За 69 !!9 !89 гдд уьд Рис. Ч1П. 9. Графики зависимости депрессии от времени прн притоке с постоянным дебитом к скважине конечного радиуса в неогран тченном пласте: пунктир — по точному решенвю, сплошные ливии — по расчету методом интегральных соотношений. Отсюда можно найти 9 для заданного ь Давление на скважине согласно (ЧП1. 6.
18) и (ЧП !. 6. 24) меняется по аакону Р () 9 !). )о0о(!) ! 9 2н й)з (,9 — ! (Ч1П. 6. 3!) ПРи О~(о)=сове)=От з (ЧП!. 6. 39) входи Вз Рй ~9 +9) 3 2(9 — ц) 9' (ЧП1, 6, 32) о Раскрывая неопределениостьн из (ЧШ. 6. 32) получаем т = 0 при 9 = !. На рис. ЧП1. 9 приведена кривая т = т (9) согласно (ЧП1. 6. 32). Задаваясь различными значениями т, по кривой рис. ЧП1. 9 можно найти соответствуюпще значения 9, а затем по уравнению (ЧП!. 6. 31) ро (1). Для сравнения с точным решением, приведенным в нннге Маскета (6), выражающимся трудно вычисляемым несобственным интегралом (ЧП1. 6. 33) 290 1'з. Уз'П. 1!сстациенирная фильтрация однородной жидкости и газа (Уо У,— функции Бесселя действительного аргумента первого и второго рода первого порядка), на рнс.
ЧП1. 9 приведены кривые отношений Ц=. з йадг(2Ог Р (ЧП1. 6. 34) по точному уравнению (ЧП). 6. 33) Ори) и по уравнениям (ЧП1. 6. 3!) и (ЧП1. 6. 32): 2л 3йрг 1п 0 — !. )зЪ (Ч111. 6. 35) — Р (т) 2УРн Ь ,пйе е д йз( Рн йт Рнс. Ч1П. !О. Графики зависимости депрессии от времени при притоке к скважине конечного радиуса в неограниченном пласте при различных ааконах отбора. плевне в виде отношения рз (т) = рг (т). 2л )гь )г ()г (ЧП!.
6. 36) Как видно из рнс. ЧП1. 9, точная и приближенная кривые хорошо совпала!от. На рнс. ЧШ. !О показаны три серив кривых, соответствующих следующим ааконам иаменення дебита 4! ( 1), аакачнваемого в скважину постоннного радиуса в неограниченном пласте: !) ~') (!) = сопя! =!')г — постоянный темп нагнетания, дебит постоянный; 2) !г(г)=<2з(! — е «т) (0г=сопзь соответствУет а= ) — постепенное Увеличение темпа нагнетания, дебит возрастает от нуля, приближаясь к предельному значению 4)г; 3) Д(т)=()ге игт — постепенное уменьшение темпа нагнетания, дебит уменьшается от начального значения ()„приближаясь в пределе к нулю. На графиках рнс. ЧП!.
!О по оси абсцисс отложено в логарифмическом нг масштабе беаразмерное время т= —, по оси ординат-безразмерное да- В У д. Видоизменение метода интегральных соотношений 291 Иа формул (Ч111. 6. 31) и (У111. 6. 30) для этих трех случаев после вычислений получим: 1) т=-, (Ег+Е)+ —,—, 1пЕ, 1, 1 Е 12 3 2(0 — 1) 2я й)г р,(т) =р'(т) =- р(г, ' Š— 1 (У!11.
6. 37) 2) — — = —,(От+О)+ — —, 1п0, 0 е — ат а 12 3 2(0 1) 2Я)сй р ( )=ра(!)=!! 0 )пй — 1~ И вЂ” е ); (Ч!!!. 6. 36) ( 3) — (е ' — 1) = —. (0*+0) + —.—. !и 0 агт 1 г 1 о, 12 3 2(0 — 1) или г= — !п~аг~, + —,—, !ай~+1~, — — р (т)=ро(т)=- 1пй — 11!е аг . (У!11. 6.
30) 2я йй — ат р!'). ' '1 0 — 1 уравнения к у,(Ц йу,(!) 1 1 0 Вэ й! 12 3 2(0 — 1) — (От+О) + — —, — 1п 0~, (У!11. 6. 40) о р,(!)=, „( 1п Š— 1) о, В этом случае проще всего поступить так. Разделом (Ч!1!. 6. 40) на (Ч!11. 6. 41): 0 н),(!) 2яи 12(0'+О)+3-2(0 „1пй (Ч11!. 6. 42) о о() — 1п0 — 1 0 — 1 Кривые рис. Ч111. 10 построены для значений о = 10 а,=- 10 - 10 3 РО Из рассмотрения кривых рис.
УН!, 10 можно сделать несколько интересных заключений, 1. Кривая 9, = сопзц соответствующая о = оо или о, = О, практически очень мало отличается от прямой. Величина р» (т), которую в этом случае можно трактовать так же, как безраамерное фильтрационное сопротивление, возрастает со временем практически по логарифмическому аакону. 2.
Кривые с параметрами о, соответствующими второму случаю, при т ,'р 10', очень мало. отличаются от прямой 9, = сопз!. 3. Кривые с параметром а„соответствующие третьему случаю, имеют экстремум. Ксли аадано давление р,(!), то расчет усложняется, так как для ро(!) получим нэ (ЧП1. 6. 30) обыкновенное дифференциальное уравнение, содержащее 0 в виде параметра, который должен быть нагщен из дополнительного 292 Гз.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
